1、1湖北省十堰市 2016-2017 学年 高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知 ，且 sin= ，则 tan=（ ）A B C D 2已知 a，b，c 满足 abc，且 ac0，那么下列选项中一定成立的是（ ）A cb 2ab 2 B c（ba）0 C abac D ac（ac）03下列命题中不正确的是（ ）A 垂直于同一平面的两条直线平行B 垂直于同一直线的两平面平行C 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行D 一条直线平行于一个平面，则这条直线
2、平行于此平面内的任意一条直线4等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 4a1，2a 2，a 3成等差数列若 a1=1，则 S4=（ ）A 15 B 7 C 8 D 165棱长为 2 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的体积和表面积分别是（ ）A B C D 26已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，若（b+c+a） （b+ca）=3bc，则角 A 的大小为（ ）A B C D 7如图，边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G，将ADE 绕 DE旋转得到ADE（A平面 ABC） ，则下列叙述错误的是（ ）A 平面 AFG平面 ABCB BC平面 ADEC
3、 三棱锥 ADEF 的体积最大值为 a3D 直线 DF 与直线 AE 不可能共面8某同学准备利用暑假到一家商场勤工俭学，商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每一天支付 50 元；第二种，第一天付 20 元，第二天付 30 元，第三天付 40 元，依此类推；第三种，第一天付 0.1 元，以后每天比前一天翻一番（即变为前一天的 2 倍） ，对于选哪一种付款方案下列结论中错误的是（ ）A 打工不足 5 天选第一种B 打工 10 天选第二种C 打工两个星期选第三种D 打工满一星期但不足 20 天就选第二种39某几何体中的一条线段长为 ，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视
4、图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（ ）A B C 4 D 10设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S150，a 8+a90，则使得 的最小的 n 为（ ）A 10 B 11 C 12 D 13二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11正方体 ABCDA 1B1C1D1中 A1C1与 AD1所成角的大小为 12若关于 x 的不等式 ax2+2x+a0 的集为 R，则实数 a 的取范围是 13在ABC 中，若 a= ，b=1，B=30，则角 A
5、的值是 14设数列a n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，数列b n是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则 a +a +a = 15在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosBbcosA= c，则当角 C 的值为 时，tan（AB）取最大值 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.416已知函数 f（x）= sinxcosxcos 2x+1（1）求函数 f（x）的单调递增区间；（2）若 f（ + ）= ，（0， ） ，求 cos（+ ）的值17已知公差为 d（d1）的等差数列a n和公比为 q（q1）的等比
6、数列b n，满足集合a 3，a 4，a 5b 3，b 4，b 5=1，2，3，4，5（1）求通项 an，b n；（2）求数列a nbn的前 n 项和 Sn18如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，（）求证：B 1D1平面 C1BD；（）求证：A 1C平面 C1BD；（）求二面角 BC 1DC 的余弦值19如图，一人在 C 地看到建筑物 A 在正北方向，另一建筑物 B 在北偏西 45方向，此人向北偏西 75方向前进 km 到达 D，看到 A 在他的北偏东 45方向，B 在其的北偏东 75方向，试求这两座建筑物 A 与 B 之间的距离20设ABC 的内角b n的对边分别为 Tn，且 bco
7、sC=（2ac）cosB5（）求 B 的大小；（）若 1+ = ，且 ，求 c 的值；（）若 ，则 a+c 的最大值21已知数列a n的各项均是正数，前 n 项和为 Sn，且满足（p1）S n=p9a n，其中p 为正常数，且 p1（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn= ，求数列b nbn+1的 n 项和 Tn；（3）设 cn=log2a2n1 ，数列c n的前 n 项和是 Hn，若当 nN +时 Hn存在最大值，求 p的取值范围，并求出该最大值6湖北省十堰市 2016-2017 学年高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分
8、.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知 ，且 sin= ，则 tan=（ ）A B C D 考点： 同角三角函数基本关系的运用专题： 三角函数的求值分析： 首先根据三角函数的恒等变换关系式 sin2+cos 2=1，求出 cos，进一步利用角的范围和 求出结果解答： 解：已知 sin= ，根据 sin2+cos 2=1解得：由于：所以：则故选：B点评： 本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等式的应用，三角函数的求值问题2已知 a，b，c 满足 abc，且 ac0，那么下列选项中一定成立的是（ ）A cb 2ab 2 B c（ba）0 C abac D ac（ac）0考点：
9、 不等式的基本性质7专题： 不等式分析： 先判断出 a0，c0，结合不等式的性质分别对 A、B、C、D 进行判断即可解答： 解：已知 a，b，c 满足 abc，且 ac0，a0，c0，对于 A：取 a=1，b=0，c=1，显然不成立；对于 B：ba0，c0，c（ba）0，B 错误；对于 C：由 bc，不等式两边都乘以负数 a，得：abac，故 C 正确；对于 D：ac0，ac0，得：ac（ac）0，故 D 错误；故选：C点评： 本题考查了不等式的性质，求出 a，c 的符号是解答本题的关键，本题是一道基础题3下列命题中不正确的是（ ）A 垂直于同一平面的两条直线平行B 垂直于同一直线的两平面平行
10、C 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行D 一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于此平面内的任意一条直线考点： 空间中直线与平面之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： 根据线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理分别分析选择解答： 解：对于 A，根据线面垂直的性质定理可以得到垂直于同一个平面的两条直线平行正确；对于 B，根据面面平行的判定定理能够得到垂直于同一条直线的两个平面平行正确；对于 C，是面面平行的判定定理，故正确；对于 D，一条直线平行于一个平面，则这条直线与于此平面内的任意一条直线位置关系是平行或者异面；故 D 错误8故选
11、 D点评： 本题考查了线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理，正确运用4等比数列a n的前 n 项和为 Sn，且 4a1，2a 2，a 3成等差数列若 a1=1，则 S4=（ ）A 15 B 7 C 8 D 16考点： 等比数列的前 n 项和专题： 等差数列与等比数列分析： 利用 4a1，2a 2，a 3成等差数列求出公比即可得到结论解答： 解：4a 1，2a 2，a 3成等差数列a 1=1，4a 1+a3=22a2，即 4+q24q=0，即 q24q+4=0，（q2） 2=0，解得 q=2，a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，S 4=1+2+4
12、+8=15故选：A点评： 本题考查等比数列的前 n 项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键5棱长为 2 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的体积和表面积分别是（ ）A B C D 考点： 球的体积和表面积专题： 空间位置关系与距离9分析： 由题意，长方体的对角线是球的直径，由此得到球的半径，由球的表面积和体积公式解答解答： 解：因为棱长为 2 的正方体的顶点都在同一个球面上，所以球的直径为 2 ，所以半径为 ，所以球的体积为 ；表面积为： ；故选 B点评： 本题考查了正方体的外接球的体积和表面积求法；关键是明确长方体的对角线是球的直径6已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，若（b+
13、c+a） （b+ca）=3bc，则角 A 的大小为（ ）A B C D 考点： 余弦定理专题： 解三角形分析： 由条件求得 c2+b2a 2=bc，再利用余弦定理可得 cosA 的值，从而求得 A 的值解答： 解：ABC 中，（b+c+a） （b+ca）=3bc，c 2+b2a 2=bc，利用余弦定理可得 cosA= = = ，A= 故选：B点评： 本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题7如图，边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G，将ADE 绕 DE旋转得到ADE（A平面 ABC） ，则下列叙述错误的是（ ）10A 平面 AFG平面
14、ABCB BC平面 ADEC 三棱锥 ADEF 的体积最大值为 a3D 直线 DF 与直线 AE 不可能共面考点： 棱锥的结构特征专题： 空间位置关系与距离分析： 由线线垂直线面垂直 面面垂直，可判断 A 正确；由线面平行的判定定理，可判断 B 正确；由棱锥的体积公式，可判断当高最大时，体积最大，求出体积的最大值，可判断 C 错误；由异面直线的判定定理可判断 D 正确解答： 解：ABC 是正三角形，AGDE，DEFG，DE平面 AFG，DE平面ABC，平面 AFG平面 ABC，故 A 正确BCDE，BC平面 ADE，DE平面 ADE，BC平面 ADE，故 B 正确当 AG平面 ABC 时，三棱
15、锥 ADEF 的高为 AG，而底面 DEF 的面积一定，三棱锥 ADEF 的体积最大值为 a= a3，故 C 错误；A平面 ABC，由异面直线的判定定理，直线 DF 与直线 AE 是异面直线，故 D 正确故选 C点评： 本题以折叠图形为载体，考查面面垂直的判定，线面平行的判定，棱锥的体积公式及异面直线的判定，解题的关键是利用好折叠前的位置关系118某同学准备利用暑假到一家商场勤工俭学，商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每一天支付 50 元；第二种，第一天付 20 元，第二天付 30 元，第三天付 40 元，依此类推；第三种，第一天付 0.1 元，以后每天比前一天翻一番（即变为前一天的 2 倍
16、） ，对于选哪一种付款方案下列结论中错误的是（ ）A 打工不足 5 天选第一种B 打工 10 天选第二种C 打工两个星期选第三种D 打工满一星期但不足 20 天就选第二种考点： 不等关系与不等式专题： 计算题分析： 由题意可知，三种方案对应着三种不同的函数解析式，第一种报酬是天数的一次函数，第二种可以用等差数列的前 n 项和列式，第三种由等比数列的前 n 项和列式，然后通过分别向三个函数解析式中代值检验即可得到答案解答： 解：记打 n 天工三种方案所得报酬分别是 Sn，T n，H n，则 ，n=5 时，S n=250，T n=200，H n=3.1n=10 时，S n=500，T n=650，
17、H n=102.4n=7 时，S n=350，T n=350，H n=12.7n=14 时 Sn=700，T n=1190，H n=1638.4比较以上数据可知前三个选项正确故选 D点评： 本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了等差数列和等比数列的前 n 项和公式，考查了学生的计算能力，是中档题129某几何体中的一条线段长为 ，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（ ）A B C 4 D 考点： 简单空间图形的三视图专题： 计算题；压轴题分析： 设棱长最长的线段是长方体的对角线，由
18、题意所成长方体的三度，求出三度与面对角线的关系，利用基本不等式即可求出 a+b 的最大值解答： 解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算如图设长方体的长宽高分别为 m，n，k，由题意得 ， n=1 ，所以（a 21）+（b 21）=6a 2+b2=8，（a+b） 2=a2+2ab+b2=8+2ab8+a 2+b2=16a+b4 当且仅当 a=b=2 时取等号故选 C点评： 本题是基础题，考查长方体的对角线与三视图的关系，长方体的三度与面对角线的关系，基本不等式在求最值中的应用，考查空间想象能力，计算能力，常考题型10设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S150，a 8+a90，则
19、使得 的最小的 n 为（ ）A 10 B 11 C 12 D 1313考点： 等差数列的前 n 项和专题： 等差数列与等比数列分析： 由已知数据可得 a1+7d0，2a 1+15d0，和 d0，由不等式的性质可得的范围，而要满足的式子可化为 2a1+ d0，可得 n1 ，由不等式的性质结合 的范围可得解答： 解：设等差数列a n的首项和公差分别为 a1和 d，则可得 S15=15a8=15（a 1+7d）0，解得 a1+7d0，又a 8+a90，2a 1+15d0，又a 8=0，a 8+a90，a 90，d0，由可得 7，由可得 ，故 7，而 =a1+（n1）d+a 1+ d=2a1+ d，令
20、 2a1+ d0 可解得 n1 ， 7，7 ， 10， 1 11使得 的最小的 n 为 11故选：B点评： 本题考查等差数列的求和公式，涉及不等式的性质的应用，属中档题二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11正方体 ABCDA 1B1C1D1中 A1C1与 AD1所成角的大小为 60 考点： 异面直线及其所成的角专题： 空间角14分析： 连接 AC，CD 1，这便得到D 1AC 或其补角为异面直线 A1C1与 AD1所成角，并且可看出ACD 1为等边三角形，从而便得出 A1C1与 AD1所成角为
21、 60解答： 解：如图，连接 AC，CD 1，则：A 1C1AC；D 1AC 或其补角便是 A1C1与 AD1所成角；显然ACD 1为等边三角形；D 1AC=60；A 1C1与 AD1所成角为 60故答案为：60点评： 考查异面直线所成角的定义及求法，正方体的概念，正方体各面上的对角线长度相等12若关于 x 的不等式 ax2+2x+a0 的集为 R，则实数 a 的取范围是 （1，+） 考点： 一元二次不等式的解法专题： 不等式的解法及应用分析： 对 a 分类讨论，利用一元二次不等式的解集与的关系即可得出解答： 解：当 a=0 时，不等式化为 2x0，解得 x0，其解集不是 R当 a0 时，由不
22、等式 ax2+2x+a0 的集为 R，则 ，解得 a1综上可知：实数 a 的取范围是（1，+） 15故答案为（1，+） 点评： 熟练掌握分类讨论、一元二次不等式的解集与的关系是解题的关键13在ABC 中，若 a= ，b=1，B=30，则角 A 的值是 60或 120 考点： 正弦定理专题： 解三角形分析： 利用正弦定理列出关系式，将 a，b 及 sinB 的值代入求出 sinA 的值，即可确定出 A 的度数解答： 解：a= ，b=1，B=30，由正弦定理 = 得：sinA= = = ，ab，AB，A=60或 120故答案为：60或 120点评： 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练
23、掌握正弦定理是解本题的关键14设数列a n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，数列b n是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则 a +a +a = 2036 考点： 等差数列的通项公式；向量的加法及其几何意义专题： 等差数列与等比数列分析： 利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出 an，b n再利用等比数列的前 n项和公式即可得出解答： 解：数列a n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，b n是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，16a n=1+2（n1）=2n1， =2bn1=22 n1 1=2 n1 =（21）+（2 21）+（2 101）= 10=2 1112=20481
24、2=2036故答案为：2036点评： 本题考查了等比数列和等差数列的通项公式及其前 n 项和公式的计算，考查学生的计算能力15在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosBbcosA= c，则当角 C 的值为 时，tan（AB）取最大值 考点： 正弦定理专题： 解三角形分析： 解法一：由正弦定理化简已知可得： ，由 tan（AB）=，可知当 tan（AB）取最大值时，必有 cos（AB）0，设 ，可求 tan（AB）的最大值及 C 的值解法二：由正弦定理及三角形内角和定理化简已知可得 tanA=3tanB，可得tanA0tanB0，从而解得，即可得解解答： 解：解法
25、一：由 acosBbcosA= c，17得： ，即： ，tan（AB）= ，当 tan（AB）取最大值时，必有cos（AB）0，tan（AB） ，设 ，则 tan（AB） 当 ，即 时，tan（AB）取最大值为 解法二：由 acosBbcosA= c，得： = ，整理得：sinAcosB=3cosAsinB，即 tanA=3tanB，易得 tanA0tanB0， ，当 ，即 ， ， 故答案为： ， （任对一空给 3 分）点评： 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，属于基本知识的考查三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分.解答应写出文字说明
26、、证明过程或演算步骤.1816已知函数 f（x）= sinxcosxcos 2x+1（1）求函数 f（x）的单调递增区间；（2）若 f（ + ）= ，（0， ） ，求 cos（+ ）的值考点： 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性专题： 三角函数的求值分析： （1）由条件利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得 f（x）的单调递增区间（2）由条件求得 sin 和 cos 的值，从而求得 cos（+ ）=coscos sinsin 的值解答： 解：（1）函数 f（x）= sinxcosxcos 2x+1= sin2x cos2x+ =
27、sin（2x ）+ ，令 2k 2x 2k+ ，kz，求得 k xk+ ，可得函数的增区间为k ，k+ ，kz（2）若 f（ + ）=sin（+ ）+ =sin+ = ，（0， ） ，sin= ，cos= ，cos（+ ）=coscos sinsin = = 点评： 本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题17已知公差为 d（d1）的等差数列a n和公比为 q（q1）的等比数列b n，满足集合a 3，a 4，a 5b 3，b 4，b 5=1，2，3，4，5（1）求通项 an，b n；（2）求数列a nbn的前 n 项和 Sn19考点： 等差数列与等比数列的
28、综合；数列的求和专题： 计算题分析： （1）结合等差数列与等比数列的项，由a 3，a 4，a 5b 3，b 4，b 5=1，2，3，4，5可得 a3，a 4，a 5，b 3，b 4，b 5的值，从而可求数列的通项，（2）由于 an，b n分别为等差数列、等比数列，用“乘公比错位相减”求数列的和 sn解答： 解：（1）1，2，3，4，5 这 5 个数中成公差大于 1 的等差数列的三个数只能是 1，3，5；成公比大于 1 的等比数列的三个数只能是 1，2，4而a 3，a 4，a 5b 3，b 4，b 5=1，2，3，4，5，a 3=1，a 4=3，a 5=5，b 3=1，b 4=2，b 5=4a
29、1=3，d=2，b 1= ，q=2，a n=a1+（n1）d=2n5，b n=b1qn1 =2n3（2）a nbn=（2n5）2 n3S n=（3）2 2 +（1）2 1 +120+（2n5）2 n32sn=32 1 +（1）2 0+（2n7）2 2n3 +（2n5）2 n2 ，两式相减得S n=（3）2 2 +221 +220+22n3 （2n5）2 n2 = （nN *）点评： 本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，结合集合的基本运算求数列中的项，进而求通项公式，而“乘公比错位相减”求数列的和是数列求和的常考点，其结构特点是：若数列 an，b n分别为等差数列与等比数列，则对数列 cn=
30、anbn求和应用此法，要注意掌握18如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，（）求证：B 1D1平面 C1BD；（）求证：A 1C平面 C1BD；（）求二面角 BC 1DC 的余弦值20考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定专题： 计算题；证明题分析： （I）根据正方体的几何特征可得 B1D1BD，结合线面平行的判定定理，即可得到 B1D1平面 C1BD；（）连接 AC，交 BD 于 O，则 BDAC，结合 A1ABD，由线面垂直的判定定理得 BD平面 A1AC，进而 BDA 1C，连接 C1O，可证得 A1CC 1O，再利用线面垂直的判定定理即可得到 A1C平面 C1BD；
31、（）取 DC1的中点 E，连接 BE，CD根据二面角的定义，可判断出BEC 为二面角BC 1DC 的平面角，解BEC 即可求出二面角 BC 1DC 的余弦值解答： 解：（）B 1D1BD，又 BD平面 C1BD，B 1D1平面 C1BD，B 1D1平面 C1BD（2 分）（）连接 AC，交 BD 于 O，则 BDAC又 A1ABD，BD平面 A1ACA 1C平面 A1AC，BDA 1C连接 C1O，在矩形 A1C1CA 中，设 A1C 交 C1O 于 M由 ，知ACA 1=CC 1O ， ，A 1CC 1O又 COBD=0，CO平面 C1BD，BD平面 C1BD，A 1C平面 C1BD（7 分
32、）（）取 DC1的中点 E，连接 BE，CEBD=BC 1，BEDC 1CD=CC 1，CEDC 1BEC 为二面角 BC 1DC 的平面角设正方体的棱长为 a，则 又由 ，得 21在BEC 中，由余弦定理，得 所以所求二面角的余弦值为 （12 分）点评： 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是根据正方体的几何特征得 B1D1BD， （II）的关键是得到BDA 1C，A 1CC 1O， （III）的关键是确定BEC 为二面角 BC 1DC 的平面角19如图，一人在 C 地看到建筑物 A 在正北方向，另一建筑物 B 在北偏西 45方向，此人向北偏西 75
33、方向前进 km 到达 D，看到 A 在他的北偏东 45方向，B 在其的北偏东 75方向，试求这两座建筑物 A 与 B 之间的距离考点： 解三角形的实际应用专题： 计算题；解三角形分析： 在ADC 中利用正弦定理，结合题意算出 AC=3km然后在BDC 中利用正弦定理得 ，最后在ABC 中利用余弦定理加以计算，即可算出 AB 的长，从而得出两座建筑物 A 与 B 之间的距离解答： 解：在ADC 中，ACD=75，则ADC=10545=60，DAC=45，且22由正弦定理，得 km；（4 分）又在BDC 中，BCD=7545=30，BDC=10575=30，DBC=120，结合 利用正弦定理，得
34、km；（8 分）在ABC 中，ACB=45，由余弦定理，得km2（12 分）可得 AB= km答：这两座建筑物 A 与 B 之间的距离是 （13 分）点评： 本题给出实际应用问题，求两座建筑物之间的距离着重考查了利用正余弦定理解三角形和解三角形知识在实际生活中的应用，属于中档题20设ABC 的内角b n的对边分别为 Tn，且 bcosC=（2ac）cosB（）求 B 的大小；（）若 1+ = ，且 ，求 c 的值；（）若 ，则 a+c 的最大值考点： 余弦定理；正弦定理专题： 解三角形；不等式的解法及应用分析： （）由正弦定理化简已知可得 sinA=2sinAcosB，结合范围 sinA0，可
35、得cosB= ，又 0B，从而得解 B 的值（）由 1+ = ，得 ，可得 ，利用即可解得 c 的值（）由余弦定理可得 3=a2+c2ac，利用基本不等式的解法即可求得 a+c 的最大值解答： 解：（）正弦定理得 sinBcosC=2sinAcosBsinCcosB，则 sin（B+C）=sinA=2sinAcosB（2 分）又 sinA0，23cosB= ，又 0B， （4 分）（）由 1+ = ，得 ，所以 （6 分）ABC 为等边三角形又c=4（8 分）（） ， ，由余弦定理可知 b 2=a2+c22accosB得 3=a2+c2ac（10 分） ，得 ，当且仅当 时取等号故 a+c 的
36、最大值为 （13 分）点评： 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，属于基本知识的考查21已知数列a n的各项均是正数，前 n 项和为 Sn，且满足（p1）S n=p9a n，其中p 为正常数，且 p1（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn= ，求数列b nbn+1的 n 项和 Tn；（3）设 cn=log2a2n1 ，数列c n的前 n 项和是 Hn，若当 nN +时 Hn存在最大值，求 p的取值范围，并求出该最大值考点： 数列递推式；数列的求和专题： 等差数列与等比数列24分析： （1）利用 及其已知递推式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出
37、；（3）方法一：利用通项，通过对公差讨论及其 cn0，c n+10，即可得出；方法二：求出其前 n 项 Hn，通过对 p 分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出解答： 解（1）当 n=1 时， ，解得 ，同时相减得：（p1） （S n+1S n）=a na n+1，且 p1整理得 ，则数列a n是首项是 p8，公比是 的等比数列 （2） ，Tn=b1b2+b2b3+b3b4+bnbn+1= （3） c n+1c n=2log 2p，c n是一个首项是 c1=8log2p，公差是 d=2log 2p 的等差数列方法一：当 0p1 时，log 2p0，此时 Hn是存在最小值，没有最大值；当 p1 时，log 2p0，此时 Hn存在最大值，由得 4n5，则 H4=H5且为最大值，25方法二： =由上式可知：当 0p1 时 log2p0，此时 Hn是存在最小值，没有最大值；当 p1 时 log2p0，此时 Hn存在最大值，且 H4=H5且为最大值，故当 p1 时 Hn存在最大值，H 4=H5且为最大值是 20log2p点评： 熟练掌握利用 及其已知递推式求 an、 “裂项求和” 、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、分类讨论、二次函数的单调性等是解题的关键
