1、2019年全国 卷 文科数学 真题 一、 选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A = *x|x 1+,B = *x|x 0） 两个相邻的极值点，则 =（ ） A.2 B.32 C.1 D.12 9.若抛物线 y2 = 2px（ p 0） 的焦点是椭圆 x23p + y2p = 1的一个焦点，则 p = （ ） A.2 B.3 C.4 D.8 10.曲线 y = 2sinx+cosx在点 ( ， 1)处的切线方程为 （ ）A.x y 1 = 0 B.2x y 2 1 = 0 C.2x+ y 2 + 1 = 0
2、D.x + y + 1 = 0 11.已知 (0 ， 2)， ,2sin2 = cos2 + 1，则 sin = （ ） A.15 B.25 C.33 D.255 12.设 F为双曲线 C： x2a2 y2b2 = 1（ a 0， b 0） 的右焦点， O为坐标原点，以 OF为直径的圆与圆 x2 + y2 = a2交于 P ,Q两点。若 |PQ| = |OF|,则 C的离心率为 （ ） A.2 B.3 C.2 D.5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分。 13.若变量 x ， y满足约束条件 2x +3y 6 0x +y 3 0y 2 0，则 z = 3x y的最大值 是
3、. 14.我国高铁发展迅速，技术先进 .经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有 车次的平均正点率的估计值为 . 15.ABC的内角 A ， B ， C的对边分别为 a ， b ， c.已知 bsinA+ acosB = 0，则 B= 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信得印信形状是“半正多面体”（图 1） .半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体 .半正多面体体现了数学的对称
4、美 .图 2是棱数为 48的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，且 次正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有 个 面 ，其棱长为 .（本题第一空 2分，第二空 3分） 三 、 解答 题：共 70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 。 第 17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分 17.（ 12分） 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形， 点 E在棱 AA1上， BE EC1. （ 1） 证明： BE 平面 EB1C1； （ 2） 若 AE = A1E ,AB =
5、3,求四棱锥 E BB1C1C 的体积 . 18.（ 12分） 已知 *an+是各项均为正数的等比数列， a1 = 2， a3 = 2a2 + 16. （ 1）求 *an+的通项公式； （ 2）设 bn = log2an，求数列 *bn+的前 n项和 . 19.（ 12分） 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y的频数分布表 . Y的分组 ,0.20， 0) ,0， 0.20) ,0.20， 0.40) ,0.40， 0.60) ,0.60， 0.80) 企业数 2 24 53 14 7 （ 1） 分别估
6、计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （ 2） 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值 .（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。（精确到 0.01） 附： 74 8.602 20.（ 12分） 已知 F1 , F2是椭圆 C： x2a2 + y2b2 = 1（ a b 0） 的两个焦点， P 为 C 上的点， O为坐标原点。 （ 1） 若 POF2为等边三角形，求 C的离心率； （ 2） 如果存在点 P，使得 PF1 PF2,且 F1PF2的面积等于 16，求 b的值和 a 的取值范围 . 21.（ 12分） 已知函数 f(x) = (x 1)ln
7、x x 1.证明： （ 1） f(x)存在唯一的极值点； （ 2） f(x) = 0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 . （ 二 ） 选 考题：共 10 分 。请考生在第 22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10分） 在极坐标系中， O 为极点，点 M（ 0， 0） （ 0 0）在曲线 C： = 4sin 上，直线 l过点 A（ 4,0） 且与 OM垂直，垂足为 P. （ 1） 当 0 = 3时，求 0及 l的极坐标方程； （ 2） 当 M在 C上运动且 P 在线段 OM上时，求 P点轨迹的极坐标方程 . 23.选修 4-5：不等式选讲 （ 10分） 已知 f(x) = |x a|x + |x 2|（ x a） . （ 1） 当 a=1时，求不等式 f(x) 0的解集； （ 2） 若 x （ ， 1） 时， f(x) 0，求 a的取值范围 .
