1、2019 年全国卷文科数学真题一 、 选 择 题 ： 本 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A = *x|x 1+,B = *x|x 0）两个相邻的 极值点， 则 =（ ）4 4A. 2 B. 32C. 1 D. 129.若抛物线 y2 = 2px（p 0）的焦点是椭 圆 x2 + y2 = 1的一个焦点， 则 p = （ ）3p pA. 2 B. 3 C. 4 D. 810.曲线 y = 2sinx + cosx在点( ， 1)处的切线方 程为 （ ）A. x y 1
2、 = 0 B. 2x y 2 1 = 0C. 2x + y 2 + 1 = 0 D. x + y + 1 = 011.已知 (0 ， )， ,2sin2 = cos2 + 1， 则sin = （ ）2A. 15B. 25C. 33 D. 25512.设F 为双曲线C ： x2 y2 = 1（a 0，b 0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF为a2 b2直径的圆与圆 x2 + y2 = a2交于P , Q两点。 若 |PQ| = |OF|,则 C 的离心率为 （ ）A. 2 B. 3 C. 2 D. 5二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。2x + 3y 6 013.若 变
3、量 x ，y 满足约束条件 x + y 3 0 y 2 0， 则z = 3x y的最大值是 .14.我国高铁发展迅 速， 技术先进.经统计 ， 在经 停某站的高铁列车中 ， 有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正 点 率为 0.99， 则经停该站高铁列车 所 有车次的平均正点率 的 估计值为 .15.ABC的内角 A ，B ，C的对边分别为 a ，b ，c.已知bsinA + acosB = 0，则B= 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体 ， 但南 北朝时期的官员独孤 信 得印信形
4、状是 “半正多 面体” （图 1） .半 正 多面 体是 由两 种或两 种 以上 的正 多边 形围成 的 多面 体 .半正 多面体 体 现了 数学的对称美.图 2 是棱数 为 48 的半正多面体 ， 它所有 顶点都在同一个正方 体 的表面上， 且次正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有 个面， 其棱长为 .（ 本题第一空 2 分，第二空 3 分）三 、 解 答 题 ： 共 70 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。 第 1721 题 为必 考 题 ， 每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 。 第 22、23 题 为 选 考 题 ， 考 生
5、 根 据 要 求 作答。（一）必 考 题 ： 共 60 分17.（12 分 ）如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形， 点E在棱 AA1上，BE EC1.（1）证明：BE 平面 EB 1C1；（2）若AE = A1E , AB = 3,求四棱锥E BB1C1C 的体积.18.（12 分）已 知 *an+是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ， a1 = 2，a 3 = 2a2 + 16.（ 1）求 *an+的通项公式；（ 2）设 bn = log2an，求数列 *bn+的前 n 项和. 19.（12 分 ）某 行 业 主 管 部 门 为 了 解 本 行 业 中
6、小 企 业 的 生 产 情 况 ， 随 机 调 查 了 100 个 企 业 ， 得 到 这 些 企 业 第 一 季 度 相 对 于 前 一 年 第 一 季 度 产 值 增 长 率 y 的 频 数 分 布 表 .（ 1） 分 别 估 计 这 类 企 业 中 产 值 增 长 率 不 低 于 40%的 企 业 比 例 、 产 值 负 增 长 的 企 业 比例；（ 2） 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表 ） 。 （精确到 0.01） 附 ： 74 8.60220.（12 分）已知F , F 是椭圆C ： x2 + y2 = 1（a b 0）的两个焦
7、点 ，P 为 C 上的点，O1 2为坐标原点。a2 b2（ 1） 若 POF2为 等 边 三 角 形 ， 求 C 的 离 心 率 ；（ 2） 如 果 存 在 点 P， 使 得 PF1 PF2,且F 1PF2的 面 积 等 于 16， 求 b 的 值 和 a 的 取 值范 围 .Y 的分组 ,0.20 ， 0) ,0， 0.20 ) ,0.20， 0.40) ,0.40， 0.60) ,0.60， 0.80)企业数 2 24 53 14 7321.（12 分）已知函数f (x) = (x 1)lnx x 1.证明：（1）f (x)存在唯一的极值点；（2）f (x) = 0有且仅有两个实根，且两个
8、实根互为倒数.（二） 选 考 题 ： 共 10 分 。 请 考 生 在 第 22、 23 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点M（ 0， 0）（ 0 0）在曲线C： = 4sin 上， 直线l过点 A（ 4,0）且与 OM 垂直，垂足为 P.（1）当 0 = 时，求 0及l的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知f (x) = |x a|x + |x 2|（x a）.（1）当 a=1 时，求不等式f (x) 0的解集；（2）若 x （ ，1 ）时，f (x) 0， 求 a 的 取 值 范 围 .
