1、1 / 1 3 海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习 参 考 答 案 数 学 （ 理 科 ） 2 0 1 9 . 0 4 阅 卷 须 知 : 1 . 评 分 参 考 中 所 注 分 数 ， 表 示 考 生 正 确 做 到 此 步 应 得 的 累 加 分 数 。 2 . 其 它 正 确 解 法 可 以 参 照 评 分 标 准 按 相 应 步 骤 给 分 。 一、选择 题： 本大题 共 8 小题 ，每 小题 5 分， 共 4 0 分. 1 . A 2 . D 3 . A 4 . D 5 . B 6 . B 7 . C 8 . B 二、 填空 题 : 本大 题共 6 小题 ，每
2、 小题 5 分， 共 3 0 分. 9 . 4 1 0 . 1 5 7 6 , 4 1 1 . ( 1 , 2 ) （ 答 案 不 唯 一 ） 1 2 . 1 1 3 . 2 , 1 , ) 1 4 . 3 2 三、 解答 题 : 本大 题共 6 小题 ，共 8 0 分 . 1 5 . （ 共 13 分 ） 解 ： （ ） 因 为 ( ) 2 2 c o s ( ) c o s 4 f x x x a ( 2 s i n 2 c o s ) c o s x x x a 2 2 s i n c o s 2 c o s x x x a s i n 2 c o s 2 1 x x a 2 s in
3、( 2 ) 1 4 x a 所 以 函 数 ( ) f x 的 最 大 值 为 2 1 a 所 以 1 0 a 所 以 1 a （ ） 因 为 s i n y x 的 单 调 递 增 区 间 为 ( 2 , 2 ) 2 2 k k ， k Z 令 2 2 2 2 4 2 k x k 所 以 3 1 8 8 k x k 函 数 ( ) f x 的 单 调 递 增 区 间 为 3 1 ( , ) 8 8 k k ， k Z2 / 1 3 1 6 . （ 共 13 分 ） 解 ： ( ) 人 工 造 林 面 积 与 总 面 积 比 最 大 的 地 区 为 甘 肃 省 人 工 造 林 面 积 与 总
4、面 积 比 最 小 的 地 区 为 青 海 省 ( ) 设 在 这 十 个 地 区 中 , 任 选 一 个 地 区 ， 该 地 区 人 工 造 林 面 积 占 总 面 积 的 比 值 超 过为 事 件 A 在 十 个 地 区 中 ， 有 7 个 地 区 （ 内 蒙 、 河 北 、 河 南 、 陕 西 、 甘 肃 、 宁 夏 、 北 京 ） 人 工 造 林 面 积 占 总 面 积 比 超 过 5 0 % ， 则 7 ( ) 1 0 P A （ ） 新 封 山 育 林 面 积 超 过 五 万 公 顷 有 7 个 地 区 ： 内 蒙 、 河 北 、 河 南 、 重 庆 、 陕 西 、 甘 肃 、 新
5、 疆 、 青 海 ， 其 中 退 化 林 修 复 面 积 超 过 六 万 公 顷 有 3 个 地 区 ： 内 蒙 、 河 北 、 重 庆 ， 所 以 X 的 取 值 为 0 1 2 , , 所 以 2 4 2 7 1 2 ( 0 ) 4 2 C P X C ， 1 1 3 4 2 7 2 4 ( 1 ) 4 2 C C P X C 2 3 2 7 6 ( 2 ) 4 2 C P X C 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 X 0 1 2 P 1 2 4 2 2 4 4 2 6 4 2 1 2 2 4 6 3 6 6 0 1 2 4 2 4 2 4 2 4 2 7 E X 3 / 1 3 1
6、 7 . （ 共 14 分 ） 解 ： ( ) 方 法 一 ： 连 结 1 B C 因 为 , D E 分 别 为 1 1 A C , 1 1 B C 中 点, 所 以 1 1 / / D E A B 又 因 为 1 1 / / A B A B ， 所 以 / / D E A B 因 为 , E F 分 别 为 1 1 B C , 1 B B 中 点 ， 所 以 1 / / E F B C 又 因 为 D E E F E D E 平 面 D E F ， E F 平 面 D E F A B 平 面 1 A B C ， 1 B C 平 面 1 A B C 所 以 平 面 1 A B C 平 面 D
7、 E F 又 1 A C 平 面 1 A B C ， 所 以 1 A C 平 面 D E F 方 法 二 ： 取 1 A A 中 点 为 G , 连 结 F G 由 1 1 A A B B 且 1 1 A A B B 又 点 F 为 1 B B 中 点 ， 所 以 1 1 F G A B 又 因 为 , D E 分 别 为 1 1 A C , 1 1 B C 中 点 , 所 以 1 1 D E A B 所 以 D E F G 所 以 , , , D E F G 共 面 于 平 面 D E F 因 为 D , G 分 别 为 1 1 1 , A C A A 中 点 , 所 以 1 A C D G
8、 1 A C 平 面 D E F D G 平 面 D E F 所 以 1 A C 平 面 D E F 方 法 三 ： 在 直 三 棱 柱 1 1 1 A B C A B C 中 ， 1 C C 平 面 A B C 又 因 为 A C B C 以 C 为 原 点 ， 分 别 以 1 , , C A C B C C 为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 C x y z 4 / 1 3 由 题 意 得 1 ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 1 , 0 , 2 ) A C D , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 0 , 2 ,
9、 1 ) E F . 所 以 ( 1 , 1 , 0 ) D E , ( 0 , 1 , 1 ) E F 设 平 面 D E F 的 法 向 量 为 1 1 1 ( , , ) x y z n ， 则 0 0 D E E F n n ， 即 1 1 1 1 0 0 x y y z 令 1 1 x ， 得 1 1 1 , 1 y z 于 是 ( 1 , 1 , 1 ) n 又 因 为 1 ( 2 , 0 , 2 ) A C 所 以 1 2 0 2 0 A C n 又 因 为 1 A C 平 面 D E F ， 所 以 1 A C 平 面 D E F （ ） 方 法 一 ： 在 直 棱 柱 1 1
10、 1 A B C A B C 中 ， 1 C C 平 面 A B C 因 为 A C A B C ， 所 以 1 C C A C 又 因 为 A C B C ， 且 1 C C B C C 所 以 A C 平 面 1 1 B B C C E F 平 面 1 1 B B C C ， 所 以 A C E F 又 1 B C C C ， 四 边 形 1 1 B B C C 为 正 方 形 所 以 1 1 B C B C 又 1 B C E F ， 所 以 1 B C E F 又 A C E F ， 且 1 A C B C C 所 以 E F 平 面 1 A C B5 / 1 3 又 E F 平 面
11、D E F 所 以 平 面 1 A C B 平 面 D E F 方 法 二 ： 设 平 面 1 A C B 的 法 向 量 为 2 2 2 ( , , ) x y z m ， 1 ( 2 , 0 , 0) , ( 0 , 2 , 2) C A C B 1 0 0 C A C B m m ， 即 2 2 2 2 0 2 2 0 x y z 令 2 1 y ， 得 2 2 0 , 1 x z 于 是 ( 0 , 1 , 1 ) m ( 1 , 1 , 1 ) ( 0 , 1 , 1 ) 0 n m 即 n m ， 所 以 平 面 1 A C B 平 面 D E F （ ） 设 直 线 D P 与
12、平 面 1 A C B 所 成 角 为 ， 则 3 0 设 1 ( 0 1 ) A P A A ， 则 ( 0 , 0 , 2 ) A P ( 1 , 0 , 2 2 ) D P 所 以 2 2 2 1 c o s s i n 3 0 2 2 1 ( 2 2 ) D P D P m m 解 得 1 2 或 3 2 （ 舍 ） 所 以 点 P 存 在 ， 即 1 A A 的 中 点 ， 1 A P 6 / 1 3 1 8 （ 共 14 分 ） 解： （ ） 2 ( ) l n ( 1 ) f x x x a x 的 定 义 域 为 | 1 x x 因 为 2 ( 0 ) 0 l n ( 0 1
13、) 0 0 f a 所 以 切 点 的 坐 标 为 ( 0 , 0 ) 因 为 ( ) l n ( 1 ) + 2 1 x f x x a x x 0 ( 0 ) l n ( 0 1 ) + 2 0 0 0 1 f a 所 以 切 线 的 斜 率 0 k ， 所 以 切 线 的 方 程 为 0 y （ ） 方 法 一 ： 令 ( ) ( ) l n ( 1 ) 2 1 x g x f x x a x x 2 1 1 ( ) + 2 1 ( 1 ) g x a x x 因 为 1 x 且 0 a ， 所 以 1 0 1 x ， 2 1 0 ( 1 ) x ， 2 0 a 从 而 得 到 ( )
14、0 g x 在 ( 1 , ) 上 恒 成 立 所 以 ( ) 0 f x 在 ( 1 , ) 上 单 调 递 增 且 ( 0 ) 0 f ， 所 以 x ， ( ) f x ， ( ) f x 在 区 间 ( 1 , ) 的 变 化 情 况 如 下 表 : 所 以 0 x 时 ， ( ) f x 取 得 极 小 值 ， 问 题 得 证 方 法 二 ： 因 为 ( ) l n( 1 ) 2 1 x f x x a x x 当 0 a 时 ， x ( 1 , 0 ) 0 ( 0 , ) ( ) f x 0 ( ) f x 极 小 值 7 / 1 3 当 0 x 时 ， l n ( 1 ) 0 ,
15、 0 , 2 0 1 x x a x x ， 所 以 ( ) 0 f x 当 0 x 时 ， l n ( 1 0 , 0 , 2 0 1 x x a x x ， 所 以 ( ) 0 f x 所 以 x ， ( ) f x ， ( ) f x 在 区 间 ( 1 , ) 的 变 化 情 况 如 下 表 : 所 以 0 x 时 ， 函 数 ( ) f x 取 得 极 小 值 ， 问 题 得 证 （ ） 当 0 a 或 1 a 时 ， 函 数 ( ) f x 有 一 个 零 点 当 0 a 且 1 a 时 ， 函 数 ( ) f x 有 两 个 零 点 x ( 1 , 0 ) 0 ( 0 , ) (
16、 ) f x 0 ( ) f x 极 小 值 8 / 1 3 1 9 . （ 共 13 分 ） 解 ： ( ) 抛 物 线 2 2 y p x 的 准 线 方 程 为 2 p x ， 焦 点 坐 标 为 ( , 0 ) 2 p F 所 以 有 2 3 ( 2 ) 2 2 p p ， 解 得 1 p 所 以 抛 物 线 方 程 为 2 4 y x ， 焦 点 坐 标 为 ( 1 , 0 ) F ( ) 直 线 P Q A B 方 法 一 ： 设 1 1 ( , ) A x y ， 2 2 ( , ) B x y ， 设 直 线 A B 的 方 程 为 2 x m y 联 立 方 程 2 2 ,
17、4 , x m y y x 消 元 得 ， 2 4 8 0 y m y 所 以 1 2 4 y y m ， 1 2 8 y y 2 2 1 2 1 2 1 4 1 6 x x y y 显 然 1 2 1 2 0 x x y y ， 直 线 O A 的 方 程 为 1 1 y y x x 令 2 x ， 则 1 1 2 y y x ， 则 1 1 2 ( 2 , ) y P x 因 为 O A B Q ， 所 以 1 1 B Q x k y 直 线 B Q 的 方 程 为 1 2 2 1 ( ) x y y x x y ， 令 0 y ， 则 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 4 y y
18、y y x x x x x x x ， 则 1 4 ( , 0 ) Q x 当 0 m 时 ， 直 线 A B 的 斜 率 不 存 在 ， 1 2 x ， 可 知 ， 直 线 P Q 的 斜 率 不 存 在 ， 则 P Q A B 9 / 1 3 当 0 m 时 ， 1 1 1 1 1 1 1 2 1 = 4 2 2 ( 2 ) 2 P Q y x y y k x m y m x ， 1 A B k m ， 则 P Q A B 综 上 所 述 ， P Q A B 方 法 二 ： 直 线 P Q A B ( 1 ) 若 直 线 A B 的 斜 率 不 存 在 ， 根 据 对 称 性 ， 不 妨
19、设 ( 2 , 2 2 ) A ， ( 2 , 2 2 ) B 直 线 A O 的 方 程 为 2 y x ， 则 ( 2 , 2 2 ) P 直 线 B Q 的 方 程 为 2 2 2 ( 2 ) 2 y x ， 即 2 2 2 y x ， 令 0 y ， 则 ( 2 , 0 ) Q ， 则 直 线 P Q 的 斜 率 不 存 在 ， 因 此 P Q A B ( 2 ) 设 1 1 ( , ) A x y ， 2 2 ( , ) B x y ， 当 直 线 A B 的 斜 率 存 在 ， 设 直 线 A B 的 方 程 为 ( 2 ) y k x ， 0 k 联 立 方 程 ， 2 4 (
20、2) y x y k x 消 元 得 ， 2 2 2 2 4 4 4 0 k x k x k x ， 整 理 得 ， 2 2 2 2 ( 4 4 ) 4 0 k x k x k 由 韦 达 定 理 ， 可 得 2 1 2 2 4 4 k x x k ， 1 2 4 x x 2 2 1 2 1 2 1 6 6 4 y y x x ， 因 为 1 2 0 y y ， 可 得 1 2 8 y y . 显 然 1 2 1 2 0 x x y y ， 直 线 O A 的 方 程 为 1 1 y y x x 令 2 x ， 则 1 1 2 y y x ， 则 1 1 2 ( 2 , ) y P x 因 为
21、 O A B Q ， 所 以 1 1 B Q x k y 1 0 / 1 3 直 线 B Q 的 方 程 为 1 2 2 1 ( ) x y y x x y ， 令 0 y ， 则 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 4 y y y y x x x x x x x ， 则 1 4 ( , 0 ) Q x 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ( 2 ) = 4 4 2 2 4 2 P Q y x y k x k k x x x ， 则 P Q A B 综 上 所 述 ， P Q A B 1 1 / 1 3 2 0 . （ 共 14 分 ） 解 ： （ ） 4 a 的 值 可 以 取 2
22、, 0 , 6 （ ） 因 为 2 n n b a ， 因 为 1 n n b b 对 任 意 n N 成 立 ， 所 以 n b 为 单 调 递 增 数 列 ， 即 数 列 n a 的 偶 数 项 2 4 6 2 , , , ., . n a a a a 是 单 调 递 增 数 列 根 据 条 件 2 1 a ， 4 0 a 所 以 当 2 0 n a 对 2 n 成 立 下 面 我 们 证 明 “ 数 列 n a 中 相 邻 两 项 不 可 能 同 时 为 非 负 数 ” 假 设 数 列 n a 中 存 在 1 , i i a a 同 时 为 非 负 数 因 为 1 | i i | a a
23、 i ， 若 1 , i i a a i 则 有 1 ( 1 ) 1 2 i i i a a i i ， 与 条 件 矛 盾 若 1 , i i a a i 则 有 1 1 2 i i i a a i i ， 与 条 件 矛 盾 所 以 假 设 错 误 ， 即 数 列 n a 中 相 邻 两 项 不 可 能 同 时 为 非 负 数 此 时 2 0 n a 对 2 n 成 立 ， 所 以 当 2 n 时 ， 2 1 2 1 0 , 0 n n a a ， 即 2 1 2 2 1 2 , n n n n a a a a 所 以 2 2 1 2 1 n n a a n ， 2 1 2 2 ( 2 2
24、) n n a a n 所 以 2 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 1 n n n n a a a a 即 2 2 2 1 n n a a ， 其 中 2 n 即 1 1 n n b b ， 其 中 2 n 又 1 2 1 b a ， 2 4 0 b a 所 以 n b 是 以 1 1 b ， 公 差 为 1 的 等 差 数 列 ， 所 以 1 ( 1 ) 2 n b n n （ ） 记 1 2 3 1 k k k S a a a a a 1 2 / 1 3 由 （ ） 的 证 明 知 ， 1 , n n a a 不 能 都 为 非 负 数 当 0 n a ， 则 1 0 n a ，
25、根 据 1 | | n n a a n ， 得 到 1 n n a a n ， 所 以 1 1 2 2 1 2 n n n n a a a n n 当 1 0 n a ， 则 0 n a 根 据 1 | | n n a a n ， 得 到 + 1 n n a a n ， 所 以 1 1 1 1 2 2 0 2 n n n n a a a n n 所 以 ， 总 有 1 0 n n a a 成 立 当 n 为 奇 数 时 ， 1 | | n n a a n ， 故 1 , n n a a 的 奇 偶 性 不 同 ， 则 1 n n a a 1 当 n 为 偶 数 时 ， 1 0 n n a a
26、当 k 为 奇 数 时 ， 1 2 3 1 ( ) ( ) 0 k k k S a a a a a 考 虑 数 列 ： 0 1 , 1 , 2 , 2 , ， ， 1 2 k ， 1 2 k 可 以 验 证 ， 所 给 的 数 列 满 足 条 件 ， 且 0 k S 所 以 k S 的 最 大 值 为 0 当 k 为 偶 数 时 ， 1 2 1 ( ) ( ) 2 k k k k S a a a a 考 虑 数 列 ： 0 1 , 1 , 2 , 2 ， ， ， - 2 2 k ， 2 2 k ， 2 k 可 以 验 证 ， 所 给 的 数 列 满 足 条 件 ， 且 2 k k S 所 以 k S 的 最 大 值 为 2 k
