1、,一 理解描写刚体定轴转动角速度和角加速度的物理意义，并掌握角量与线量的关系,二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理,三 理解角动量概念，掌握角动量定律，并能处理一般质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.,4-0 教学基本要求,能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题,四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律,4-0 教学基本要求,END,第一节,刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组),刚体的运动形式：平动、转动,刚体运动的分类,平 动,方向
2、: 右手螺旋方向,一 刚体转动的角速度和角加速度,4. 角加速度,刚体定轴转动(一维转动)的转动方向可以用角速度的正、负来表示.,(i) 0 表示刚体作加速转动; 即转动越来越快.,(ii) 0 表示刚体做减速转动; 即转动越来越慢.,(i) 当角速度方向与Z轴正方向相同时, 0;,(ii) 当角速度方向与Z轴正方向相反时, 0;,当刚体的角速度 0时, 有,(1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；,(2) 任一质点运动 均相同，但不同；,定轴转动的特点,(3) 运动描述仅需一个坐标,二 匀变速转动公式,刚体绕定轴作匀变速转动,质点匀变速直线运动,当刚体绕定轴转动的 =常量时，刚体做匀变
3、速转动,三 角量与线量的关系,P,例1 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转开始起动时，角速度为零起动后其转速随时间变化关系为： 式中 求：(1)t=6 s时电动机的转速(2)起动后，电动机在 t=6 s时间内转过的圈数(3)角加速度随时间变化的规律,(2) 电动机在6 s内转过的圈数为,解 (1) 将 t=6 s 代入,(3) 电动机转动的角加速度为,例2 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度 ，经300 s 后，其转速达到 18 000 rmin-1 转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？,解 令
4、 ，即 ，积分,得,当 t =300 s 时,由,得,在 300 s 内转子转过的转数,END,第一节,P,O,为力臂,对转轴 z 的力矩,一 力矩,用来描述力对刚体的转动作用,*,合力为零时, 其合力矩不一定为零,O,（1）若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量,其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩,方向,叉乘右螺旋,（2）,外力矩与合外力矩,合力矩等于各分力矩的矢量和,（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,(4) 当作用力通过转轴时, 其力矩为零. 如右图.,例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m ,水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示.
5、求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .,解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积元 ，作用在此面积元上的力,y,O,h,x,y,L,令大气压为 ，则,代入数据，得,y,O,h,x,y,L,Q,y,O,y,h,对通过点Q的轴的力矩,代入数据，得：,二 转动定律,（1）单个质点 与转轴刚性连接,O,（2）刚体,（2）刚体,三 转动惯量,物理意义：转动惯性的量度.,质量离散分布刚体的转动惯量,转动惯性的计算方法,刚体的转动惯量与以下三个因素有关：,（3）与转轴的位置有关,（1）与刚体的体密度 有关,（2）与刚体的几何形状及体密度 的分布有关,说 明,2019/7/3
6、,32,分立质点的算例,转动惯量的计算举例,若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则,解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元,例2 一 质量为 、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.,如转轴过端点垂直于棒,例3 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量.,解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环,而,圆环质量,所以,圆环的转动惯量,O,m,2019/7/3,35,常用结果,2019/7/3,36,其它典型,四 平行轴定理,质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为
7、的转轴的转动惯量,质量为m，长为L的细棒绕其一端的J,圆盘对P 轴的转动惯量,(2) 为瞬时关系,(3) 转动中 与平动中地位相同,(1) , 与 方向相同,说明,转动定律应用,例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖直悬挂滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速率是多少？,解 (1) 用隔离法分别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系,A,B,C,解得：
8、,如令 ，可得,（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率,稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度,例3 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动由于此竖直放置的细杆处于非,m,l,O,mg,解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得,式中,得,m,l,O,mg,由角加速度的定义,代入初始条件积分得,m,l,O,mg,END,第一节,一 质点的角动量定理和角动量守恒定律,质点运动描述,刚体的转动能用动量进行描述吗 ?,均匀圆盘上以转动轴为对称轴的任
9、意两质元, 其速度的大小相等, 但方向相反, 因此动量也是大小相等方向相反. 总动量为零.,可见动量在描述刚体的转动时不是一个好的物理量.,1 质点的角动量,质量为 的质点以速度 在空间运动，某时对 O 的位矢为 ，质点对O的角动量,角动量单位：kgm2s-1,质点以 作半径为 的圆周运动，相对圆心,2 质点的角动量定理,2 质点的角动量定理,质点的 角动量定理 的微分形式,作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.,这就是质点的 角动量定理 的积分形式,质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.,若质点所受的合外力的方向
10、始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。,3 质点的角动量守恒定律,例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内. 一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上)，然后从 A,点开始下滑设小球与圆环间的摩擦力略去不计求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度,解 小球受力 、 作用, 的力矩为零，重力矩垂直纸面向里,由质点的角动量定理,考虑到,得,由题设条件积分上式,例2 一质量为 m 的登月飞船，在离月球表面高度 h 处绕月球作圆周运动飞船采用如下登月
11、方式：当飞船位于点 A 时，它向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直飞船所喷气体相对飞船的速度为 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量 是多少?,已知,登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量 dm是多少?,解 设飞船在点 A 的速度 , 月球质量 mM ,由万有引力和牛顿定律,飞船在A点以相对速度 向外喷气的短时间里 , 飞船的质量减少了 而为 , 并获得速度的增量 , 使飞船的速度变为 , 其值为,质量 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒,飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的过程中，机械能守恒,即,于是,而,66,定轴转动刚
12、体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加,所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动,O,w,二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,1、刚体定轴转动的角动量,对定轴转动的刚体 ，,质点mi受合力矩Mi,合外力矩,(包括Miex、 Miin ),2 刚体定轴转动的角动量定理,非刚体定轴转动的角动量定理,对定轴转的刚体，受合外力矩M，从到 内，角速度从 变为 ，积分可得：,2 刚体定轴转动的角动量定理,3 刚体定轴转动的角动量守恒定律,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.,内力矩不改变系统的角动量.,守恒条件,若 不变， 不变； 若 变， 也变，但 不变.,2019/7/3,71,角动量
13、守恒的另一类现象,2019/7/3,72,花 样 滑 冰,自然界中存在多种守恒定律,动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律,电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等,例3 质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处，并背离点O 向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,A,解:虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒,由角动量定理,考虑到,例4 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N
14、弹了起来问演员N可弹起多高?,设跷板是匀质的，长度为l，质量为 ，跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动，演员的质量均为m假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,解 碰撞前M落在 A点的速度,碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度,M、N和跷板组成的系统，角动量守恒,解得,演员N以u起跳，达到的高度：,END,第一节,力的空间累积效应：力的功、动能、动能定理,一 力矩作功,三、转动动能,四、刚体绕定轴转动的动能定理,86,含平动的转动问题,例1 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率 作匀速转动放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动设唱片的半径为R，质量为m，它与转盘间的
15、摩擦系数为 ，求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度 时需要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？,R,o,解 (1) 如图取面积元ds = drdl，该面元所受的摩擦力为,此力对点o的力矩为,于是，在宽为dr的圆环上，唱片所受的摩擦力矩为,R,r,dr,dl,o,(3) 由 可得在 0 到 t 的时间内，转过的角度为,(2) 由转动定律求 ，(唱片J=mR2/2),（作匀加速转动）,驱动力矩做的功为,由 可求得,例2 一长为 l , 质量为m 的竿可绕支点O自由转动一质量为m、速率为v 的子弹射入竿内距支点为a 处，使竿的偏转角为30o . 问子弹的初速率
16、为多少?,解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒,射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，E =常量,END,第 四 章,刚 体 的 转 动,95,一、刚体定轴转动的运动学,二、力矩的瞬时作用规律-转动定律,角位移,角坐标,角速度矢量,方向:右手螺旋方向,1、力矩M的概念.,上式中, 是力的作用点相对于转轴的位矢,角加速度,96,3、转动定理.,2、转动惯量.,转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量,它定义为,平行轴定理:,97,三、力矩的时间累积作用,2、角动量定理.,1、角动量.,质点的角动量,刚体定轴转动的角动量,微分形式,98,3、角动量守恒定律.,若作用于物体的合外力矩 ,则角动量守恒:,对质点有:,对刚体有:,三、力矩的空间累积作用,1、力矩作功.,在定轴转动的情况下,若刚体受到的力矩为M,角位移为dq, 则M作的元功为,若刚体转过q角, M作功为,99,3、转动动能定理.,2、转动动能.,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量,100,4、刚体系统的功能原理.,对于包含有刚体转动的系统,机械能守恒定律仍然成立,5、刚体系统的机械能定恒.,101,复习提要,（1）考试重点：质点在平面内运动及刚体绕定轴转动时的角动量守恒定律。刚体定轴转动时动能定理和机械能守恒定律的应用（2）课后P-143: 1-5选择题；（3）课后布置的习题,
