1、- 1 -离散数学练习题第一章一填空1.公式 的成真赋值为 01；10 )()(qp2.设 p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题 的真值为 0 )()(srqp3.公式 共同的成真赋值为 01；10 )()()(与4.设 A 为任意的公式，B 为重言式，则 的类型为 重言式 BA5设 p, q 均为命题，在 不能同时为真 条件下，p 与 q 的排斥也可以写成 p 与 q 的相容或。二将下列命题符合化1. 不是无理数是不对的。7解： ，其中 p: 是无理数； 或 p，其中 p: 是无理数。)(p772.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。解： p: 小刘怕吃苦， q：小刘很爱钻研其 中,q
2、3.只有不怕困难，才能战胜困难。解： ，其中 p: 怕困难，q: 战胜困难p或 ，其中 p: 怕困难， q: 战胜困难q4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。解： ，其中 p: 别人有困难，q: 老王帮助别人 ，r: 困难解决了)(pr或： ，其中 p:别人有困难，q: 老王帮助别人， r: 困难解决了q5.整数 n 是整数当且仅当 n 能被 2 整除。解： ，其中 p: 整数 n 是偶数，q: 整数 n 能被 2 整除p三、求复合命题的真值P：2 能整除 5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季1. )()(prp2. rq- 2 -解：p, q 为假命题，r 为真
3、命题1. 的真值为 0)()(qpp2. 的真值为 1rr四、判断推理是否正确设 为实数，推理如下：xy2若 y 在 x=0 可导，则 y 在 x=0 连续。y 在 x=0 连续，所以 y 在 x=0 可导。解： ，x 为实数，令 p: 在=0 可导，q: y 在 x=0 连续。P 为假命题，q 为真命题，推理符号化为： ，由 p，q 得真值可知，推理的真值为 0，所以qp)(推理不正确。五、判断公式的类型1， rqppq)()()(2. r3. )()(r解：设三个公式为 A,B,C 则真值表如下：p, q ,r A B C000 1 0 1001 1 0 0010 1 0 1011 1 0
4、 1100 1 0 1101 1 0 1110 1 0 0111 1 0 1由上表可知 A 为重言式，B 为矛盾式，C 为可满足式。- 3 -第二章练习题一填空1.设 A 为含命题变项 p, q, r 的重言式，则公式 的类型为 重言式 )(qpA2.设 B 为含命题变项 p, q, r 的重言式，则公式 的类型为矛盾式 B3.设 p, q 为命题变项，则 的成真赋值为 01 ；10 )(qp4设 p,q 为真命题， r, s 为假命题，则复合函数 的成真赋值为)()(sqrp_0_5.矛盾式的主析取范式为_0_6.设公式 A 为含命题变项 p, q, r 又已知 A 的主合取范式为 则 AM
5、5320的主合取范式为 m7641二、用等值演算法求公式的主析取范式或主合取范式1.求公式 的主合取范式。)()(pqp解： Mqqpq2 )( 2.求公式 的主析取范式，再由主析取范式求出主合取范)()()( pp式。解： mqp qpqpq21030)( )()()() 三、用其表达式求公式 的主析取范式。r)(解：真值表p,q,r rqp)(000 0001 1010 0011 1100 1101 0- 4 -110 0111 1由上表可知成真赋值为 001；011；100；111四、将公式 化成与之等值且仅含 中连接词的公式)(rqp,解： )()()( rqprqpr 五、用主析取范
6、式判断 是否等值。p与解： )()()()()()( pqpqpqqp 所以他们等值。第四章 习题一，填空题1.设 F(x): x 具有性质 F，G(x): x 具有性质 G，命题“对所有 x 的而言，若 x 具有性质 F，则 x 具有性质 G”的符号化形式为 )(F2.设 F(x): x 具有性质 F，G(x): x 具有性质 G，命题“有的 x 既有性质 F，又有性质 G”的符号化形式为 )(3. 设 F(x): x 具有性质 F，G(y): y 具有性质 G，命题“对所有 x 都有性质 F，则所有的 y 都有性质 G”的符号化形式为 )()(yx4. 设 F(x): x 具有性质 F，G
7、(y): y 具有性质 G，命题“若存在 x 具有性质 F，则所有的 y 都没有性质 G”的符号化形式为 )()(5.设 A 为任意一阶逻辑公式，若 A 中_不含自由出现的个体项 _,则称 A 为封闭的公式。6.在一阶逻辑中将命题符号化时，若没有指明个体域，则使用 全总 个体域。二在一阶逻辑中将下列命题符号化1.所有的整数，不是负整数就是正整数，或是 0。解： ，其中 是整数， 是负整数，)()()(xRHxGxFxF:)(xG:)(是正整数，H:2.有的实数是有理数，有的实数是无理数。- 5 -解： ，其中， 是实数， 是有理数，)()( yHFyxGFx xF:)(xG:)(是无理数yH:
8、)3.发明家都是聪明的并且是勤劳的，王进是发明家，所以王进是聪明的并且是勤劳的。解： ，其中： 是发明家，)()()( aGaxx xF:)(是聪明的， 是勤劳的， 王前进G:)H:4.实数不都是有理数。解： ，其中 是实数， 是有理数)(xFxxF:)(x:)(5.不存在能表示成分数的有理数。解： ，其中： 是无理数， 能表示成分数)()(G:)(G:)(6.若 x 与 y 都是实数且 xy，则 x+yy+z解： ，其中， 是实数，),(),()( zyxHyFxF:)(H:),(三给定解释 I 如下：（a）个体域为实数集合 R； (b)特定元素 ； 0a(c)特定函数 Ryxyxf ,),
9、(d)特定谓词 RyxGF,:)(:给出下列公式在 I 的解释，并指出他们的真值：1. ),(),(yxyxG解： ，即对任意的实数， ，则 ；真值为 1yx,2. ),(),(yxayxfF解： ，即对任意的实数 若 则 其真值为 00yx,0,yx3. ),(),(yxfyxG解： ，即对任意的实数 若 则 其真值为yx,yx14. ),(),(yxFayxf- 6 -解： ，即对任意的实数 若 则 其真值为)0(yxyxyx,0,yx0四给定解释 I 如下：(a)个体域 D=N; (b)特定元素 (c)N 上函数2a ;),(,),( yxgyxf (d)N 上谓词 yxF:),(给出下
10、列公式在 I 下的解释，并指出他们的真值：1. ),(agx解： ，即对任意的自然数 ，都有 ，真值为 02xx22. ),(),(ayfFxfFy解： ，即对任意自然数 若 ，则 ；2xyx,y2x2其真值为 03. ),(zyxfz解： ，即对任意的自然数 ，都存在 ，使得 ；真值为 1yx,zzyx4. ),(,(xgfxF解： ，即存在自然数 使得 ，其真值为 12x2第六章 习题一，填空1.设 ， ，则 _ _4,32aA3,4aBBA,3,2a2.设 ，则 _ _1)(AP1,13.设 ，则 _ ，1 ，1,2，1，1，,2_,4. 设 ，则 _ ，1，2，1,2_2A)(5.设a
11、,b, (c,d)代表实数区间，那么 _3,4_)3,1(6,24,0(- 7 -6.设 X,Y,Z 为任意集合，且 ， ，若 则一定有_3,21YX4,32ZX,YZ_Z3;2)4;1( Z7.设 则 _ _,A)(二，简答题1.设 ，12,I， ， ， ，计算： 97531,753B12,63C8,4D;BA; ; ; ; ;CA)(AB1,2,3,5,7,9,11 =3 =6, 12 =1, 9 )(A=3,6,12 =3,4,5,7,8,11DDB2.设 ，求： ; baA,A=a,b=a三、设 ， ， ，求:6,5432,16,42B15,|3xNnxC; ; CAB)(PC=1,8
12、=1,2,3,4,5,6,8=P(B)= ,2,4,6,2,4,2,6,4,6,2,4,6四：一个班 50 个学生，在一次考试中有 26 人得 5 分，在第二次考试中有 21 人得 5 分，如果两次考试中没有得 5 分的有 17 人，那么两次考试中都得 5 分的有都少人？（提示：应用包含排斥原理）答：设 A 为第一次考试得 5 分的人，B 为第二次考试得 5 分的人。A=26,B=21（A B）=17A B=50-17=33A B-A=7A B=21-7=14五，一个班 25 个学生，会打篮球的有 12 人，会打排球的有 10 人，两种球都不会打的有 5人，那么两种球都会打的有多少人？（提示：应用包含排斥原理）答：设 A 为会打篮球的人数， B 为会打排球的人数。A=12,B=10（A B）=5- 8 -A B=25-5=20A B-A=8A B=10-8=2第七章 习题设 ，求 x,yxyx2,15,解：由有序相等的充要条件：解得：xy76y2.已知 ， ，试确定下列集合(1) , (2) (3)1,0A2,1BBABA1解：(1) ,0,(2) 2,1,2,1,(3) 2,01,2,10,0,0,BAP143 页 13 题设 , 3,42,1A,4,3,1B求： , , B BAranAAdomdodom),(, 解： 243,2312A4,Bdom,2143ranA
