有理数域上多项式的因式分解.doc

1、 本科毕业论文（设计）模板本科毕业论文(设计)论文题目：有理数域上多项式的因式分解 学生姓名： 学 号： 专 业： 班 级： 指导教师： 完成日期： 年 月 日I有理数域上多项式的因式分解内 容 摘 要多项式理论是学习高等代数和解析几何必不可少的内容，它具有独立完整不基于其他高代理论基础的体系，并且为学习代数和其他的数学分支提供理论依据.因式分解，也叫做分解因式，是我们研究有理数域上多项式理论的核心之一，也是进一步学习代数和科学知识的必备基础.因此，在这里我们要对有理数域上多项式的因式分解进行研究.本文讲述了有理数域上多项式因式分解的条件和方法，通过多个判别方法判断多项式因式分解的充分条件；在

2、多项式可以因式分解的基础上，总结出应用于多项式因式分解的简便算法，给出实例供参考；并在实际应用中融入因式分解的意义和目的.关键词：有理数域 多项式 因式分解IIRational polynomial factorization domainAbstractPolynomial theory is the study of Higher Algebra and analytic geometry essential content, it has independent and complete not system based on other generation of high theor

3、etical basis and algebra and other branches of mathematics learning and provide a theoretical basis. Factorization, also called factorization, we study the rational number field polynomial theory is one of the core, also for further study of the essential basis of the algebra and scientific knowledg

4、e. Therefore, here we want to factor the polynomial over the rational number field decomposition was studied.This paper tells the factorization of polynomial factorization of rational number field conditions and methods, through multiple discriminant method to determine sufficient conditions for pol

5、ynomial factorization; in polynomial can factorization based, summed for simple algorithm for polynomial factorization, give an example for reference; and in the practical application into factorization of meaning and purpose.Key words：Rational number field polynomial factoring 1目 录一、多项式的相关概念 1（一）一元

6、多项式和一元多项式环的概念 1（二）多项式整除的概念 2二、有理数域上的多项式的可约性 .3（一）有理数域与实数域和复数域的区别 3（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念 3（三）本原多项式的基本内容 41.本原多项式的概念 .42.本原多项式的性质 .4（四）判断多项式在有理数域上的可约性 51.爱森斯坦( 判别法 5)2.布朗 判别法 6（ ）3.佩龙 判别法 .6（ ）4.克罗内克 判别法 .7()5.反证法 .76.有理法（利用有理根） 87.利用因式分解唯一性定理 88.综合分析法 .8三、多项式的有理根及因式分解 .9（一）求根法 9（二）待定系数法 9（三）重因式分离法 10（

7、四）应用矩阵的初等行变换法 .10（五）利用行列式的性质 .112四、结论 12参 考 文 献 131序 言 代数问题是方程问题，方程问题就是求解问题.低阶方程的求解具有一般的代数方法（一次到四次） 1，而对于高次方程的求解关键在于掌握多项式的因式分解.因式分解是集分解变形为之意，综合应用以前所学的知识，是解决许多数学问题的有力工具.它是研究各种运算和代数的恒等变形，采用了大部分相同的变形技能和技巧，如常用的因子提取、公式化配方等.因此，因式分解不只是数学上的一个重点，也是一个难点.在本文中，研究的有理数域上多项式的因式分解实际上是整系数多项式的分解.整系数多项式是一个无限集，如何判断它可约迄

8、今为止还没有精确和易操作的方法，所以文中针对这个难点进行研究讨论.一、多项式的相关概念（一）一元多项式和一元多项式环的概念多项式是代数学中重要的基础知识，它不仅与高次方程有密切联系，在其他方向为学习代数知识也做了很好的铺垫，因此，我们必须清楚多项式的基本内容.定义 1 设 是一非负整数，表达式+11+0其中 全属于数域 ，称为系数在数域 中的一元多项式，或者简称为数域 上的一元多0， 1， 项式. 2多项式可以加、减、乘，例如：（ 221） +（ 322+2） =3+1（ 221） （ 2+1） =2423+222+1=423+2+1根据上述式子的计算，可以看出数域 上的两个多项式通过加、减、

9、乘等运算后，其结果仍然是数域 上的多项式.接下来，我们引入一个概念.定义 2 所有系数在数域 中的一元多项式的全体，称为数域 上的一元多项式环，记为 ， 称为 的系数域. 3 2之后我们要讨论的有理数域上多项式的因式分解是在一个固定的数域 上的多项式环 中进 行的.（二）多项式整除的概念我们讨论过一元多项式可以容易地进行加、减、乘法运算，但是多项式之间的除法并不像其他运算那样可以普遍地做.因此整除运算就成为了两个多项式之间区别于其他运算更值得探讨的课题.和高中代数一样，作为一种表达式，可以用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式，如：设 ()=33+425+6()=23+1接下来，我们作除法

10、：23+1|33+425+6 3 292+31328+6 13239+13317|3+13于是，求得商为 ，余式为 ，所得结果可以写成下列形式：3+13 31733+425+6=(3+13)(23+1)+(317)定理 1（带余除法） 对于 中任意两个多项式 和 ，其中 ，一定有 中的 () () ()0 多项式 存在，使(),()()= () ()+ ()成立，并有 或 ，并且这样的 是唯一决定的.( ()(,() ()所以上述式子不可能成立，这也证明了 ，同时()=,() ,()= ()定义 3 数域 上的多项式 通常称作 整除 ，存在数域 上的多项式 使等式 () () () ()成立，

11、我们用 表示 整除 ，用 表示 不可以整()= ()() “()| ()” () () “() | ()“ ()除 .当 时， 就称为 的因式， 称为 的倍式. () ()| () () () () ()事实上，整除多项式原理使我们很轻松的了解多项式因式分解的原理.二、有理数域上的多项式的可约性（一）有理数域与实数域和复数域的区别我们知道，有理数域，实数域和复数域的范围不同.为了能更好的分析有理数域上多项式的因式分解，我们要区分有理数域，实数域和复数域的概念，只有将单项涵义牢记于心，我们才能知道多项式在各个数域中需要分解到何种形式，这里先做简要介绍.首先，有理数包括：（1）整数：正整数，负整数

12、和 ；（2）分数：正分数，负分数；（3）0小数：有限小数和无限循环小数 4.所有有理数组成一个集合，即为有理数集.而有理数集是一个域，可以在其中进行四则运算（0 作除数除外） ，用字母 表示 .其次，实数可以包含所有的轴点数量，直观的看作是有限小数和无限小数，是有理数和无理数的统称，用字母 表示.再次， 是写成如下形式 的数， 和 是 ， 是 ，是实数和虚数的统称，复数 + 实数 虚数单位用字母 表示.（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念定义 4 数域 上次数 的多项式 称为域 上的不可约多项式，如果它不能表成数域 上 1 () 两个次数比 的次数低的多项式的乘积.()定理 2（因式分解及

13、唯一性） 数域 上每一个次数 的多项式 都可以唯一地分解成数域 1 ()上一些 .而 是指，若有 不可约多项式的乘积 唯一性 两个分解式()=1()2()()=1()2()()那么必有 ,根据因式的次序适当排列得到=4()=,=1,2,其中 属于非零常数.(=1,2, ,)多项式因式分解看似简单，实质蕴含了许多深奥的理论.多项式在不同数域上分解程度是不同的,我们不应该想当然的提出多项式因式分解后，就说它已经不能再分，并完成了多项式分解.我们可以比较一下复数域、实数域和有理数域上 的差异.多项式因式分解如:分别求多项式 在复数域，实数域以及有理数域上的因式分解.44在复数域上这个多项式的因式分解

14、为 (+2)( 2)(+2)( 2)在实数域上这个多项式的因式分解为 ( )2+2)(+2)( 2在有理数域上这个多项式的因式分解为 (2+2)(22)从上述结果可以看出，对于一个多项式能否因式分解，不能单独考虑它是否满足因式分解的定理.我们具体情况具体分析，有理数域的多项式的因式分解比较困难.因为在有理数域上多少次的不可约多项式都存在，我们有时还认不出其究竟是否可约，所以研究非常麻烦.故而确定有理数域上多项式是否可约是麻烦的，掌握多项式因式分解不如想象中那么简单.（三）本原多项式的基本内容1.本原多项式的概念定义 5 设 是非零的整系数多项式，如若 的系数()=+11+0 ()互素，就称 是

15、本原多项式.,1, ,0 ()所以，任何一个非零的有理系数多项式 都能表示为一个有理数 与一个本原多项式 的() ()乘积，即 .()= ()由此证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的，可以说，若 ,且()=()=11()是有理数， 是本原多项式，那么必定有 .,1 (), 1() =1,()=1()因为多项式 和本原多项式 只相差一个非零的常数倍，他们都有着相同的整除性质，() ()因此 的因式分解问题可以归结为本原多项式 的因式分解问题.所以我们可以讨论 原多项() () 本式的性质，之后考虑整系数多项式的因式分解问题.2.本原多项式的性质性质 1 高斯 引理 设 与 为两个本原多项式，

16、那么他们的乘积( () ) () ()()=() ()也是本原多项式.性质 2 设 是非零整系数多项式，若 分成为两个有理数域上的多项式 与 的乘() () () ()5积，且()+4 () 可约.例 3：证明 在 上不可约.()=232+1 证明：因为无法找到素数 来判断 满足爱森斯坦 判别法的条件，因此我们无 () ()法根据爱森斯坦 判别法来判别可约性，但是我们可以根据布朗 判别法判断() （ ）多项式的可约性.因此，我们可以得到： =47(0)=1， (1)=1， (1)=5， (2)=23， (3)故而， 4, 12所以得到 +2 183+4由此根据布朗 判别法可知， 在有理数域上不

17、可约 .（ ） ()3.佩龙 判别法（ ）定理 5 设()=+11+1+0(00,=0,1,1)是整系数多项式，若此系数满足 ，则 在有理数域上|1|1+|2|+|3|+|1|+|0| ()7不可约.例 4：证明 在有理数域上不可约.()=5+44+2+1证明：因为无法找到素数 来判断 爱森斯坦 判别法的条件，因此我们不 ()满足 ()能用爱森斯坦 判别法，但是我们可以看出 满足佩龙 判别法的条() 多 项 式 () （ ）件.因此根据佩龙 判别法定理以及题目得出 41+1+1，所以该多项式在有理数域上不（ ）可约.4.克罗内克 判别法()定理 6 设()=+11+1+0是一个整系数多项式，可

18、以在有理数域上将 分解成两个不可约多项式的乘积.()例 5：证明 在有理数域上不可约.()=5+1证明： = ，取 ，则有 ， ，2(),()() 6.有理法（利用有理根）对于一些次数不超过三次的多项式，利用有理根方法进行判别会更简便，若没有有理根，则该多项式在有理数域上不可约.例 7： 在有理数域上是否可约？判断 ()=3 -5+1解：假设 可约，那么 至少有一个一次因子，即有一个有理根.() ()但 的有理根只可能是 1，因此带入验算得 (1)0.说明该多项式没有有理根，因此() 在有理数域上不可约 .()例 8： 在有理数域上是否可约？判断 ()=3462+171127解：若 可约必有有

19、理根，而 的有理根中只能是1 或127.() ()因为 (1) (127) 所以 无有理根，解得 在有理数域上不可约. 0, 0， () ()7.利用因式分解唯一性定理将有理数域看作实数域的一部分，多项式可以分解成几个实数域上的不可约因子.由于其不可约因式的系数不都是有理数，所以通过因式分解唯一性定理，则该多项式在有理数域上不可约.例 9：证明 在有理数域上不可约.4+ 1解：多项式 在实数域上分解为不可约因式的乘积为4+14+1=（ 2+2+1)(2 2+1)根据 可知，如果 在有理数域上可约，应该为上述的分解形式，但因式分解唯一性定理 4+1上述不可约因式的系数不全为有理数，故而 .4+1

20、在有理数域上不可约8.综合分析法在多项式因式分解过程中，我们有时不能只用一种方法判断其是否可约，因为有时靠一种方法并不能推断出来，所以我们采取综合分析法.例 10：证明 （ 是整数）在有理数域上是否可约？()=4+4+1 9解： 的有理根只能是 1，且 1)0.() (所以 无一次因式，如若 可约，只能是两个二次因式乘积。() ()令 ，其 , 为整数，则有()=(2+1)(2+1) 中 4+4+1=4+(+)3+(2+)2+(+ ) +1比较两端系数 ， ， ，得到 .即 不可能是整数，这与理论+=0 2+=0 +=4 2=2 上 应为整数矛盾.因此， 不可约. ()三、多项式的有理根及因式

21、分解在判断多项式是否可约之后，我们就要借助于以下方法简单的对有理数域上的一元多项式进行因式分解了.（一）求根法设多项式 是整系数多项式.()=+11+1+0第一步，写出首项系数 的全部因数 ， ； =1， 2， 第二步，写出常数项 的全部因数 ， ；0 u =1， 2， 第三步，用综合除法对 试验，确定 的根；jiv()第四步，写出 的标准分解式. 9()例 11：求 在有理数域上的因式分解.()=44+73+102+52解:先把它变成求 的有理根.()=44+73+102+52 的常数项和首项系数的全部因数分别是 和 ;() 1,2 1,2,4则需要检验的有理数为 ，而 ，故 是 的根，则得

22、到1， 2， 4 (-1)=0 -1 ()()=(+1)(43+32+72)按照同样的方法可求 的有理根，得到 的有理根为 ，故有()=(43+32+72) () 4是 的单根. 所以，该多项式的分解式为14()44+73+102+52=(+1)(14)(42+4+8)=(+1)(41)(2+2)（二）待定系数法在有理根的基础上，清楚所求的多项式含待定系数的一般解析式，再根据恒等条件，列出待10定系数的方程式，根据解方程法，得出标准分解式.例 12：求 在有理数域上的标准分解式.()=5103202154解: 的首项系数 的因子有 ，常数项 的因子有 ，所以 的() 1 1 4 1， 2， 4

23、 ()根有可能是 .将其代入 逐一进行检验，得出 和 是 的有理根.1， 2， 4 () 1 4 ()假设 ，利用多项式乘法法则对右式展开合并同类项()=(+1)(4)(3+2+1)()=5+(3)4+(43)3+(134)2+(34)4将得到的结果与 逐项比较，得 .()=5103202154 =3所以，该多项式的标准因式分解式为()=(+1)(4)(3+32+3+1)=(+1)4(1)（三）重因式分离法上任何次数大于 0 的多项式 都有唯一的标准分解式数域 ()（1）()=11()22()()其中 为 的首项系数， 是 上首项系数为 的不可约多项式且两两互异的正整数.对 () 1()()

24、1（1）式两边求导得()=()111()221()1()其中每个 都不能整除 ，辗转相除法得() ()(),()=111()221()1()存在 使 ，由此可见 和 都有完全相同()=1()2()()()=(),()() ()()的因式，差别是 中因式的重数为 ，因此求 的因式可以换成求 的因式. 10() 1 () ()例 13：求多项式 在有理数域上的标准分解式.()=5103202154解:由()=543024015,(),()=3+32+3+1得 ，所以 的不可约因式为 .()= ()/(),()=234 () -4， +1所以 .根据重因式定理， 是 的 重因式，即(),()=(+1

25、)3 +1 ()4()=(+1)4(4)（四）应用矩阵的初等行变换法根据 初等行变换 () 1 0() 0 1 (),() () ()0 11其中 ， 满足 ，以此得出 ，再根据重因式分() () (),()= ()()+ () () (),()离法求出多项式 标准分解式.()例 14：求 在有理数域上的标准分解式.()=5103202154解:由初等行变化 5103202154 1 05(46283) 0 1 3+32+3+10 420x3240x所以(),()=3+32+3+1=(+1)3又因为()/(),()=23 4=(4) (+1)所以()=(+1)4+(4)（五）利用行列式的性质在

26、高代中，行列式是一个很好的工具，我们可以巧妙地利用行列式的相关性质对多项式进行因式分解.我们知道二阶行列式| 1112 2122|=11221221扩展开来，可以将一个多项式 表示为其他两个多项式的差，其中的每个两个多项式又能写成另外两个多项式的乘积 11，即 ，也即是 将 转化成二阶行列式的= =| | 多项式 形式，再对二阶行列式进行初等变换，提取公因式.对任意的一元 次多项式 均可写成 阶行列式的形式 ()=+11+1+0 ()=| 1 0 0 00 10 0 0 0 0 10 1 2 2 +1|在此基础上，利用行列式性质，通过降阶等方法进行分解 12.例 15：对多项式 进行因式分解

27、.()=54+243152118+24解： ()=| 10 0 01 0 0 024118 1 15 5+24|12=| 10 0 01 00 024118 152+2415 0|=| 1 00 12411852+2415|=(51)| (51) 50 124 2 +5|=(51)| 124 25+2|=3(51)| 18 (2+52)|3=3(51)|8 |3x25x=(51)| +38 (+3)(+2)|=( +3)(51)| 18 +2|=(+3)(51)(+4)(2)四、结论本文着重分析了判断有理数域上多项式是否可约的条件和方法，给出了有理数，一元多项式和本原多项式的概念，同时介绍了一

28、系列的判别法以确定本原多项式是否可约，这些方法各有所长，但爱森斯坦判别法更为基础.之后介绍了五种分解方法，当然并不局限于这几种，有很多种，我们不必拘泥于其中一种形式. 对于不同的类型的题目我们可以选用不同的方法，经过比较选择最合适最简单的方法.多项式因式分解将成为今后进一步研究数学的基础：应用在研究分式约分、通分以及分式的化简等项目；将方程根变形，使根式运算过程简便，提高答案的精确度；同时还可将多项式和差化积，取对数使计算简化. 学习有理数域上多项式的因式分解，有利于培养学生的逻辑思维，丰富学生的解题经验，提高学生的解题能力，对日后学习的帮助不言而喻.本篇论文对有理数域上多项式因式分解的内容进

29、行了列举论证，由于篇幅有限，在方法和解读上有不足之处望体谅，希望可以为读者在关于多项式因式分解的研究学习中有一定帮助.13参 考 文 献1 李颖.一元低次方程求解的一般方法J.大庆师范学院学报，2006，30（2）：36-38.2 刘振宇.多项式理论中的标准分解式结构J.枣庄学院学报，2006，23（2）：12-13.3 李林. 基于 NTL 平台的因式分解模块的实现 D.四川：电子科技大学，2010.4 肖远琼.浅谈数学单元总结的具体要求J.教育科研，2012， （8）：80-80.5 Wang P S，Veinberger B M.Factoring Multivariate of Rat

30、ional Function Algerbraic Number IntegersJ.Mathematisch of Computation，1979,29（131） :32-39.6 张翠，李明珠.一类不能应用艾森斯坦判别法的不可约多项式D. 河南：洛阳师范学院数学科学学院，2008，29（7）：83-83.7 冯克勤.B.L. 范德瓦尔登.代数学 I.科学出版社，122-123.8 万会芳.关于高次多项式因式分解的方法D.四川商业高等专科学校学报，2001，10（3）：73-76.9 徐仲，陆全，张凯院.高等代数导教导学导考M.第三版.西安：西北工业大学出版社，2006.10 段学复，聂灵沼等.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003.9(2007 重印).11 吴春梅，傅夕联.萨玛瓦尔的多项式理论J.洛阳大学学报，2007，22（2）：108-110.12 杨琴 .关于一元多项式的因式分解J.青海民族大学学报（教育科学版） ，2010,30（5）：14-17.