1、选修 44 坐标系与参数方程第一节 坐标系考纲传真 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：Error!的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个 长度单位、
2、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向) ，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 |OM|叫做点 M 的极径，记为 .极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 .极坐标：有序数对( ，)叫做点 M 的极坐标，记为 M(， )一般不作特殊说明时，我们认为 0， 可取任意实数3极坐标与直角坐标的互化设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是( ，)，则它们之间的关系为：Error!Error!4简单曲线的极坐标方程曲线 极坐标方程圆心为极点，半径为 r 的圆 r(0
3、 2)圆心为(r,0) ，半径为 r 的圆2rcos ( 2 2)圆心为 ，半径为 r 的圆(r，2) 2rsin (0 )过极点，倾斜角为 的直线 (R)或 (R)过点(a, 0)，与极轴垂直的直线cos a ( 2 2)过点 ，与极轴平行的直线(a，2) sin a(0 )基础自测1(思考辨析) 判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系 ( )(2)若点 P 的直角坐标为(1， )，则点 P 的一个极坐标是 .( )3 (2， 3)(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的 ( )(4)极
4、坐标方程 (0)表示的曲线是一条直线 ( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编) 在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是( )A. B.(1，2) (1， 2)C(1,0) D(1，)B 法一：由 2sin ，得 22sin ，化成直角坐标方程为x2y 22y，化成标准方程为 x2(y1) 21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为 .(1， 2)法二：由 2sin 2cos ，知圆心的极坐标为 ，故选 B.( 2) (1， 2)3(教材改编) 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y1 x(0x1)的极坐标方程为( )A ，01cos
5、sin 2B ，01cos sin 4Ccos sin ，02D cos sin ，0 4A y1x (0x1)，sin 1cos (0cos 1)， .1sin cos (0 2)4在极坐标系中，曲线 C1 和 C2 的方程分别为 sin2 cos 和 sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为_(1,1) 由 sin2cos 2sin2cos y 2x，又由 sin 1y1，联立Error!Error!故曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为(1,1)5在极坐标系中，圆 8sin 上的点到直线 (R )距
6、离的最大值是3_6 圆 8sin 即 28 sin ，化为直角坐标方程为 x2(y4) 216，直线 ，则 tan ，化为直角坐标方程为 xy 0，圆心(0,4) 到直线的距3 3 3离为 2，所以圆上的点到直线距离的最大值为 246.| 4|4平面直角坐标系中的伸缩变换1求椭圆 y 21 经过伸缩变换 Error!后的曲线方程x24解 由Error! 得到Error! 将代入 y21，得 y 21，即 x 2y 21.x24 4x 24因此椭圆 y21 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2y 21.x242将圆 x2 y21 变换为椭圆 1 的一个伸缩变换公式为 ：Error!x29 y24求
7、 a，b 的值解 由Error! 得Error!代入 x2y 21 中得 1，X2a2 Y2b2所以 a29，b 24，即 a3，b2.规律方法 伸缩变换后方程的求法，平面上的曲线 yfx在变换 ：的作用下的变换方程的求法是将 代入 yfx，得，整理之后得到 yhx ，即为所求变换之后的方程 .易错警示：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标x，y 与变换后的点的坐标x，y .极坐标系与直角坐标系的互化【例 1】 (2019 合肥质检)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 cos 1(0 2)，( 3)M，N 分别为曲线 C 与 x
8、轴，y 轴的交点(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程解 (1)由 cos 1 得 1.( 3) (12cos 32sin )从而曲线 C 的直角坐标方程为 x y1，即 x y20.12 32 3当 0 时， 2，所以 M(2,0)当 时， ，所以 N .2 233 (233，2)(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为 .(0，233)所以 P 点的直角坐标为 ，(1，33)则 P 点的极坐标为 .(233，6)所以直线 OP 的极坐标方程为 (R)6规律方法 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1直
9、角坐标方程化为极坐标方程：将公式 x cos 及 ysin 直接代入直角坐标方程并化简即可.2极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 cos ， sin ， 2的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以或同除以 及方程两边平方是常用的变形技巧.已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 2， 22 cos22.( 4)(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解 (1)由 2 知 24，所以圆 O1 的直角坐标方程为 x2y 24.因为 22 cos 2，2 ( 4)所以 22 2，2(cos cos4 sin sin4
10、)所以圆 O2 的直角坐标方程为 x2y 22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 xy 1.化为极坐标方程为 cos sin 1，即 sin .( 4) 22极坐标方程的应用【例 2】 在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x 2，圆 C2：(x1) 2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C 2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 (R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求4C 2MN 的面积解 (1)因为 xcos ，ysin ，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C2 的极坐标方程为 2
11、2cos 4 sin 40.(2)将 代入 22cos 4 sin 40，得423 40，解得 12 ， 2 .2 2 2故 1 2 ，即|MN| .2 2由于 C2 的半径为 1，所以C 2MN 的面积为 .12规律方法 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于增加对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.(2019广州调研 )在极坐标系中，求直线 sin 2 被圆 4( 4)截得的弦长解 由 sin 2，得 (sin cos )2，( 4) 22可化为 xy2 0.圆 4 可化为 x2y 216，2圆心(0,0)
12、到直线 xy2 0 的距离 d 2，2| 22|2由圆中的弦长公式，得弦长 l2 2 4 .r2 d2 42 22 3故所求弦长为 4 .31(2018全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 yk |x|2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为22cos 30.(1)求 C2 的直角坐标方程；(2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程解 (1)由 xcos ，ysin 得 C2 的直角坐标方程为(x1) 2y 24.(2)由(1)知 C2 是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆由题设知，C 1 是过点 B(0,2)
13、且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2.由于 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点当 l1 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l1 所在直线的距离为 2，所以2，故 k 或 k0.经检验，当 k0 时， l1 与 C2 没有公共点；当| k 2|k2 1 43k 时，l 1 与 C2 只有一个公共点，l 2 与 C2 有两个公共点43当 l2 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l2
14、 所在直线的距离为 2，所以2，故 k0 或 k .经检验，当 k0 时， l1 与 C2 没有公共点；当 k|k 2|k2 1 43时，l 2 与 C2 没有公共点43综上，所求 C1 的方程为 y |x|2.432(2017全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| OM|OP|16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 C2 上，求OAB 面积的最大值(2，3)解 (1)设 P 的极坐标为(
15、 ， )(0)，M 的极坐标为( 1，)( 10)由题设知|OP| ，|OM| 1 .4cos 由|OM |OP|16 得 C2 的极坐标方程为 4cos (0)因此 C2 的直角坐标方程为(x2) 2y 24(x0)(2)设点 B 的极坐标为( B， )(B0)由题设知|OA|2， B4cos ，于是OAB 的面积S |OA|BsinAOB4cos 12 |sin( 3)|2 2 .|sin(2 3) 32| 3当 时， S 取得最大值 2 .12 3所以OAB 面积的最大值为 2 .33(2016全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(t 为参数，a0)在
16、以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2的公共点都在 C3 上，求 a.解 (1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2(y1) 2a 2，则 C1 是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆将 xcos ，y sin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为22sin 1a 20.(2)曲线 C1，C 2 的公共点的极坐标满足方程组Error!若 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a 20，由已知 tan 2，可得 16cos28sin cos 0，从而 1a 20，解得 a1(舍去)或 a1.当 a1 时，极点也为 C1，C 2 的公共点，且在 C3 上所以 a1.
