1、 通州中考学习交流 qq 群：104807029二次函数为什么是中考代数部分最难点2015 北京中考五大模块深度剖析之二次函数学而思北京中考研究中心专家团顾问：陈金根主编：魏巍 刘蕾 费新斌讨论：董小磊 牛丽娟 许秀霞 刘鹏农 林儒强 齐永确 高晓雪 根据 2015 年北京教育考试院下发的 北京市高级中等学校招生考试说明数学得知，北京中考对二次函数的考试要求达到最高级别 C 级要求（Tips：C 级要求通常以压轴题形式出现） ，同学们应当引起重视。北京中考每年主要有两道题目考查二次函数的知识（并且其中一道为压轴题目） ，涉及分值 11 分左右，约占全卷总分值的 10%，这一比例相当于普通章节的
2、三倍，比重之大，可见一斑。那么，北京中考对于二次函数的考查，难度系数到底有多大？考点又有哪些？需要掌握哪些解题方法和技巧？接下来，我们就二次函数在北京中考中的考察情况，为参加中考的同学做出以下 3 点分享：1、难度分析及考点分析；2、方法技巧提炼、针对最难点给出 13 个原创的题目进行针对性解决；3、限时巩固练习。一、 【二次函数为什么是中考代数部分的最难点？】1、 二次函数主要以压轴题形式考查，难度高，得分率低年份 题号 类型 分值 平均分 难度系数2014 23 综合题 7 分 3.64 分 0.522014 25 综合题 8 分 1.44 分 0.182013 10 填空题 4 分 3.
3、24 分 0.812013 23 综合题 7 分 3.22 分 0.462012 23 综合题 7 分 3.01 分 0.432011 7 选择题 4 分 3.12 分 0.782011 23 综合题 7 分 3.08 分 0.44（部分数据来源：北京市教育考试院数据分析统计报告）北京中考二次函数主要以综合题的形式考查，通常出现在整张试卷的倒数第三题。通过对近 4 年北京中考二次函数考查情况的分析，我们发现，二次函数综合题得分率低，难度系数小，约为0.40.5（Tips：难度系数越小，难度越大。中考数学整体难度系数约 0.72。 ） ，属于中考数学的压轴题之一。通州中考学习交流 qq 群：10
4、48070292、 二次函数综合性强，最后一问考查数形结合思想，区分度大真题考查 考点 中考要求 分值 难度2014 中考 23 题（1）问 二次函数的图象和性质、解析 式 B 1 分 易2014 中考 23 题（2）问 二次函数与方程和不等式 C 5 分 难2013 中考 23 题（3）问 二次函数与方程和不等式 C 3 分 难2012 中考 23 题（1）问 二次函数的解析式 B 2 分 易2012 中考 23 题（2）问 二次函数的图象和性质 B 1 分 中2012 中考 23 题（3）问 二次函数与方程和不等式 C 3 分 难2011 中考 23 题（1）问 二次函数的图象和性质 B
5、2 分 易2011 中考 23 题（3）问 二次函数与方程和不等式 C 3 分 难结合 20112014 年的中考 23 题（Tips ：二次函数综合压轴题） ，概括地说，二次函数综合压轴题是以函数为主线，结合一元二次方程的有关知识，运用几何图形的性质的综合性试题。二次函数综合题一般为 3 小问， 考点主要是两点：I. 前两问是对开口方向、对称轴、顶点坐标、解析式等基础知识的考查，满分 4 分，考生平均分2.71 分左右。 （属于必拿分题目）II. 最后一问是对二次函数与一次函数交点的情况、二次函数与方程不等式的关系等综合的考查，满分 3 分，考场平均分 0.52 分左右，最后一问是导致失分，
6、拉开学生之间的差距的关键。 （属压轴部分）3、 如何突破二次函数的最难点，实现二次函数综合题满分？通过对中考二次函数难度分析和考点分析，学而思北京中考研究中心给初三考生的建议是：I. 二次函数综合题的第（1）问或前两问的正确率在 60%以上，再结合 2015 年北京市教育考试院给出的关于中考改革的意见来看，今年中考综合难度会略有降低，意味着这两问难度继续降低，所以要参加中考的同学一定要把此题前两问分数拿到，以免被拉开差距。II. 最后一问的正确率在 20%以下，得分率低，难度大，这是二次函数压轴题的核心，也是整张试卷中起到中考选拔作用的题目，所以建议要参加中考的同学专项训练二次函数综合题最后一
7、问的典型题目，总结归纳对应的解题方法和技巧。那么怎么才能把最后一问的分数收入囊中呢？为帮助同学们顺利解决二次函数压轴题，学而思北京中考研究中心团队通过数百道真题分析，提炼两种方法技巧，原创 13 种变式题，为初三同学们带来权威、实用的解题秘籍。通州中考学习交流 qq 群：104807029二、 【2 个技巧 13 个原创变式解决二次函数最难点】1、近两年考试真题剖析，方法技巧提炼考查方式：从前几年所考二次函数的综合性问题可以看出，命题模式比较固定，都是给出一个含有字母系数的二次函数，通过某些条件确定这个二次函数的解析式，然后基于这个已知的二次函数讨论某个一次函数和它（或它的一部分或它的变化形式
8、）的交点情况 （二次函数压轴题一般有 3 小问）【二次函数压轴题第（1） （2）问的解决技巧】：技巧 1. （1）若给出确定的解析式：第一步：计算出对称轴（利用 或者 ）12xba第二步：再利用因式分解或求根公式求出抛物线与坐标轴的交点（2）若给出含字母系数的解析式：第一步：根据各种特定的已知条件求出二次函数解析式（注意二次项系数不为 0） ；第二步：求出对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标；第三步：若求一次函数与二次函数的交点，只需把两解析式联立解方程组即可；第四步：若有图像变换直接利用平移结论“上加下减，左加右减” ，或对称公式来解决，这些都是解决最后一问的前提注意：求抛物线对称轴最重要！对称轴
9、和交点都定后，之后再怎么变化就都尽在掌握了【二次函数压轴题第（3）问的解决技巧】：技巧 2. 搞定它的秘籍首先就是精确作图，一定要用 100%的耐心加细心把图象画好，这是中考说明中给出的 A 级，是最基本的要求， 再找出临界点（临界点：图象边缘的两个点，不等式中恰好在边界的那些数值） ，利用临界点确定字母系数的值或取值范围。【真题案例对比分析 12014 年北京中考 23 题】在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ， xOy2yxmn02A， 34B，（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点 关于原点的对称点为 ，点 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 ， 之间的部分BCDA为图象 （包含
10、， 两点） 若直线 与图象 有公共点，结合函数图象，求点 纵坐标GABGD的取值范围t【解析】 （1） 经过点 ，2yxmn(02)A， (34)B，代入得： ，834 抛物线的表达式为 2yx对称轴 .12x技巧 1. 给出含字母系数的解析式：那首先根据已知 ，(02)A，两点坐标求出二次函数解析(34)，式。确定解析式后，直接计算出对称轴。通州中考学习交流 qq 群：104807029（2）xyA C B1234 12342345123450由题意可知 ，二次函数 的最小值为 ，()， 24yx4由图象可以看出 点纵坐标最小值即为 ，最大值即 与对称轴交点。DBC直线 的解析式B43yx当
11、 时，1x 4t 【真题案例对比分析 22013 年北京中考 23 题】在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴与 轴交于点xOy20ymx yAxB（1）求点 ， 的坐标；AB（2）设直线 与直线 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 的解析式；l l（3）若该抛物线在 这一段位于直线 的上方，并且在 这一段位于直线 的下方，21xl23xAB求该抛物线的解析式【解析】 （1）令 ，得 ，0y则 ，2A，又对称轴 ，21bmxa则 10B，（2）由（1）可知，直线 的解析式 ，AB2yx关于对称轴对称后的解析式为 （3） BAAO xy抛物线的对称轴为直线 x=1，抛物线在 这一段
12、与在 这一段关于对称轴对称，23x 10x- 技巧 2. 首先精确作图，再找到 D 点的临界位置，发现 C 点的纵坐标和顶点的纵坐标一样，那么 D 点最低就是顶点，再连接 和 发现哪条直线AB和对称轴交点比较高？显然是 ，问题就搞定了。直接代入解析式即可。技巧 1. 解析式中只有一个字母系数，而且题干中提到了对称轴，那么直接利用 求出对称轴你看看，2bxa连续两年都考对称轴，它重要不重要？！你再看看 2012 年，一样也考！技巧 2. 第（3）问说了一堆什么这一段位于直线上方，那一段位于直线下方，是不是很晕很迷茫？精确作图就能搞定了有没有发现其实整个图形是对称的，观察一下临界位置，就是我们刚才
13、说过的不等式中恰好在边界的数值， ，有没有发现213， ， ，什么？这么对称的图形，当然是发现对称点了，-1 和 3 是关于对称轴对称的有木有？说明他们俩都恰好在抛物线上，哦了，问题搞定！通州中考学习交流 qq 群：104807029结合图象可以观察到抛物线在 这一段位于直线 l 的上方，在 这一段位于21x - 10x- 直线 的下方，l抛物线与直线 的交点的横坐标为 ，l当 时， ， 所以，抛物线过点 ，1x214y（ -） 14（ -， ）当 时， ，解得 ，m2m抛物线的解析式为 2x2、掌握 13 个原创变式，完胜二次函数中考最难点根据近 5 年北京中考、一二模考试对于二次函数综合题
14、（一般 23 题）的考查情况以及 2015 年北京市招生管理办公室和北京市教育考试院给出的关于中考改革的意见，学而思中考研究中心专家，根据历年此题最后一问的考查形式，原创了如下 13 个变式题目，帮助同学们熟悉考法并彻底掌握此类题型，轻松应对中考。【例题】已知二次函数 的图象与 轴交于 ， ，与 轴交2yaxbcx10A， 3B， y于 求该二次函数的解析式03C，【考法 1】抛物线沿 轴翻折与平移直线的交点问题 难度：x将二次函数的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，另得到一个新的图象，请你结x合新图象回答，直线 与新图象的交点情况yn（2009 北京中考对此考点有考察）（20
15、13 丰台一模对此考点有考察）【考法 2】抛物线沿 轴翻折与旋转直线的交点问题 难度： x将二次函数的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合x图象回答，直线 与新图象的交点情况30yk（2012 东城一模对此考点有考察）【考法 3】抛物线沿平行于 轴的动直线翻折与平移直线的交点问题 难度：x将二次函数的图象在 下方的部分沿 翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你ybyb结合新图象回答，直线 只有两个公共点时， 的取值范围142b（2013 海淀一模对此考点有考察）【考法 4】抛物线沿 轴翻折后再平移与定直线的交点问题 难度： x将二次函数图象在 轴
16、下方的部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象 ，再将 向x G上平移 个单位，若图象 与过 且与 轴平行的直线有 4 个交点，直接写出 取值范围nG05， n（2013 顺义二模对此考点有考察）【考法 5】抛物线部分沿 轴翻折与平移直线的交点问题 难度：y将二次函数 轴左侧的部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回y答，直线 与新图象有两个交点时， 的取值范围xnn（2014 东城一模对此考点有考察）通州中考学习交流 qq 群：104807029【考法 6】抛物线部分沿 轴翻折与旋转直线的交点问题 难度：y保留二次函数的图象在 轴右侧的部分，同时将其关于
17、 轴作轴对称，得到的新图象为 ，若一次函yG数 与图象 有三个公共点，求 的取值范围3ykxGk（学而思北京中考研究中心研发）【考法 7】抛物线部分沿平行于 轴的直线翻折与平移直线的交点问题 难度：x过 点作 轴的垂线 ，将抛物线在 轴左侧的部分翻折到直线 下方，构成新的图象 ，若一次函Cylyl数 与图象 有两个公共点，求 的值12xmm（2012 海淀二模对此考点有考察）【考法 8】过定点的动直线和部分抛物线的交点问题 难度：若 在二次函数图象上，过点 的一次函数为 ，记抛物线在 两点间的2Dd， 27E， ykxmCD、部分为 ，若一次函数与图象 有公共点，求 的取值范围若 点坐标改为
18、， 的取值GGmE29， m范围又是什么？（2014 北京中考对此考点有考察）【考法 9】平移抛物线和线段的交点问题 难度：已知 ， ，将二次函数 向上或向下平移，若平移后的抛物线与线段04M， 0N， 2yaxbc始终有公共点，求平移距离 的取值范围h（2011 东城一模对此考点有考察）【考法 10】反比例函数与抛物线交点的范围问题 难度：反比例函数 的图象与二次函数的图象在第一象限的交点横坐标 满足 ，0kyx， 0x045求 的取值范围k（2014 昌平一模对此考点有考察）【考法 11】部分抛物线和直线同向平移后的交点问题 难度：二次函数的图象在 两点间的部分记为 ，将图象 向左平移 个
19、单位，同时将直线AB、 Gn向下平移 个单位，当平移后的直线与图象 有公共点时，求 的取值范围67yxn（2012 北京中考对此考点有考察）【考法 12】一次函数的值与二次函数的值的大小关系及图象的位置关系 难度：已知一次函数 ，若只有当 时，一次函数的图象在二次函数的上方，求一次函数的ykxm25x解析式（2014 顺义一模对此考点有考察）通州中考学习交流 qq 群：104807029【考法 13】抛物线和直线交点的位置关系问题 难度： 若抛物线向上平移 个单位后与直线 有两个交点且交点在其对称轴两侧， 求 的取值范围n12yx n（2014 石景山一模对此考点有考察）三、 【规定时间答题、
20、检测巩固练习】在中考中，本题要求学生作答时间为 15 分钟，你也限定时间赶紧测试下水平吧！【测试 1】已知二次函数 23(1)()2ytxtx在 0x和 时的函数值相等。（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数 6ykx的图象与二次函数的图象都经过点 (3)Am，求 和 k的值；（3） 设二次函数的图象与 轴交于点 BC，（点 在点 的左侧） ，将二次函数的图象在点BC，间的部分（含点 和点 ）向左平移 (0)n个单位后得到的图象记为 G，同时将（2）中得到的直线 向上平移 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象 G有公共点时， n的取值范围。（2012 北京中考） xyO11【测
21、试 2】已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根x22(1)30xkxk（1）求 的取值范围；k（2）当 取最小的整数时，求抛物线 的顶点坐标以及它与 轴的交y x点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在 轴下方的部分沿 轴翻折到 轴上方，图象的其余部分不变，得到xxx一个新图象请你画出这个新图象，并求出新图象与直线 有三个不同公共点时 的值ymm（2014 燕山一模）通州中考学习交流 qq 群：104807029 -6-5-4-3-2-1-4-3-2123456 4321O xy通州中考学习交流 qq 群：104807029【变式题及测试题答案提示】【题干】由二次函数图象与 轴交于点 ，
22、 ，x10A， 3B，则二次函数解析式为 ，yax又与 轴交于点 ，y03C，代入得解析式为 2x【变式 1】解析：230yx交点为 ， 。， 0，代入 yxn 或13 联立2yxn23014n 3综上所述时，无交点n时，1 个交点或 时，两个交点34n， 时，三个交点n时，四个交点1【变式 2】解析：交点为 ，0， 3，将交点代入 ykx或1k23x202k 。当 或 时，2 个交点1当 或 时，1 个交点当 或 时，0 个交点0kk【变式 3】解析：由题意画出图象yxC BA(0,-3) (3,0)(-1,0)A BCyx通州中考学习交流 qq 群：104807029（1）联立23yxb消
23、 得 204164xb交点为 ，将交点代入 中得12yx142b69307 22733b（2）翻折后新图象中间部分的解析式为 ，214yxb联立得214yxb整理得 230x914b5728b综上，当 或 时， 与函数有两个公共点194692739273b12yxb【变式 4】解析：如图，翻折后顶点纵坐标为 4， 时，有 4 个交点15n【变式 5】由题意画出图形解析：原图象解析式与直线联立23yxn消 整理得y230x914nny=-bC BAy=5A Byx y=x2+x-3y=x2-x-3xy(3,0)(1,0)通州中考学习交流 qq 群：104807029当 时，有两个公共点214n【
24、变式 6】 解析：直线和 轴左侧部分联立y23ykx整理得 20xk0k直线和 轴右侧部分联立y23ykx整理得 20xk0k 或 【变式 7】 解析：联立原抛物线与直线解析式231yxm2530xm1476 或 时，有两个公共点31m【变式 8】解析：将 点横坐标 代入，得 ，D25d当直线过 时， ，EC3m当直线过 时， 1则 3 若 点坐标改为 ，需要先考虑直线和抛物线相切的问题，9此时 ， ，26k43当直线过 时，ED2则 413m y=x2-3xyy=-3yxy=x2-3通州中考学习交流 qq 群：104807029【变式 9】解析：联立抛物线和直线234yxh消 整理得y231
25、0xh945h抛物线平移后 23yxh将 代入得04， 1将 代入得， 0685h记向上平移为正，则 54h 【变式 10】解析： 时， ， 04x5k20时， ，136k26k【变式 11】解析：联立原抛物线和直线21467yx消 整理得 ，y240x，2则起始位置时直线和抛物线相切，抛物线向左移后 ，1An， 30Bn，直线向下平移后 67yx代入 得0解得 15n代入 得B637n解得 15n 【变式 12】y=x2-3NMA BC(3,0)CBAy=x2-x-3(3,0)(-1,0)通州中考学习交流 qq 群：104807029解析：将 、 分别代入二次函数解析式得2x5当 时 ，y当
26、 时 ，1只有当 时，一次函数的图象在二次函数的上方，x一次函数经过点 ， ，25， 12，代入得31km解得973 97yx【变式 13】解析： 向上平移 个单位后的解析式为2(1)4yxn2(1)4yxn由题意得 时3n 12【测试 1 答案】解析： 由题意可知依二次函数图象的对称轴为 1x则 。21t 3t 2yx 因二次函数图象必经过 点A 2136m又一次函数 的图象经过 点ykx ，36k4 由题意可知，点 间的部分图象的解析式为 ，BC， 132yx13x 则向左平移后得到的图象 的解析式为 n13nxn 此时平移后的解析式为 46yxn由图象可知，平移后的直线与图象 有公共点，
27、C则两个临界的交点为 与10， 30，则 0416n2通州中考学习交流 qq 群：1048070290436n6n 2 【评价】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标，带入直线解析式即可得到 的取值范围。n【测试 2 答案】解析：（1）由题意，得 ，24(1)(3)160kk 的取值范围为 2 分1k（2） ，且 取最小的整数， 0 ，223()yxx则抛物线的顶点坐标为 3 分(1,4) 的图象与 轴相交，2 ， ，30x(3)0x 或 ，1抛物线与 轴相交于 ， 4 分(1,)A(,)B（3）翻折后所得新图象如图所示. 5 分平移直线 知: 直线位于 和 时，它与新图象有三yxm1l2个不同的公共点当直线位于 时，此时 过点 ，1l1l(,0)A ，即 6 分0 当直线位于 时，此时 与函数2l2l的图象有一个公共点，3(1)yxx方程 ，2m即 有两个相等实根， ，2014(3)0mA（-3，-6 ）此为两个函数的切点坐标为（-n-1,0）坐标为（3-n,0 ）6425OBAl21yx通州中考学习交流 qq 群：104807029即 7 分134m当 时， 满足 ，12x13x由知 或 34
