1、可测函数与连续函数实变大作业2011/4/27可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。一、基本概念1、几乎处处：给定一个可测集 E，假如存在 E 的一个子集 ， ，且使得性质 P1 (1)=0在 上处处成立，则称性质 P 在 E 上几乎处处成立。12、可测函数：设 是 Lebesgue 可测集， 是 上的实值函
2、数。假如对于任意实数 ()=:()都是可测集，则称 是 上的 Lebesgue 可测函数（简称 是 上的可测函数）。 3、几乎处处有限的可测函数：设 是 Lebesgue 可测集，给定一个可测集 E，存在 E 的一个子集 ， 1， 在 上有限，假如对于任意实数(1)=0 1 ()=:()都是可测集，则称 是 上几乎处处有限的的 Lebesgue 可测函数 4、连续函数：设 ， 是定义于 的函数， ，假如 ,()=()则称 沿 在 连续；假如 沿 内任意一点都连续，则称 沿 连续。 D D D5、预备定理、引理定理 2.2 设 是一个紧集， 是一列沿 连续的函数。若 1 在 上一致收敛于 ，则
3、也沿 连续。 定理 2.3（Egoroff） 设 和 都是测度有限的集 上的几乎 (1) 处处有限的可测函数。若 在 上几乎处处收敛于 ，则对任何 并且 在 上一致收敛于 。0，有 的 闭 子集 ，使 ( )0， 连续的函数 使 。 ( ) ()使 。因此，令 ，则：()() =()()= ()()= ()()()反之，显然有 ，因此：()()()从而：()=()但 G 是开集（因为它是一族开集这并），而 E 为可测集，故其交 仍为可测集，即 为可测集，由定义知：f(x) 是可测函数。()但可测函数不一定连续例 例：可测函数 Dirichlit 函数在 上处处间断0,12、用连续函数逼近可测函
4、数，可测函数的连续性引理 1：设 F 是 R 中的闭集，函数 f 没 F 连续，则 f 可以开拓成 R 的连续函数，并且：sup|()|=sup|()|证明：此时 是开集，其中开区间族 两两不相交。今定义=(,) (,)()=(), 若 线 性 , 若 ,且 ,有界(), 若 ,),其中 = (), 若 (,其中 = 则显然 是 R 上的连续函数，它是 f 的开拓。引理得证。()引理 2：设 是可测集 上的简单函数。则对任何 ，有没 的连续的函数 0 使 ()0 ()0 ,续函数 ，使 ，并且 。 ()0 使 在 上连续，且 ，则 为 上可测。f ()0 R ()(1) 在 。上 ()=()(
5、2) 。()如果在 E 上 ，还可要求 .|()| |()|证明：由定理 1，有闭集 ，使 ，而 是 上的连续函数， () () 因此问题在于扩张 上的 ，使其在整个空间上连续。 ()是有界闭集，因此是从一闭区间 中去掉有限个或可数多 ,(,)个互不相交的开区间而成，设这些开区间是 ，现在我们定义一个函数 ，(,) ()使()= 0, 当 或 时 (), 当 时 此外，当 时，令 的图形是联 的直线，当(,) () (,()， (,()及 时，分别联 , 及 , 的直线，于是 是(,) (,) (,0) (,() (,0) (,() ()整个直线上的连续函数，且满足定理的各项要求。三、小结一方面，可测集上的连续函数是可测的，另一方面，Lusin定理表明，Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近。可测集 上的连续函数一定为可测函数，E但可测函数不一定连续。如Dirichlet函数,Riemann函数都是可测函数但都不连续。显然，可测函数要比连续函数更加广泛。参考文献：周性伟，实变函数，科学出版社，2007.江泽坚，实变函数论，高等教育出版社，1994.戴培良，可测函数与连续函数的关系，常熟理工学院学报，2008 年 2 月。
