1、1连续函数离散化1.1 替换法传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为域的传递函数 G(S)，离散系统为域的脉冲传递函数 G(Z)。替换法的基本思想：对给定的连续系统模型 G(S) ，设法找到域到域的某种映射关系，将域的变量映射到平面上，由此得到与连续系统 G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数 G(Z)。然后，再由 G(Z)通过反变换得到系统的时域离散模型 差分方程，从而快速求解。G(S) G(Z) 差分方程根据变换理论，域到域的最基本的映射关系是：或TseZZln1其中是采样周期若直接将这个映射关系代入 G(S)得到 G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用变换理论的
2、基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。1.1.1 简单替换法由幂级数展开式： !21nxxe!)(!)(TssTeZs2取近似式： TseZs1或： s用此式代入 G(S)就得到 G(Z)，这就是简单替换法，又称 Euler 法。3例：二阶连续系统 ，ssUYG504)(21.T解：简单替换法 代入 G(s)TZ1)(501)250(4)1(50)(422 zUYTzzzG )(4)()() 22 zzYTzYTzY050150 221 UT )(4)()2() 2 kukykyTky代入01. )2(104.)2(95.0)(95.)( 3-kukyky1.1.2 双线性替换法 !)
3、2/(!2)/(122/)2( kTsTsee kTssTs取近似式： 或21seZTs)1(ZT用此式代入 G(S)就得到 G(Z)，这就是双线性替换法，又称 Tustin 变换。相当于数值积分法中的梯形法，有较好的性能。例：二阶连续系统 ，ssUYG504)(21.T4用双线性替换法建立差分方程。解：双线性替换： 代入 G(s)1(2zTs)1(10)(4)1(250)1(24) 22 zTzTzzTG)(8)4(2zUYz)(2)(401()10( 22 zUzTYzT )()()()(04)(8)( 21221zYTzY 代入0.T)1(095.1)(09756.)2(951.)(95
4、12.)( 44 kukukykyky0764u1.2 Z 域离散相似法离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之与连续系统等效。连续系统模型5G ( S )u ( t )y ( t )离散化模型G ( S )G h ( S )(tu)(ty)(*ty)(tu)(t经采样后是离散信号 ，加保持器 后，将离散信号 转)(tu)(tu)(sh)(tu化成连续信号 ，并作用于连续系统 G(S)上输出 。 t ty离散模型： )()(SG
5、hZUYG例：二阶连续系统 ，ss504)(21.T以零阶保持器采用离散相似法求出差分方程解：零阶保持器 SesGTh1)( )50(4)(504)()( 212 szssSzGTh Tezzsz 5022 6)(8)1608(1)(116.0.)(50250TTeze 代入1.T)912.0)()1(6.6.(08.)( 205.05. zzeezzG6 21205.05. 95.02.3067)91.)(.681(6. zzzee)(52.091.37zUYzz )(9512.0.1).06.( zY )2.(.)(2(01935.)(197. kykykyuku (10935.)1096752.)( 44 uuyy经过 z 变换后可以写成)()( 011mnassabbsGnnm )1()()2()(1 ndezzdezuunn )()()()(1 n-1-n1 zUYezezemm 2-n1)-(nzdddn )()()(-n1)-(n1 umzuzum2)1()ykdenykdeykdeykn7)(1)()1(2 nkunmkunmkunmL对于 经过 z 变换ssG504)2 )()3()2(1)3()()( 2112 zUYdenzeundeznzu)(121 mYde )2(3)1(2)(3) kunkunkydenkynky1(2)( de
