1、第八章传递函数矩阵的状态空间实现,引言 状态空间实现简称为实现（Realization）。对于线性时不变系统，实现是传递函数矩阵（外部描述）的外部等价的状态空间描述（内部描述）。,研究的目的在于，建立系统各种描述的转换和反映关系，为采用各类分析技术研究系统运动过程和性能提供多元途径。,主要内容 实现的基本概念和基本属性标量传递函数的典型实现基于有理分式矩阵描述的典型实现基于矩阵分式描述的典型实现不可简约矩阵分式描述的最小实现,8.1 实现的基本概念和基本属性 本节讨论实现的共性概念和共性问题。,1 实现的定义和属性 对于连续线性时不变系统，其传递函数矩阵的实现是这样定义的。,或简写为(A, B
2、, C, D)是其传递函数矩阵G(s)的一个实现，如果两者为外部等价，即成立关系式： C(sI - A)-1B+D = G(s) (82),定义8-1 实现 对于真或严格真连续线性时不变系统，称一个状态空间描述,注 这里使用的符号D与G(s)的右MFD描述G(s) = Nr(s)Dr-1(s) 和左MFD描述G(s) = Dl-1(s)Nl(s)中的符号Dr、Dl 不同，切勿混淆。,实现的基本属性： (1) 实现的维数 传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)的结构复杂程度可由其维数表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维数，即 实现的维数 = dim A (83),(2) 实现的不惟一
3、性 传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)满足强不惟一性，即不仅实现结果不惟一，而且其实现维数也不惟一。,(3) 最小实现 传递函数矩阵G(s)的所有实现(A,B,C,D)中维数最小的一类实现。 实质上，最小实现是外部等价于G(s)的一个结构最简单状态空间模型。,(4) 实现间的关系 对传递函数矩阵G(s)，其不同实现间一般不存在代数等价关系，但其最小实现间必具有代数等价关系。,(5) 实现的物理本质 直观上，传递函数矩阵G(s)的实现就是对具有“黑箱”形式的真实系统在状态空间领域寻找一个外部等价的内部假想结构，内部假想结构对真实系统的可否完全表征性依赖于系统是否可控可观测。,(6) 实
4、现的形式 G(s)实现的形式取决于其真性和严格真性。 当G(s)为严格真，其实现对应地具有形式(A,B,C)，即D = 0； 当G(s)为真，其实现对应地具有形式(A, B, C ,D)，即D 0，且有,(7) 扩展构造其它实现的途径 设状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个实现，dim A = n，则对任一nn非奇异阵T，状态空间描述(T -1AT, T -1B, CT, D)必也为G(s)的一个同维实现。,2 可控类和可观测类实现 可控类和可观测类实现是两类基本的典型实现。,定义8-2 可控类实现 称状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个可控类实现，
5、当且仅当 C(sI - A)-1B+D = G(s) (85) (A, B)可控且具有指定形式 (86),注 可控类实现可具有不同的形式。当G(s)以有理分式矩阵或矩阵分式描述形式表达时，可以构成形式很不相同的可控类实现。,定义8-3 可观测类实现 称状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个可观测类实现，当且仅当 C(sI - A)-1B+D = G(s) (87) (A, C)可观测且具有指定形式 (88),注 同样，当G(s)为有理分式矩阵描述或矩阵分式描述形式表达时，可以构成形式很不相同的可观测类实现。,3 最小实现 最小实现是传递函数矩阵G(s)的所有实现中结构最为简
6、单的实现，即从外部等价的角度看，实现中不包含任何多余的部分，因此也称最小实现为不可简约实现。,(1) 最小实现的判据 设(A, B,C)为严格真传递函数矩阵G(s)的一个实现，则其为最小实现的充要条件是 (A,B)完全可控，(A,C)完全可观测 (88),证 略。,(2) 最小实现的广义惟一性 严格真传递函数矩阵G(s)的最小实现不惟一，但满足广义惟一性。也就是说，若(A,B,C) 和 为G(s)的任意两个最小实现，则必可由此构造出一个nn非奇异常阵T使下式成立,证 略。,(3) 实现的最小维数 对qp传递函数矩阵G(s)，r = Rank G(s)， Smith-McMillan型为,其中，
7、 U(s)、V(s)为qq和pp单模阵。那么， G(s)的状态空间实现的最小维数为,8-2 标量传递函数的典型实现 不失一般性，考虑SISO线性时不变系统的传递函数为真标量传递函数g(s)，并通过严真化先将其表示成常数e和严格真有理分式n(s)/d(s)之和，即,其中,那么，对g(s)的各类实现就归结为对严格真传递函数n(s)/d(s)导出相应的实现，而常数e为各类实现中的输入输出直接传递系数。,1 可控标准型实现 式(8-61)所示g(s)的严格真部分n(s)/d(s)的可控标准型实现具有形式,严格真部分n(s)/d(s)的可控标准型实现的方块图如图8-1所示：,将严真部分n(s)/d(s)
8、的可控标准型实现推广到式(8-61)所示真标量传递函数g(s)，得到g(s)的可控标准型实现为(Ac, bc, cc, e)，其中， Ac, bc, cc如式(8-62)所示。,2 可观测标准型实现 式(8-61)所示g(s)的严真部分n(s)/d(s)的可观测标准型实现具有形式,严格真部分n(s)/d(s)的可观测标准型实现的方块图如图8-2所示：,将严真部分n(s)/d(s)的可观测标准型实现推广到式(8-61)所示真标量传递函数g(s)，得到g(s)的可观测准型实现为(Ao, bo, co, e)，其中， Ao, bo, co如式(8-71)所示。,注 n(s)/d(s)的可控型实现(A
9、c, bc, cc)与可观测型实现(Ao, bo, co)有对偶关系,3 并联型实现 设式(8-61)所示g(s)的严格真部分n(s)/d(s)的极点为 1(1重)、2(2重)、m(m重)， i (i=1m)之和为维数 n (8-73)其中， i k , i k。即n(s)/d(s)可表示成下式,则n(s)/d(s)的并联型实现为(Ap, bp, cp)， g(s)的并联型实现为(Ap, bp, cp, e),并联实现(8-75)中， Ap为约当规范型，因此也称并联实现为约当型实现。 当g(s)的严格真部分n(s)/d(s)中包含共轭复数极点时，并联实现中会出现复数元，导致应用和分析上的不便。
10、解决方法是对(Ap, bp, cp) 引入适当等价变换，使之实数化，以m = 3时的情形为例，设(Ap, bp, cp)为,其中，复数矩阵块1共轭于A1，复数矩阵 共轭于c1，其余均为实数矩阵块。现引入线性非奇异变换： A = PApP-1，b = Pbp，c = cpP-1 (8-82)且变换矩阵为,其中，I1为维数与A1相同的单位阵， I3为维数与A3相同的单位阵，j2 = -1。上述变换下导出的实数化并联实现具有形式：,4 串联型实现 设式(8-61)所示g(s)的严真部分n(s)/d(s)的极点和零点为1,2,n和z1,z2,zn-1，且表n(s)/d(s)为,则严真部分n(s)/d(
11、s)串联型实现为(AT, bT, cT)， g(s)的串联型实现为(AT, bT, cT, e)，其中,8-3 基于有理分式矩阵描述的典型实现 传递函数矩阵的描述方式有多种，本节是针对传递函数矩阵的有理分式矩阵描述，讨论可控型和可观测型实现的构造方法。,这里，E = G()。再设Gsp(s)诸元的最小公分母d(s)为,以有理分式矩阵描述给出的真qp传递函数矩阵G(s)如下 G(s) = ( gij(s) ) , i = 1,2, q ; j = 1,2, p (8-91)进而，,由此，严格真传递函数Gsp(s)可进一步表示为,其中，Pk( k = 1,2, l-1 )为qp常阵。,1 可控型实
12、现 式(8-94)所示Gsp(s)的可控型实现具有形式,【例8-1】 求出下面G(s)的可控型实现。,解 G(s)为严格真传递函数矩阵，其中各元的最小公分母为 d(s) = (s+1)(s+2)(s+3) = s3+6s2+11s+6则G(s)可表示成,G(s)的可控型实现为,2 可观测型实现 式(8-94)所示Gsp(s)的可观测型实现具有形式,注 Gsp(s)的可控型实现与可观测型实现满足对偶关系 。,8-4 基于MFD的典型实现,1 右MFD的控制器型实现 为不失一般性，考虑真qp右MFD ，首先导出其严格真右MFD。为此，通过矩阵除法，可以得到,对于传递函数矩阵G(s)，按MFD为“右
13、或左MFD”以及“分母矩阵列既约或行既约”可分为4种可能的组合： 右MFD Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)列既约 构造控制器型实现* 左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)行既约 构造观测器型实现* 右MFD Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)行既约 构造可控性型实现 左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)列既约 构造可观测性型实现 传递函数矩阵G(s)为真有理分式矩阵时，通过分析，我们可以利用矩阵除法，将其表示为“常阵E”和“严格真MFD”的和。为简化说明，在讨论过程中，主要针对严格真MFD。,其中qp常阵E为“商阵”， 多项式矩阵Nr(s)为“余式阵”。由Nr(s)
14、和Dr(s)构成的严格真右MFD为 G(s) = Nr(s)Dr-1(s) , 设Dr(s)列既约 (8-110),定义8-4 控制器型实现 对qp严格真右MFD Nr(s)Dr-1(s)， Dr(s)列既约，表示列次ciDr(s) = kci， i =1, 2, , p，则称一个状态空间描述,如果满足,为其控制器型实现，其中,控制器型实现的构造 结论8-42 对真qp右MFD ，其严格真右MFD为 Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)列既约，列次ciDr(s) = kci， i =1, 2, , p，再引入列次表达式： Dr(s) = DhcSc(s) + DLcc(s) (8-144) N
15、r(s) = NLcc(s) (8-145),其中，Dhc为Dr(s)的列次系数阵，且的det Dhc 0，DLc为Dr(s)的低次系数阵， NLc为Nr(s)的低次系数阵,那么，基于此可导出构造(Ac, Bc, Cc)的结构如图8-3所示。,其中，称c(s)Sc-1(s)为核心右MFD，它的的实现为 ，这里,则严格真Nr(s)Dr-1(s)的控制器型实现(Ac, Bc, Cc)的系数矩阵为,而真 的控制器型实现为(Ac, Bc, Cc , E)。,注: 控制器型实现为完全可控，但一般为不完全可观测。,通过分析可知，控制器型实现中Ac, Bc, Cc 具有如下形式：,其中，*表示可能的非零元素
16、，与Dr(s)的列次系数阵之间的直接关系为,【例8-2】 给出如下22右MFD Nr(s)Dr-1(s)的控制器型实现(Ac, Bc, Cc)。,解 容易判断， Dr(s)为列既约，且Nr(s)Dr-1(s)为严格真。 Dr(s)的列次数 kc1 = c1Dr(s) = 2 ， kc2 = c2Dr(s) = 3,列次表达式的各个系数矩阵为,由此可得,利用关系式(8-148)、 (8-149)可直接写出,2 左MFD的观测器型实现,其中qp常阵E为“商阵”， 多项式矩阵Nl(s)为“余式阵”。 由Nl(s)和Dl(s)构成的严格真左MFD为 G(s) = Dl-1(s)Nl(s) , Dl(s
17、)行既约 (8-197),定义8-5 控制器型实现 对qp严格真左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)行既约，表示行次rjDl(s) = krj， j =1, 2, , q，称一个状态空间描述,如果满足,为其观测器型实现，其中,为不失一般性，考虑真qp左MFD ，这里假设Dl(s)为行既约。为导出其严格真左MFD，通过矩阵除法，可得,观测器型实现的构造,其中，Dhr为Dl(s)的行次系数阵，且的det Dhr 0，DLr为Dl(s)的低次系数阵， NLr为Nl(s)的低次系数阵，另外,其核心MFD Sr-1(s)r(s)的实现为 ，这里,结论8-52 对真qp左MFD ，其严格真左MF
18、D为 Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)行既约，行次rjDl(s) = krj， j =1, 2, , q ，利用行次表达式： Dl(s) = Sr(s)Dhr + r(s)DLr (8-202) NL(s) = r(s)NLr (8-203),则严格真Nr(s)Dr-1(s)的控制器型实现(Ac, Bc, Cc)的系数矩阵为,而真 的控制器型实现为(Ao, Bo, Co , E)。,注: 观测器型实现为完全可观测，但一般为不完全可控。,通过分析可知，观测器型实现中Ao, Bo, Co 具有如下形式：,其中，*表示可能的非零元素，与Dl(s)的行次系数阵之间的直接关系为,3 右MFD的可控性
19、型实现,其中， Nr(s)Dr-1(s) 为qp严真右MFD，E为qp常阵。下面的讨论将主要针对“右MFD Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)行既约”，构造可控性型实现。,定义8-6 可控性型实现 对qp严格真右MFD Nr(s)Dr-1(s)， Dr(s)行既约，表示行次riDr(s) = kri， i =1, 2, , p，则称一个状态空间描述,如果满足,为其可控性型实现，其中,对真qp右MFD ，Dr(s)行既约，与前面所讲的Dr(s)为列既约类似，可导出其严格真右MFD，有,4 左MFD的可观测性型实现,其中，Dl-1(s)Nl(s) 为qp严真左MFD，E为qp常阵。,定义8-7
20、可观测性型实现 对qp严格真左MFD Dl-1(s)Nl(s)， Dl(s)列既约，表示列次cjDl(s) = kcj， j =1, 2, , q，则称一个状态空间描述,为其可观测性型实现，其中,对真qp右MFD ，Dl(s)列既约，与前面所讲的Dl(s)为行既约类似，可导出其严格真左MFD，有,下面的讨论将主要针对“左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)列既约”，构造可观测性型实现。,如果满足,8-5 不可简约MFD的最小实现,1 不可简约右MFD的最小实现 对qp严格真右MFD Nr(s)Dr-1(s)，设 n = deg detDr(s)，表(Ac, Bc, Cc)为“Nr(s)
21、Dr-1(s)，Dr(s)列既约”的n维控制器型实现，(Aco, Bco, Cco)为“Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)行既约”的 n 维可控性型实现，则有 (Ac, Bc, Cc)为最小实现 Nr(s)Dr-1(s)不可简约 (8-292) (Aco, Bco, Cco)为最小实现 Nr(s)Dr-1(s)不可简约 (8-293),注：上述描述为由右MFD确定最小实现提供了一条易于获得的途径，但这并不意味着右MFD的最小实现只可能有控制器型或可控性型。下面的结论对于给出MFD的最小实现更具普遍性。,对qp严格真右MFD Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)列既约或行既约，n = deg
22、detDr(s)，表(A, B, C)为其任意形式的 n 维实现，则有 (A, B, C)为最小实现 Nr(s)Dr-1(s)不可简约 (8-301),最小实现是传递函数矩阵的维数最小的实现，即结构最简单的一类实现。,2 不可简约左MFD的最小实现,注：同样，上述结论并不意味着左MFD的最小实现只可能有观测器型或可观测性型。下面给出左MFD的最小实现的一个更具普遍性的结论。,对qp严格真左MFD Dl-1(s)Nl(s) ，Dl(s)行既约或列既约，n = deg detDl(s)，表(A, B, C)为其任意形式的 n 维实现，则有 (A, B, C)为最小实现 Dl-1(s)Nl(s)不可
23、简约 (8-304),对qp严格真左MFD Dl-1(s)Nl(s)，设 n = deg detDl(s)，表(Ao, Bo, Co)为“Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)行既约”的n维观测器型实现，(Aob, Bob, Cob)为“Dl-1(s)Nl(s) ，Dl(s)列既约”的 n 维可观测性型实现，则有 (Ao, Bo, Co) 为最小实现 Dl-1(s)Nl(s)不可简约 (8-302) (Aob, Bob, Cob)为最小实现 Dl-1(s)Nl(s)不可简约 (8-303),3 确定最小实现的途径,频域法的途径： 严真可简约MFD，分母矩阵为列既约或行既约 导出不可简约MFD，分母矩阵为列既约或行既约 导出“控制器型/可控性型实现”或“观测器型/可观测性型实现” 所得实现为最小实现，且维数等于分母矩阵行列式的次数,时域法的途径： 严真可简约MFD，分母矩阵为列既约或行既约 i 可控类实现按可观测性分解 导出可控可观测部分(Aco, Bco, Cco) 最小实现即为(Aco, Bco, Cco)； ii 可观测类实现按可控性分解 导出可观测可控部分(Aoc, Boc, Coc) 最小实现即为(Aoc, Boc, Coc)。,对严格真可简约MFD，确定最小实现的途径包括频域法和时域法两种。,
