1、模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,（一）普通关系令X和Y为两个论域，在普通集全中，记：XY=xXyY称为集合X和Y的笛卡尔积或直积。 例： A=1，2 B=3，4AB=,BA=,第二节 模糊关系,模糊数学 第三章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,关系的集合表现方式,是现代数学的一个重要思想. 把两个集合间进行无约束的搭配,就构成笛卡尔积, 而把两集合之间的关系表现为两集合的元素间有约束的搭配,则这种搭配正是两集合的笛卡尔积上的一个子集, 这个子集表示了一个关系.,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,【定义】任一有序对的集合确定了一个二
2、元关系R， 设X,Y为集合，笛卡儿积XY的任一子集R,称作X到Y的二元关系。记为:,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,【定义】设R是X到X自身的一个关系, (1)自反性: 若xA，均有xRx，那么称R是自反的。A上关系R是自反的x（xAxRx） (2)对称性: A上的关系R是对称的xy( xAyAxRyyRx) (3)传递性: A上的关系是传递的xyz(xAyAzAxRyyRzxRz) “同年龄”关系具有自反性,对称性,传递性. “同学”关系不具有传递性, “父子”关系既不具有自反性、对称性，也不具有传递性。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系
3、,【定义】设R是X到Y的关系，S是Y到Z的关系， 则称关系RS是关系R与S的合成，定义如下：RS=|(y)(yYRS) 用特征函数表达，有RS(x,z)=(R(x,y) S(y,z) 例：xRy表示x是y的兄弟，ySz表示y是z的父亲则 x RS z 表示x是z的叔伯x SS z 表示x是z的祖父,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,（二）模糊关系、模糊矩阵与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广.【定义1】设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称为从 X 到 Y 的模糊关系，记为模糊关系 R 的隶属函数为映射 R : X Y 0,1.并称隶属度R
4、(x,y)为(x,y)关于模糊关系R的相关程度. 特别，当X=Y时，称R为 X 上各元素之间的模糊关系.,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,例1 设U为某工厂同一工种的全体工人组成的集合，“技术水平相当”就是建立在U上的一个模糊关系R 。对于任意u,v U，若u,v技术水平完全一样，则令R (u,v)=1，若相差甚远则规定R (u,v)= 0，其余取0,1上的值。,在同一个论域上，可以存在着各种不同的模糊关系，如在本例中，论域U上还可以有“感情好”，“性格相似”等模糊关系。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,例2 设X为横轴，Y为纵轴，直积X
5、Y即整个坐标平面，考虑其中的模糊关系：R：“x远远大于y”，其隶属函数为：,如：R(11，1)=0.5，表示“11远远大于1”的程度为0.5.R(101，1)=0.99，表示“101远远大于1”的程度为0.99.,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,这样就得到了从 X 到 Y 的模糊关系R “掌握”,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,【定义2】模糊关系的运算,由于模糊关系R就是X Y 的一个模糊子集， 因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.,设R，R1，R2均为从 X 到 Y 的模
6、糊关系.相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)；包含：R1 R2 R1(x, y) R2(x, y)；,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,设R，R1，R2均为从 X 到 Y 的模糊关系. 并： R1R2 的隶属函数为R1R2(x, y) = R1(x, y) R2(x, y)； 交： R1R2 的隶属函数为 R1R2(x, y) = R1(x, y) R2(x, y)； 余：Rc 的隶属函数为Rc(x, y) = 1- R(x, y).,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,R1R2(x, y)表示(x,y)具有模糊关系“R1
7、或者R2”的程度， R1R2(x, y) 表示(x, y)具有模糊关系“R1且R2”的程度， Rc(x, y)表示(x, y)具有模糊关系“非R”的程度.,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,【定义3】模糊关系的矩阵表示,对于有限论域X =x1,x2,xm和Y =y1,y2,yn， 则X 到Y 模糊关系R可用mn 阶模糊矩阵R表示，即 R = (rij)mn， 其中rij =R(xi ,yj )0,1表示(xi ,yj )具有模糊关系R 的程度.即(xi ,yj )隶属于模糊子集R的隶属度。 又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系, 即xi 与yj 间要么有关系(rij
8、 =1),要么没关系(rij =0).,模糊数学 第三章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,例4 医学上用：体重(公斤)=身高(厘米)-100 表示人的标准体重，这实际上给出了身高(X)和体重(Y)的一个模糊关系。 设身高论域X =140, 150, 160, 170, 180 (单位：cm), 体重论域Y =40, 50, 60, 70, 80(单位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系“标准”.用“R”表示：,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,上例中的模糊关系R可以表示为模糊矩阵：,R =,模糊
9、数学 第三章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,【定义3】模糊关系的合成,设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一个关系.R1R2(x, z)= (R1(x, y) R2(y, z),yY,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,当论域为有限时，模糊关系的合成为模糊矩阵的合成.设X =x1,x2,xm, Y = y1 ,y2 ,ys, Z=z1, z2, , zn， 且X到Y的模糊关系R1=(aik)ms，Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)sn， 则X 到Z 的模糊关系可表示为模
10、糊矩阵的合成： R1 R2 = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks.,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,例5 某家庭中子女与父母外貌的相似关系R为一模糊关系，可以表示为,也可以用矩阵表示为：,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,另有一关系为S，表示该家庭中父母与祖父母的外貌相似程度，这也是一个模糊关系，可以表示为：,也可以用矩阵表示为：,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,问该家庭中孙子，孙女与祖父母之间的相似程度分别是多少？,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,模糊数
11、学 第三章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,模糊关系合成运算的性质,性质1：(A B) C = A (B C)； 性质2：A ( BC ) = ( A B )( A C )；( BC ) A = ( B A )( C A )； 性质3：( A B )T = BT AT； 性质4：A B，C D A C B D.,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,注：(1) 合成( )运算关于()的分配律不成立,即( AB ) C ( A C )( B C )试证：A ( BC ) ( A B )( A C )；( BC ) A ( B A )( C A )；(2) 这些性质
12、在有限论域情况下,就是模糊矩阵合成运算的性质.,（三）模糊关系的自反性、对称性、传递性讨论在论域X到自身上的模糊关系R， 即RF（XX）， 【定义4】设RF（XX）， 若xX，均有R(x,x)=1，那么称R具有自反性。x（xX R(x,x)=1 ） 例：人群中的“相像”关系具有自反性，“仇敌”关系就不具有自反性。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,若x,yX，均有R(x,y)= R(y,x)，那么称R具有对称性。xy( xXyX R(x,y)= R(y,x) 例：人群中的“相像”关系具有对称性，“相爱”关系就不是对称关系。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析
13、 第三节 模糊等价矩阵,若x,y,zX，若对任意的0，1均有R(x,y)，R(y,z) R(x,z)， 则称R具有传递性。xyz(R(x,y)R(y,z)R(x,z) 例：人群中的“相像”关系不具有传递性，,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,【定理1】设RF（XX），R为传递关系对x,y,zX，有R(x,z) （R(x,y) R(y,z)）,yX,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,从而可得到： 【定理2】设RF（XX），则R为传递关系 RR R，即传递关系R包含着它与它自身的合成。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,模糊数学 第三章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊相似关系,模糊等价关系,【定义5】设RF(XX），即模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x, x) =1；(2)对称性：R(x, y) = R(y, x)； (3)传递性：R2R, 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系. 其中R(x,y) 可以简记为R(x,y)表示(x,y)的相关程度。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第二节 模糊关系,作业：P90 13,
