实验2 空间图形的画法(基础实验).doc

1、47项目二 一元函数积分学与空间图形的画法实验 2 空间图形的画法(基础实验 )实验目的 掌握用 Mathematica 绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.基本命令1.空间直角坐标系中作三维图形的命令 Plot3D命令 Plot3D 主要用于绘制二元函数 的图形. 该命令的基本格式为),(yxfzPlot3Dfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2,选项 其中 fx,y是 的二元函数, x1,x2 表示 x 的作图范围, y1,y2 表示 y 的作图范围. yx例如,输入Plot3Dx2+y2,

2、x,-2,2,y,-2,2则输出函数 在区域 上的图形(图 2.1) 2z2,y-2 -1012-2-101202468图 2.1与 Plot 命令类似, Plot3D 有许多选项. 其中常用的如 PlotPoints 和 ViewPoint. PlotPoints 的用法与以前相同. 由于其默认值为 PlotPoints-15, 常常需要增加一些点以使曲面更加精致, 可能要用更多的时间才能完成作图. 选项 ViewPoint 用于选择图形的视点(视角), 其默认值为ViewPoint-1.3,-2.4,2.0,需要时可以改变视点 .2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令 Parametric

3、Plot3D用于作曲面时, 该命令的基本格式为ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,u1,u2,v,v1,v2,选项其中 xu,v,yu,v,zu,v是曲面的参数方程表示式 . u1,u2 是作图时参数 u 的范围, v1,v2 是参数 v的范围.例如，对前面的旋转抛物面, 输入ParametricPlot3Du*Cosv,u*Sinv,u2,u,0,3,v,0,2 Pi同样得到曲面 的图形(图 2.2). 2yxz48-2 02-20202468图 2.2由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因而是常用的方法.又如,

4、 以原点为中心, 2 为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令 Plot3D 作图. 但是, 它的参数方程为 ,20,cos2,sin2,cosin zyx因此,只要输入ParametricPlot3D2 Sinu*Cosv,2 Sinu*Sinv,2 Cosu,u,0,Pi,v,0,2 Pi便作出了方程为 的球面(图 2.3).22yxz-2 -10 12-2-1 01 2-2-1012图 2.349.用于作空间曲线时,ParametricPlot3D 的基本格式为ParametricPlot3Dxt,yt,zt,t,t1,t2,选项其中 xt,yt,zt是曲线的参数方程表示式. t1,t

5、2 是作图时参数 t 的范围 .例如, 空间螺旋线的参数方程为 ).80(1/,sin,cottzytx输入ParametricPlot3DCost,Sint,t/10,RGBColor1,0,0,t,0,8 Pi则输出了一条红色的螺旋线(图 2.4). -1-0.5 0 0.51-1-0.5 00.5 1012图 2.4在这个例子中，请读者注意选项 RGBColor1,0,0的位置.用于作空间曲线时, ParametricPlot3D 的选项 PlotPoints 的默认值是 30, 选项 ViewPoint 的默认值没有改变.3.作三维动画的命令 MoviPlot3D:无论在平面或空间,

6、先作出一系列的图形, 再连续不断地放映, 便得到动画.例如, 输入调用作图软件包命令12则作出了 12 幅曲面图, 选中任一幅图形, 双击它便可形成动画.实验举例一般二元函数作图例 2.1 (教材 例 2.1) 作出平面 的图形,其中 .yxz326 20,3yx输入Plot3D6-2x-3y,x,0,3,y,0,250则输出所作平面的图形（图 2.5）. 012300.511.52-505图 2.5如果只要位于第一卦限的部分, 则输入Plot3D6-2x-3y,x,0,3,y,0,2,PlotRange-0,6观察图形. 其中作图范围选项为 PlotRange-0,6,而删除的部分显示为一块

7、水平平面（图 2.6）.012300.511.520246图 2.6例 2.2 (教材 例 2.2) 作出函数 的图形.214yxz输入kx_,y_:=4/(1+x2+y2)Plot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints-30,PlotRange-0,4,BoxRatios-1,1,1则输出函数的图形 2.7. 观察图形 , 理解选项 PlotRange-0,4和 BoxRatios-1,1,1的含义. 选项BoxRatios 的默认值是1,1,0.4.51-2 -10 12-2-10 1201234图 2.7例 2.3 (教材 例 2.3) 作出函数 的图形.2yxe

8、z输入命令Plot3D-x*y*Exp-x2-y2,x,-3,3,y,-3,3,PlotPoints-30,AspectRatio-Automatic;则输出所求图形（图 2.8）.-202 -202-0.0500.05图 2.8例 2.4 (教材 例 2.4) 作出函数 的图形.)94cos(2yxz输入Plot3DCos4x2+9y2,x,-1,1,y,-1,1,Boxed-False,Axes-Automatic,PlotPoints-30,Shading-False则输出网格形式的曲面图 2.9, 这是选项 Shading-False 起的作用, 同时注意选项 Boxed-False的

9、作用.52-1 -0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51图 2.9二次曲面例 2.5 (教材 例 2.5) 作出椭球面 的图形.19422zyx这是多值函数, 用参数方程作图的命令 ParametricPlot3D. 该曲面的参数方程为( ).,cos,sin3,cosin2uvuyvux 20,v输入ParametricPlot3D2*Sinu*Cosv,3*Sinu*Sinv, Cosu,u,0,Pi,v,0,2 Pi,PlotPoints-30则输出椭球面的图形（图 2.10）. 其中选项 PlotPoints-30 是增加取点的数量 , 可使图形更加光滑. -2

10、-10 12-202-1-0.500.51图 2.10例 2.6 (教材 例 2.6) 作出单叶双曲面 的图形.194122zyx53曲面的参数方程为( ),tan3,cose2,sinecuzvuyvux .20,/2/v输入ParametricPlot3DSecu*Sinv,2*Secu*Cosv, 3*Tanu,u,-Pi/4,Pi/4,v,0,2 Pi,PlotPoints-30则输出单叶双曲面的图形（图 2.11）.-1 01-202-202图 2.11例 2.7 作双叶双曲面 的图形.13.4.15.22zyx曲面的参数方程是 ,cs.,sincot,csot.1 uvuvux其中

11、参数 时对应双叶双曲面的一叶, 参数 时,20 vu,02对应双叶双曲面的另一叶. 输入sh1=ParametricPlot3D1.5*Cotu*Cosv,1.4*Cotu*Sinv,1.3/Sinu,u,Pi/1000,Pi/2,v,-Pi,Pi,DisplayFunction-Identity;(*DisplayFunction-Identity 是使图形暂时不输出的选项*)sh2=ParametricPlot3D1.5*Cotu*Cosv,1.4*Cotu*Sinv,1.3/Sinu,u,-Pi/2,-Pi/1000,v,-Pi,Pi,DisplayFunction-Identity;S

12、howsh1,sh2,DisplayFunction-$DisplayFunction(*命令 Showsh1,sh2是把图形 sh1,sh2 放置在一起, DisplayFunction-$DisplayFunction 是恢复显示图形的选项*)54输出为图 2.12. -5-2.50 2.5 5-5-2.502.55-505图 2.12例 2.8 可以证明: 函数 的图形是双曲抛物面. 在区域 上xyz 2,2yx作出它的图形.输入Plot3Dx*y,x,-2,2,y,-2,2,BoxRatios-1,1,2,PlotPoints-30输出图形略. 也可以用 ParametricPlot3

13、 命令作出这个图形, 输入ParametricPlot3r*Cost,r*Sint,r2*Cost*Sint,r,0,2,t,0,2 Pi,PlotPoints-30输出为图 2.13 比较这些图形的特点.-2 -10 12-2-1 01 2-2-1012图 2.13例 2.9 (教材 例 2.7) 作出圆环55,( )vzuvyuvx sin7,si)co38(,cos)38( 2/,230vu的图形.输入ParametricPlot3D(8+3*Cosv)*Cosu,(8+3*Cosv)*Sinu,7*Sinv,u,0,3*Pi/2,v,Pi/2,2*Pi;则输出所求圆环的图形（图 2.1

14、4）.-10 -50510 -10-50510-505图 2.14例 2.10 画出参数曲面 2,01.,4)5/2ln(tacosi vuvzuyx 的图形.输入命令ParametricPlot3DCosu*Sinv,SinuSinv,Cosv+LogTanv/2+u/5,u,0,4*Pi,v,0.001,2;则输出所求图形(图 2.15).56-1 -0.5 00.5 1-1-0.500.51-1012图 2.15曲面相交例 2.11 (教材 例 2.8) 作出球面 和柱面 相交的图形.22zyx 1)(2yx输入g1=ParametricPlot3D2 Sinu*Cosv,2 Sinu*

15、Sinv,2 Cosu,u,0,Pi,v,0,2 Pi,DisplayFunction-Identity;g2=ParametricPlot3D2Cosu2,Sin2u,v,u,-Pi/2,Pi/2,v,-3,3,DisplayFunction-Identity;Showg1,g2,DisplayFunction-$DisplayFunction则输出所求图形（图 2.16）. -2-1 0 12-2-1 01 2-202图 2.1657例 2.12 作出锥面 和柱面 相交的图形.22zyx1)(2yx输入g3=ParametricPlot3Dr*Cost,r*Sint,r,r,-3,3,t,

16、0,2 Pi,DisplayFunction-Identity;Showg2,g3,DisplayFunction-$DisplayFunction输出为图 2.17.-202-202-202图 2.17例 2.13 画出以平面曲线 为准线, 母线平等 Z 轴的柱面的图形.xycos写出这一曲面的参数方程为 szRst,取参数 s 的范围为0, 8. 输入命令ParametricPlot3Dt,Cost,s,t,-Pi,Pi,s,0,8则输出所求图形(图 2.18).58-2 02-1-0.500.5102468图 2.18例 2.14 (教材 例 2.9) 作出曲面 及 面所围成的立体图形.

17、xyxz22,1Oy输入g1=ParametricPlot3Dr*Cost, r*Sint,r2,t,0,2*Pi,r,0,1,PlotPoints-30;g2=ParametricPlot3DCost*Sinr,SintSinr,Cosr+1,t,0,2*Pi,r,0,Pi/2,PlotPoints-30;Showg1,g2则输出所求图形（图 2.19）.-1 -0.50 0.51-1-0.500.5 100.511.52图 2.19例 2.15 (教材 例 2.10) 作出螺旋线 ( )在 面上的正投影tzytx2,sin10,coRxOz曲线的图形.59所给螺旋线在 面上的投影曲线的参数

18、方程为xOz.tztx2,cos10输入ParametricPlot2t,10Cost,t,-2Pi,2Pi;则输出所求图形（图 2.20）.-10 -5 5 10-10-5510图 2.20注:将表示曲线的方程组, 消去其中一个变量, 即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投影曲线的方程, 不考虑曲线所在平面, 它就是投影柱面方程; 对于参数方程, 只要注意将方程中并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可.例 2.16 (教材 例 2.11) 作出默比乌斯带(单侧曲面) 的图形.输入Clearr,x,y,z;rt_,v_:=2+0.5*v*Cost/2;xt_,v_:=rt,v*Co

19、styt_,v_:=rt,v*Sintzt_,v_:=0.5*v*Sint/2;ParametricPlot3Dxt,v,yt,v,zt,v,t,0,2 Pi,v,-1,1,PlotPoints-40,4,Ticks-False则输出所求图形（图 2.21）. 观察所得到的曲面, 理解它是单侧曲面.图 2.2160空间曲线例 2.17 (教材 例 2.12) 作出空间曲线 的图形.)60(2,sin,cotztytx输入ParametricPlot3Dt*Cost,t*Sint,2*t,RGBColor1.0,0,0.5,t,0,6 Pi则输出所求图形（图 2.22）.-10010-10010

20、0102030图 2.22例 2.18 绘制参数曲线 的图形.2/cosintzytx输入命令ParametricPlot3DSint,2Cost,t.2,t,0,12;则输出所求图形(图 2.23).61-1-0.50 0.51-2-1012012图 2.23例 2.19 绘制参数曲线 的图形.tzytxarcn21os输入命令ParametricPlot3DCost2,1/(1+2*t),ArcTant,t,0,8;则输出所求图形(图 2.24).0 0.25 0.50.75 100.20.400.51图 2.2462动画制作例 2.20 平面正弦曲线的运动.输入TablePlotSinx

21、+t*Pi,x,0,6 Pi,t,0,2,1/8则作出了 16 幅具有不同相位的正弦曲线(输出图形略). 双击屏幕上某一幅画, 则可形成动画. 下面是动画的最后一幅图（图 2.25）.2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5-1-0.50.51图 2.25例 2.21 (教材 例 2.13) 作模拟水波纹运动的动画.输入调用软件包命令50,AspectRatio-0.5,ViewPoint-0.911,-1.682,2.791,Frames-12则输出 12 幅具有不同相位的水面图形, 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下图是第一幅图（图 2.26）.-20020-2002

22、0-1-0.500.51图 2.26例 2.22 (教材 例 2.14) 用动画演示由曲线 绕 z 轴旋转产生旋转曲面的过,0sinzy63程. 该曲线绕 z 轴旋转所得旋转曲面的方程为 其参数方程为,sin22zyx),0(,sin,cosin uzuyuzx输入Fori=1,i1,AxesLabel-“X“,“Y“,“Z“;则输出连续变化的 30 幅图形. 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下面是生成旋转曲面的过程中的第 23 幅图（图 2.27）.-1 -0.5 00.5 1X-1-0.50 0.51Y0123Z图 2.27例 2.23 将一张薄膜贴在 的方框上, 薄膜振动的函

23、数取为10,yx)cos()sin()i16),( 242tnmyxmtyxun 其中 t 为参数, 作出图形随 t 的变动而引起薄膜振动的动画.初始位置是 通过 t 的不同值得到多幅画面, 然后将这些图形连续地一张)0,(yxu张显示出来, 即可达到运动的动画效果. 输入命令-8,8,t,0,1.75,0.25;则输出相应动画. 下面动画的最后一幅图（图 2.28）.0 0.20.40.60.8100.20.40.60.81-505图 2.28实验习题1.用 Plot3D 命令作出函数 的图形, 采用选项)3,3(sin2coyxyxzPlotPoints-40.2.作出函数 的图形.)si

24、n(2yxz3.用 Plot3D 命令作出函数 在 上的图形,)si(c28/)(2yxezyx yx,采用选项 PlotPoints-60.4.二元函数 在点(0,0) 处不连续, 用 Plot3D 命令作出在区域2yxz上的图形(采用选项 PlotPoints-40).观察曲面在(0,0)附近的变化情况.2,x5.一个环面的参数方程为 ),20,(sin,i)cos3(,cos)3( vuzvuvu试用命令 ParametricPlot3D 作出它的图形.6.一个称作正螺面的曲面的参数方程为).8,1(3/,in, yx试用命令 ParametricPlot3D 作出它的图形.7.用命令 Plot3D 作双曲抛物面 ,其中 (用选项412yxz14,6yxBoxRatios-1,1,1, PlotPoints-30).8.用命令 ParametricPlot3D 作出圆柱面 和圆柱面 相交的图形.122z9.用命令 ParametricPlot3D 作出抛物柱面 和平面 相交的图形.yxx6510.用命令 ParametricPlot3D 作出圆柱面 和圆柱面 相交所成的空间曲12yx12zx线在第一封内的图形.11.用命令 ParametricPlot3D 作出球面 和柱面 相交所成的空22z)(2y间曲线的图形.