1、数学解题的基本方法之一 配方法陕西洋县中学（723300） 刘大鸣数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用.可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法
2、常常在学习、掌握数学知识的同时获得.数学基本方法是数学思想的具体体现，是数学的行为，是解决问题的重要手段，它不仅有明确的内涵，而且具有模式化与可操作性的特征，有实施的步骤和做法.高考经典问题求解中的数学方法一般是指“配方法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、 ”等.有时在解决更小范围内的数学问题所使用的的具体方法是“代入法、消元法、比较法、割补法、等积法”等.高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等. 本系列专题通过 概念与规律、 基础题型再现、思维启迪、经典问题回放、实战演练等环节对数学基本方法的应用进一步的夯实.【概念与规律】配方法是对数学式
3、子进行一种定向变形（配成“完全平方” ）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项” 、 “配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者在三角变换和圆锥问题的简化运算等问题.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab) a 2abb ，将这个公式灵活运用，22可得到各种基本配方形式，如：a b (ab) 2ab(ab) 2ab；a abb (ab)22 ab(a
4、b) 3ab(a ) （ b） ；a b c abbcca (ab) (bc)22 3212 (ca) a b c (abc) 2(abbcca)(abc) 2(abbcca)222 2结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos） ；x (x ) 2(x ) 2 ；解析几212x1x何中的韦达定理和弦长公式； 等等.【基础题型再现】 1 若实数 a,b,c 满足 则 的最大值为 ,922cba222acba2 方程 x y 4kx2y5k0 表示圆的充要条件是_2A. 1 C. kR D. k 或 k11414 43 已知 sin cos 1
5、，则 sincos 的值为_A. 1 B. 1 C. 1 或1 D. 04 函数 ylog (2x 5x3)的单调递增区间是_122A. （, ） B. ,+ C. ( , ) D. ,354541254545. 已知方程 x +(a-2)x+a-1=0 的两根 x 、x ，则点 P(x ,x )在圆 x +y =4 上，则实数 a_2 121226 双曲线 的两个焦点 F1，F 2，点 P 在双曲线上，若 ，求 P 到 x 轴的距离.12bya 2FP【思维启迪】 1：如何求最大值，只有对所求值重新整理，凑用题设和配方切入，.27,2793 2322222所 求 最 大 值 为 cba ca
6、bcbacbacbac2：配方成圆的标准方程形式(xa) (yb) r ，解 r 0 即可，选 B。 23：已知等式配方凑成(sin cos ) 2sin cos 1，求出 sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解,选 C。4：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解，选 D。5 根与系数的关系中配凑整体思维, ，解得 3142)(,0)(4221axa.16 构建方程组，用圆锥曲线的定义需配方，为简化运算需整体代入.设点 P 到 轴的距离为 L，x，则有， ，配方用双曲线定义，整体代入解21rPF, Lcr,cr,ar 10210262211 得 L .56【经典
7、问题回放】例 1 RtABC 中，C=90 0，AC=8，BC=6，P 是ABC 内切圆上的动点，试求点到ABC 的三个顶点的距离的平方和的最大值和最小值【思维展示】如何解决最值？利用坐标法，建立函数关系，只有用配方法才能化归一次函数区间上的最值解决。如图建系，则（,0） ，（0，） ，（0，0）内切圆半径r= = =2,内切圆圆心（，）其内切cbaSCA2a圆方程（x-2 2 +(y-2)2 =4,设 P(x,y) 是圆上动点, 对目标函数配方化简， 则 S= =(x-8)2 +y2+x2 +(y -6)2+x2+y2=PB3(x-2)2+(y-2)2-4x-76=34-4x+76=88-4
8、x 在0,4上的最值，由单调性得 S max=88, Smin=72 例 2 求函数 的最大值.xcosinxcosiny【思维展示】如何沟通变量之间的关系选主元？ 只有配方才有 ，沟通变量的关系，换元21xcossinxcosin将问题化归为二次函数在区间上的问题求解.2112,24sin2cosi 的 最 大 值 为时 ，上 的 最 大 值 ， 当，在设 yuuyxxu例 3 解方程 88x【思维展示】BACO1p原方程化为 ，两边平方得 882)4( xx至此，面对复杂的方程形式，思路困惑，828424)( xxxx难以继续.事实上，只要注意方程的特征和配方法的应用，配凑出个整体的平方形
9、式，可化归为二次方程求解，原方程关于 配方整理有 为所求根.8x 1,48,012)8(82 xxxx例 4 设方程 x kx2=0 的两实根为 p、q，若( ) +( ) 7 成立，求实数 k 的取值范围。2 2qp【思维展示】方程 x kx2=0 的两实根为 p、q，由韦达定理得：pqk，pq2 ,如何构建不等式？只有配2方，( ) +( ) 7， 解pq2242()()2()pqpq22()k248得 k 或 k ，又 p、q 为方程 x kx2=0 的两实根， k 80 即 k210 2或 k2 ，综合起来，k 的取值范围是： k 或者 k10210【学习体验】关于实系数一元二次方程问
10、题，总是先考虑根的判别式“” ；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理.本题由韦达定理得到 pq、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成 pq 与 pq 的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视.例 5 已知 时，求 x,y. （参考公式23coscos,20yxxy）cso2csoxyx【思维展示】二元满足的关系式，如何确定二变量的值？只有配方利用非负数之和确定.注意公式 的信息迁移，用二倍角公式再配方切入，由2cos2cosyxyx，,3cos2cosyx，而两个非
11、负数之和0in4112cos,12cos2 yxyxyx为零， .35,20,in,0cos yxyx或【学习体验】二元变量满足的关系式，只有用配方法化归为非负数之和才能确定其大小。例 6 已知抛物线 ，过动点 且斜率为 1 的直线与该抛物线交于不同的两点 A、B，02pxy0,aM. 求 a 的取值范围； 若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求三角形 NAB 面积的最大值.pAB2【思维展示】直线和圆锥曲线位置的研究方法“设而不解，整体思维” ，弦长公式只有用配方法，才能用韦达定理整体处理.依题意巧设直线 AB 所在方程为 与 联立化简有， .由axy02pxy 022axpx直线
12、与该抛物线交于不同的两点 A、B，则 ，解得， 设 ，用42p .pa221y,B,yA配方法和点在直线上表示弦长 4,0,4,8242 22211 paaaxxAB 则 AB 的垂直平分线为 ，即 ，令 ，则pxy1 paxpyx,yN ，三角形 NAB 的高 ，则02,pa aph22，而 ，由一次函数的单调性知， 时，281 ppaSAB pa 2pa三角形 NAB 有最大值为 2p【实战演练】1 函数 y(xa) (xb) （a、b 为常数）的最小值为_22A. 8 B. C. D.最小值不存在()22 、 是方程 x 2axa60 的两实根，则(-1) +(-1) 的最小值是_2 2
13、2A. B. 8 C. 18 D.不存在493 化简：2 的结果是_1sincosA. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 4 已知长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24，则这个长方体的一条对角线长为A. 2 B. C. 5 D. 145 设 F 和 F 为双曲线 y 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足F PF 90，则F PF1x2 121的面积是_。26 若 x1，则 f(x)x 2x 的最小值为_。21x7 已知 0； 是否存在一个实数 t，使当 t(m+t,n-t)时，f(x)1，t1，mR，xlog tlog
14、s，ylog tlog sm(log tlog s),sts4t4s2t2(1)将 y 表示为 x 的函数 yf(x)，并求出 f(x)的定义域；(2)若关于 x 的方程 f(x)0 有且仅有一个实根，求 m 的取值范围.10 设非零复数 a、b 满足 a abb =0，求( ) ( ) .22ab198b198速解“一点通” 1 重新整理关于变量 x 再配方，顶点处取得最小值，选 C；2 注意实根条件由判别式解出范围，凑用韦达定理和求最值都用配方法易有 8,3,493221,3 222 最 小 值 为或 aaa 3 注意平方和的特点，升次配方有 2 ,选8sin4sinicosincosC；
15、4 设长方体长，宽，高分别为 x,y,z，则 ,而欲求对角线长 ，将其配凑1424()xyz xyz2成两已知式的组合形式可得长方体所求对角线长为： yz()()xyz25，所以选 B；6125 用定义需配方出现两焦半径之积可得面积为 1；6 配方凑用均值不等式，f(x)x 2x 为所求的最值；21234122 xx7 凑角变换，用同角关系中体现配方，易求 sin2= ;658 注意已知的条件配方为 于是， 是方程的,022 ACmnBcAmnBna n,两根，则 f(x)Ax BxC ， （1）2x ;,;0 xxfxxfA 的 解 集 为时当或的 解 集 为时 ，当（2）假设存在一个实数
16、t，使当 t(m+t,n-t)时，f(x)0 ， ;0.,0, mnttntmAtnmtnt 或时 ，； 当时当综上讨论知存在一个实数 t，使当 t(m+t,n-t)时，f(x)0；9 两次配方沟通，(1)ylog tlog sm(log tlog s)= s4t4s2t2stts22logl(log tlog s)-2, xlog 2tlog 2s=x2，-2,s2t2 st);2(,22xmxfxmxy(2)用根的分布，注意特殊性，只需， ;1,0408mf10：对已知式可以联想：变形为( ) ( )10，则 （ 为 1 的立方虚根） ；或配方为ab2ab(ab) ab .则代入所求式即得。由 a abb =0 变形得：( ) ( )10 ，设 ，则 2 22abab10，可知 为 1 的立方虚根，所以： ， 1。又由 a abb =0 变形得：a322(ab) ab ，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ab198198ab2929ab9 2 ；999
