1、探究在椭圆中直角PF 1F2的个数与离心率的关系-黄冲椭圆的定义和性质是每年高考的必考内容，其考察形式是灵活多变的，如：椭圆上一点 P 到两焦点距离之和为 ， ，求椭圆的方程；已知椭圆方程为 ，2e 1625yx为椭圆上一点， 为两焦点，求 等等，这些都是21F, 211sinPF高考常考查的内容，但也有些知识高考考查的很少，却有一定的数学价值如：探究在椭圆中直角PF 1F2的个数与离心率的关系。要解决这个问题首先要具备以下两个公式：（ ）ycSP21（）tan21bF注： 为 P 的纵坐标 本文的椭圆方程焦点均在 轴上x一、探讨 的大小与 P 的位置关系21由（）可知当动点 P 的椭圆上变化
2、时， 随着 的增大而增大，当 P 落在短21FPSy轴 上时， 达到最大，此时面积也达到了最大。y由图 1 可知 , 随着 的增大而增大，当 最大时， 也021FPS 21FPS达到 了最大。结合上述分析:当随着 P 向短轴靠近角 越来越大，且 P 落在短轴上时，角 最大 2、探讨 个数满足的条件21F1.当 P 在短轴上时， 数满足的条件（如右图 2）21由椭圆的相关性质得到 ，即1OFPcb，所以，22cba2e有对称性可知，椭圆上有且只有两个点 P 使得 （有（一）分析21F是最大角）21PF图 1 PF2 xyF1图 2OPxyF1 F2O事实上以上叙述概括为：椭圆上有且只有两个点 P
3、 使得 21F2e2.当 P 在短轴上时， 数满足的条件(如右图 3)21F由（一）结论可知 此时是最大角，而最大角小于 ，显然椭圆上没有点 P 使得 ，而221F此时 ，所以 ，4cb2ca所以， 20e事实上以上叙述可以概括为：椭圆上没有点 P 使得 21F20e3当 P 在短轴上时， 数满足的条件(如右图 4）21当 P 由长轴沿着椭圆图像变化到短轴时， 由 0 变化到21P钝角，有连续性，以及（一）的分析可知，在第一象限有且只有一个点 P 使得 ，再根据椭圆的对称性像这样的21F点 P 共有 4 个，而此时 ，离心率cb1e事实上以上叙述可以概括为：椭圆上有 4 个点 P 使得 21Fe3、探究在椭圆中直角PF 1F2的个数与离心率的关系由于在PF 1F2中没有指明哪个是直角，所以当 21FP因此由图 5 可知，对任意的椭圆都有 4 个 Rt再根据（二）的分析可知直角PF 1F2的个数与离心率的关系如下：在椭圆上当直角PF 1F2的个数是 6 的时候 2e在椭圆上当直角PF 1F2的个数是 4 的时候 0PF2 xyF1图 3OF1 F2 xyOjjjjjjjP图 4yxPF1 F2O图5在椭圆上当直角PF 1F2的个数是 8 的时候 12e4、探究根据以上分析试探究在双曲线中，直角PF 1F2的个数与离心率的关系
