1、高中数学必修一、必修四、必修五知识点一、知识点梳理必修一第一单元1.集合定义：一组对象的全体形成一个集合.2.特征：确定性、互异性、无序性.3.表示法：列举法1,2,3,、描述法x|P、韦恩图、语言描述法不是直角三角形的三角形4.常用的数集：自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、正整数集 N .*5.集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合 例：x|x 2=55.关系：属于、不属于 、包含于 (或 )、真包含于 、集合相等.6.集合的运算（1）交集：由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合；
2、表示为： BA数学表达式： 性质：x且A,（2）并集：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合；表示为： 数学表达式： 性质：或,（3）补集：已知全集 I，集合 ，由所有属于 I 且不属于 A 的元素组成的集合。表示：I ACI数学表达式： xC且方法：韦恩示意图, 数轴分析.注意： 区别与 、 与 、a 与a、 与、(1,2)与1,2； A B 时，A 有两种情况：A 与 A.若集合 A 中有 n 个元素，则集合 A 的所有不同的子集个数为 ，所有真子集的个数是 -1, 所)(Nn2n2有非空真子集的个数是 。2n空集是指不含任何元素的集合。 、 和 的区别；0 与三者间的关系
3、。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。BA符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号,“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。8.函数的定义：设 A、 B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f（ x）和它对应，那么就称 f:A B 为从集合 A 到 集 合 B 的 一 个 函 数 ， 记 作y=f（ x） ， x A， 其 中 x 叫 做 自 变 量 .x 的 取 值 范 围 A 叫 做
4、函 数 的 定 义 域 ； 与 x 的 值 相 对 应 的 y 的 值 叫 做 函数 值 ， 函 数 值 的 集 合 f（ x） |x A叫 做 函 数 的 值 域 .定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有
5、意义.求函数的值域的方法 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法9.两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则（与表示自变量和函数值的字母无关）都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.10.映射的定义：一般地，设 A、 B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合 A、 B，以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f:AB.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求 A、 B 非空且皆为数集.11.函数的三种表示法：解析法、
6、列表法、图象法12.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当x11，且 *axnxannN当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数此时， 的 次方根用符号n an表示a式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数nna当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数 的正的 次方根用符号 表anna示，负的 次方根用符号 表示正的 次方根与负的 次方根可以合并成 （ 0） nnnn由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 0结论
7、：当 是奇数时， 当 是偶数时，nann)0(|aan2分数指数幂规定： )1,0(*Nnmanm1nn0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3有理指数幂的运算性质（1） ； （2） ；rasr),0(Qsrarsra)( ),0(Qsra（3） srb)(b一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数有理数指数幂的),(是 无 理 数运算性质同样适用于无理数指数幂4.一般地，函数 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定)1a,0(ayx且义域为 R5.指
8、数函数的性质图象特征 函数性质1a1a01a0向 x、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+Nalog函数图象都过定点（0，1） 1a0自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于 1在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 a,0x1a,0x在第二象限内的图象纵坐标都小于 1在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；6.对数
9、的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作：Nax)1,0(axaNNxalog 底数， 真数， 对数式alog说明： 注意底数的限制 ，且 ； 1 01 ； 2 xaaxl 注意对数的书写格式 3两个重要对数：常用对数：以 10 为底的对数 ； 1 Nlg自然对数：以无理数 为底的对数的对数 2 7182.eln7.对数式与指数式的互化： xalox8.对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1 的对数是零： ；01loga（3）底数的对数是 1： ；（4）对数恒等式： ；logaNl（5） nalog9.如果 ，且 ， ， ，那么：00MN（1） ； （2） ；a(l)a
10、logal NMalogalNalog（3） nog)(Rn10.换底公式（ ，且 ； ，且 ； ） abcalogl 01a0c10b（1） ； （2） bmnbaamloglog abbalog1l11.对数函数的概念1定义：函数 ，且 叫做对数函数。其中 是自变量，函数的定义域是（0，+） 0(lxya)1x注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别如： ， 都 1 xy2log5lxy不是对数函数，而只能称其为对数型函数对数函数对底数的限制： ，且 0(a)1类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格： 2图象特征 函数性质1aa1a0函数图象都在
11、 y 轴右侧 函数的定义域为（0，）图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R函数图象都过定点（1，1） 1自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数第一象限的图象纵坐标都大于 0第一象限的图象纵坐标都大于 0 0log,1xa 0log,xa第二象限的图象纵坐标都小于 0第二象限的图象纵坐标都小于 0 1x规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大12.幂函数：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数xy)(Ra幂函数性质归纳：（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2）
12、时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地，当 时，幂函数的 ),01图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；1（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在0),0(x轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴yyxx 必修一第三单元1.函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点)(Dxfy0)(xfx)(Dxfy函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标)(f )(f )(f即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点0x)(xfy)(xf
13、y2.函数零点的求法：求函数 的零点：)(fy（代数法）求方程 的实数根；0x（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找)(xfy出零点3.零点存在性定理：如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在 c(a,b)，使得 f(c )=0，这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.4.二分法及步骤：对于在区间 ， 上连续不断，且满足 的函数 ，通过不断地把函数 的零ab)(afbf0)(xfy)(xf点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，
14、进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度 ，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下：)(xf1确定区间 ， ，验证 ，给定精度 ；abab02求区间 ， 的中点 ；()1x3计算 ： 若 = ，则 就是函数的零点；)(1xf 1 )(1xf01若 ，则令 = （此时零点 ） ； 2 ab),(10xa若 ，则令 = （此时零点 ） ； 3 )(1xffa1xb4判断是否达到精度 ；即若 ，则得到零点零点值 （或 ） ；否则重复步骤 24|ba必修四第一单元1.任意角的三角函数的意义及其求法：在角 上的终边上任取一点 ，记 (,)Pxy2rOPxy则 , , .sinyrcosxrtanyx2
15、.三角函数值在各个象限内的符号：正弦：上正下负; 余弦：左负右正； 正切：一、三正，二、四负3.同角三角函数间的关系：.1cosin2.csta;tin4.诱导公式， ， 1si2sikco2cosktan2tankk， ， nn， ， 3sisicsstata， ， 4oconn口诀：函数名称不变，符号看象限， 5sincs2si2，6ioin口诀：奇变偶不变，符号看象限5. 三角函数的图像与性质：名称 sinyxcosyxtanyx定义域 xRxR|,2xkZ值 域 1,1,(,)图象奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性单调增区间:(2,2k)Z单调减区间:32,2k)Z单调增区间: (
16、)2,kkZ单调减区间: ( )( ),单调增区间： (,)2k)周期性 T2TT对称性对称中心: ,(0)kkZ对称轴: ，2x对称中心: ,(0)kZ对称轴: , xZ对称中心: ,(0)2kk对称轴：无最值时，2,kz；max1y时，3,2kzmin1y 时，2,kz；max1y时，,zmin无6.得到函数 的图象的方法：sixA方法 1、函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函y 数 的图象；再将函数 的图象上所有点的横坐标伸长sinyxsinyx（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数 的图象；再将1sinyx函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（
17、横sinyx A坐标不变） ，得到函数 的图象sinyxA方法 2、函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍six 1（纵坐标不变） ，得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有siyxsinyx点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 的图象；再将函数si的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标sinyx A不变） ，得到函数 的图象sinyxA7.函数 的性质：si0,振幅： ；周期： ；频率： ；相位： ；初212fx相： 函数 ，当 时，取得最小值为 ；当 时，取得sinyxA1xminy2最大值为 ，则 ， ， mamain2yaxi21xx必修四第二单元16、
18、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为 的向量0单位向量：长度等于 个单位的向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式： abab运算性质：交换律： ；b a C AaC结合律： ； abcc0aa坐标运算：设 ， ，则 1,xy2,bxy12,bxy18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设 ， ，则 1,axy2,xy12,axy设 、
19、两点的坐标分别为 ， ，则 A1 12A19、向量数乘运算：实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a a ；当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当00时， a运算律： ； ； aaab坐标运算：设 ，则 ,xy ,xy20、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 0b a设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、1,axy2,bxy 1210xy共线0b21、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面1e2内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 （不共线的向量 、a12ae1e作为这一平面内所
20、有向量的一组基底）2e22、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ，12121,xy，当 时，点 的坐标是 2,xy12 ,xy23、平面向量的数量积： 零向量与任一向量的数量积为 cos0,180abab 0性质：设 和 都是非零向量，则 当 与 同向时，abab；当 与 反向时， ； 或 ababab2aa运算律： ； ； bcbc坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 1,axy2,xy12axy若 ，则 ，或 ,axy22设 ， ，则 12,bxy120bxy设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则1,a,ab122cosxyab必修四第三单元1.三角恒等变换
21、公式正弦的两角和、差公式：sin（ ）sin cos cos sin sin（）sin cos cos sin 余弦的两角和、差公式：cos（）cos cos sin sin cos（）cos cos sin sin 正切的两角和、差公式：tan（ ） tant1tan（） tta正弦的二倍角公式：sin 2 2sin cos 余弦的二倍角公式：cos 2cos 2 sin 2 2cos 2 1 12sin 2 正切的二倍角公式：tan 2 tn1a .sinco12tacsitan .2tan1t2at .coscoscossin； ；万 能 公 式 ： ；降 幂 公 式 ：必修五第一单元1
22、.正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一： (解三角形的重要工具)RCcBbAa2sinisin形式二： (边化正弦)Rcbsin2形式三： :sinaAB（比的性质）形式四：si,i,2bcCR（正弦化边）利用正弦定理能够解两类三角形：1、已知三角形的任意两角与任意一边.其步骤是：（1）利用三角形内角和定理求出第三个角；（2）利用正弦定理求出另两边.2、已知三角形的任意两边与其中一边的对角.其步骤是：（1）利用正弦定理求出另一边的对角；（2）利用三角形内角和定理求出第三个内角；（3）利用正弦定理求出第三边.此时，可能无解或仅有一解或有两解.判断有多少个解的方法：在
23、ABC中，已知 a,b 和 A，解三角形时，由正弦定理得 时 ，时 ， 则 有 一 解 ； 当时 ， 则 无 解 ； 当当 1sin1sin1sin,isn aAbaAbab ，即如 果一 定 为 锐 角 ， 有 一 解 ，则即如 果 BB,则有两解.2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.(遇见二次想余弦)形式一： 22cosabA22cosbcacaC形式二： 22cosbaAc，22oscbB，22osabc利用余弦定理能够解三类三角形：1、已知三角形的三边，求三个角.其步骤是：（1）利用余弦定理求出两个角；（2）利用三角形的内角和定
24、理求出第三个角.2、已知三角形的两边及其夹角，求第三边和另外两个角，其步骤是：方法一：（1）利用余弦定理求出第三边；（2）利用余弦定理求出一个角；（3）利用三角形内角和定理求出第三个角.方法二：（1）利用余弦定理求出第三边；（2）利用正弦定理求出一个角；（3）利用三角形内角和定理求出第三个角.3、已知三角形的任意两边与其中一边的对角：用余弦定理求出第三边，此时第三边的个数即为三角形解的个数.必修五第二单元1数列的概念：数列是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集1,2，3，n ）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 2等差数列的有关概念：(1）等差数列的判断方法：定义法 或
25、。1(nad为 常 数 ） 11(2)nnaa(2）等差数列的通项： 或 。1()n)m(3）等差数列的前 和： ， 。2S12nSd(4）等差中项：若 成等差数列，则 A 叫做 与 的等差中项，且 。,aAbab2abA提醒：1等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、n1dn及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便nS1d可求出其余 2 个，即知 3 求 2。2为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为 ） ；偶数个数成等差，可设为，,adad,（公差为 2 ）3d3等差数列的性质：(1） 当公差 时，等差数
26、列的通项公式 是关于 的011()nadnan一次函数，且斜率为公差 ；前 和 是2()dS关于 的二次函数且常数项为 0.n(2） 若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若0d0d公差 ，则为常数列。(3） 当 时,则有 ，特别地，当 时，则有mpqqpnmaa2mnp.2na(4） 若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、nbnknbk、 ，也成等差数列，而 成等比数列；*(,)pnqaN232,nnnSSna若 是等比数列，且 ，则 是等差数列. 0alga(5） 在等差数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数n Sd偶 奇时， ， （这里 即 ） ；21奇
27、 偶 中 21()n中 a中 n。:():奇 偶Sk4等比数列的有关概念：(1）等比数列的判断方法：定义法 ，其中 或1(nqa为 常 数 ） 0,nqa。1na(2)(2）等比数列的通项： 或 。 1nnm(3） 等比数列的前 和： 当 时， ；当 时，nq1Saq1()nnaqS。1naq特别提醒：等比数列前 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 项和时，首先要判断公比 是否为 1，再由 的情况选择求和公式的形式，当不能qq判断公比 是否为 1 时，要对 分 和 两种情形讨论求解。q1(4）等比中项：若 成等比数列，那么 A 叫做 与 的等比中项。提醒：,aAbab不是任何两数都有等比中
28、项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 。ab提醒： 1等比数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、n1、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意qnanS1aq3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2；2为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为， （公比为 ） ；但偶数个数成2,aqq等比时，不能设为 ，因公比不一定为正数，只有公比为正33,qa时才可如此设，且公比为 。25.等比数列的性质：（1）当 时，则有 ，特别地，当 时，则mnpmnpqaA2mnp有 .2npaA(2) 若 是等比数列，则 、 、 成等比数列；n|n
29、*(,)pnqNnka若 成等比数列，则 、 成等比数列； 若 是等比数列，且nb、 ab公比 ，则数列 ， 也是等比数列。当 ，且1q232,nnnSS 1q为偶数时，数列 ，是常数数列 0，它不是等比数列. (3)若 ，则 为递增数列；若 , 则 为递减数列；10,ana1aqna若 ，则 为递减数列；若 , 则 为递增数列；10,aqna10,aqna若 ，则 为摆动数列；若 ，则 为常数列.nqn五.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知 （即 ）求 ，用作差法：nS12()naf na。1,()a已知 求 ，用作商法： 。12()nfA n (1),2)n
30、fn若 求 用累加法：naa。1221()()()nna ()已知 求 ，用累乘法： 。nfan 121naa ()n已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列） 。特别地， （1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都可以用待定系数1nkb1nnkab,k法转化为公比为 的等比数列后，再求 。na注意：（1）用 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的1nnS条件了吗？（ ，当 时， ） ；（2）一般地当已知条件中含有21与 的混合关系时，常需运用关系式 ，先将已知条件转化为只naS 1nnS含 或 的关系式，然后再求解。n六.数列求和的常用方法：1公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式
31、，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论.；常用公式： ， ，123()2n 22(1)26nn.32分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 3倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法）. n4错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导n方法）.5裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ； ；1()1nn1()()nknk ，211()kk21111()()kkkk； ； ；(1)2(1)(2)nnn (1)!(1)!n .26通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
