1、数学知识点总结第 - 1 - 页 共 18 页高中数学 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念1.1集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有 确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示 自然数集， 或 表示 正整数集， 表示 整数集， 表示 有理数集， 表示 实数集.NNZQR（3）集合与元素间的关系对象 与集合 的关系是 ，或者 ，两者必居其一.aMaaM只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法： | 具有的性质，其中 为
2、集合的代表元素 .xx图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集( ). 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。【1.1.2】集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 是集合 B 的子集。记作 .2、 如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作：A B.x3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集.4、 如果集合 A 中含有 n 个元素，则集
3、合 A 有 个子集， 个真子集.n21n5、子集、真子集、集合相等名称 记号 意义 性质 示意图子集B（或 )AA 中的任一元素都属于 B(1)A A(2)(3)若 且 ，则BCA(4)若 且 ，则ABA(B)或B A第 - 2 - 页 共 18 页真子集A B（或B A），且 B 中至少有一元素不属于 A（1） （A 为非空子集）(2)若 且 ，则BCB A集合相等 A 中的任一元素都属于 B，B 中的任一元素都属于 A(1)A B(2)B AA(B)6、已知集合 有 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它有 个非空子集，它有(1)n2n21n21n非空真子集.2n【1.1.3】集合的基
4、本运算1、 一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集.记作： .BA2、 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集.记作： .3、全集、补集 |,UCxU且名称 记号 意义 性质 示意图交集 AB且|,xA（1） A（2） （3） BBA并集 AB或|,xA（1） A（2） （3） BBA补集 UA|,xA且1 ()UA2 A【1.2.1】函数的概念1、函数的概念 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 A 中的任意一个数 ，在集合 B 中都f x有惟一确定的数 和它对应，那
5、么就称 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作： .xf Bf: Afy,函数的三要素:定义域、值域和对应法则()()UU第 - 3 - 页 共 18 页如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等【1.2.2】函数的表示法2、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.3、映射的概念设 、 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个元素，在集合 中都有唯一ABfAB的元素和它对应，那么这样的对
6、应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫做集合 到 的映射，记ABfA作 :f给定一个集合 到集合 的映射，且 如果元素 和元素 对应，那么我们把元素 叫做AB,ababb元素 的象，元素 叫做元素 的原象ab1.3函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质 定义 图象 判定方法如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x 2,当x1f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数y=f(X)yxo x x2f(x ) f(x )1（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4
7、）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数第 - 4 - 页 共 18 页对于复合函数 ，令 ，若 为增， 为增，则 为增；若()yfgx()ugx()yfu()gx()yfgx为减， 为减，则 为增；若 为增， 为减，则()yfuff()u为减；若 为减， 为增，则 为减gx()yf()x()yx（2）打“”函数 的图象与性质()0afx分别在 、 上为增函数，分别在()fx,)、 上为减函数,0a(（3）最大（小）值定义一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数()yfxI满足：（1）对于任意的
8、，都有 ；M()fxM（2）存在 ，使得 那么，我们称 是0xI0()fx函数 的最大值，记作 ()fma一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1）对于任意的 ，都有()yfxImxI；（2）存在 ，使得 那么，我们称 是函数 的最小值，记作()fxm0I0()fx()fa【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质 定义 图象 判定方法函数的奇偶性如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）yxo第 - 5 - 页 共 18
9、页如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数 为奇函数，且在 处有定义，则 ()fx0x(0)f奇函数在 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减性相反y y在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象（1）作图平移变换0,|() ()hyfxyfxh 左 移 个 单 位右 移 个 单 位 0,|
10、() ()kyfxyfxk 上 移 个 单 位下 移 个 单 位伸缩变换1,()()ff 伸缩 1,()()Af f 缩伸对称变换()()xyfyfx 轴 ()()yfxfx 轴 原 点 1xy 直 线() (|)yyyyfx f 去 掉 轴 左 边 图 象保 留 轴 右 边 图 象 ， 并 作 其 关 于 轴 对 称 图 象|()|xfx 保 留 轴 上 方 图 象将 轴 下 方 图 象 翻 折 上 去第二章 基本初等函数()2.1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算1、根式的概念（1） 一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根。其中 .axnxanNn,1（2） 当 为奇数时， ；（3）
11、当 为偶数时，n (0)| naa（4） 我们规定： ；mna1,0*mN第 - 6 - 页 共 18 页 ；01nan（5） 运算性质： (,)rsrsR()(0,)rsrasR(0,)rrabbrR注意口诀：底数取倒数，指数取相反数【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称 指数函数定义 函数 且 叫做指数函数(0xya1)101a图象定义域 R值域 (0,)过定点 图象过定点 ，即当 时， ,1x1y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数R在 上是减函数R函数值的变化情况1(0)()xxa(0)1()xxa变化对 图象的影响a在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图
12、象越低aa2.2对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真(0,1)xaNa且 xaNlogaxNN数负数和零没有对数对数式与指数式的互化： log(0,1)xaxa01xyx(,)O101xx(,)Oy第 - 7 - 页 共 18 页（2）几个重要的对数恒等式， ， log10al1alogaN（3）常用对数与自然对数常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 ） l10llnlogeN2.718（4）对数的运算性质 如果 ，那么,0,aM加法： 减法：logllog()aNlllogaaaMN数乘： nanRlog
13、aN 换底公式：loglog(0,)baaMbll(0,1)ba且倒数关系： .bal1l1,0,ba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称 对数函数定义 函数 且 叫做对数函数log(0ayx1)101a图象定义域 (0,)值域 R过定点 图象过定点 ，即当 时， (1,)1x0y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数(0,)在 上是减函数(,)01 xyO(,)xlogayx01 xyO(,)xla第 - 8 - 页 共 18 页函数值的变化情况log0(1)l()aaxlog0(1)l()aax变化对 图象的影响a在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠
14、高(6)反函数的概念设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子 如果对于()yfxAC()yfx()xy在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 表C()xyA()示 是 的函数，函数 叫做函数 的反函数，记作 ，习惯上改写xy()fx1()xfy成 1()f（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式 中反解出 ；()yfx1()fy将 改写成 ，并注明反函数的定义域1()xfy1()fx（8）反函数的性质原函数 与反函数 的图象关于直线 对称()f1()yfyx函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域yx 1()
15、f若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上(,)Pab()yfx,Pba1()yfx一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数2.3幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数yxx（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，y图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 0,)(1,)第 - 9 - 页 共 18 页单调性：如果 ，则幂函数的图象
16、过原点，并且在 上为增函数如果 ，则幂函数的图象在00,)0上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴(0,)xy奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数当 （其中 互质，qp,和 ） ，若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，若 为奇数 为偶数时，则 是偶函数，若pqZpqqpyxpqqyx为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数pyx图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线 下方，若 ，其,(0)101xyx1图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ，其图象在直线 下yx1xy1yx方补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式： 顶点
17、式：2()(0)fxabc2()(0)fxahka两根式： 12)xa（2）二次函数图象的性质对称轴方程为 顶点坐标是 ,2bxa24(,)bca当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时，0a,)ba2bxa；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当2min4()cbfx0a(,2,)时， 2a2max4()cbf二次函数 当 时，图象与 轴有两个交点2(0)fa240bacx（3）一元二次方程 根的分布xbc设一元二次方程 的两实根为 ，且 令 ，从以下四2()12,x12x2()faxbc个方面来分析此类问题：开口方向： 对称轴位置： 判别式： 端点函数值符
18、号 aba（4）二次函数 在闭区间 上的最值2()(0)fxabc,pq设 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，令 ,pqMm01()2xpq第 - 10 - 页 共 18 页（ ）当 时（开口向上）0a若 ，则 若 ，则 若 ，则2bp()mfp2bqa()2bmfaq()mfq若 ，则 ，则02bxa()Mfq02bxa()Mfp() 当 时 (开口向下 )0a若 ，则 若 ，则 若 ，则2bpMfp2bqa()2bMfaq()Mfq若 ，则 ，则 02bxa()mfq02bxa()mfp高中数学 必修 4 知识点第一章 三角函数正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角1、
19、 任 意 角 负 角 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角x 第一象限角的集合为 3603609,kkkxy0aOabx 2p qf(p)f(q) xy0aOabx 2p qf(p)f(q)() xy0aOabx 2p qf(p)f(q)()xy0aOabx 2p qf(p)f(q)()Axy0a O abx 2p qf(p)f(q)0Axy0aOabx2p qf(p)f(q)()fxy0aOabx2p qf(p)f(q)()xy0aOabx2p
20、qf(p)f(q)(A xy0a O abx 2p qf(p) f(q) ()xy0aOabx2pqf(p)f(q)A第 - 11 - 页 共 18 页PvxyAOMT 第二象限角的集合为 360936018,kkk第三象限角的集合为 1827第四象限角的集合为 27,kkk终边在 轴上的角的集合为x0,终边在 轴上的角的集合为y189kk终边在坐标轴上的角的集合为 ,3、与角 终边相同的角的集合为360,kk4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度15、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是 rl lr6、弧度制与角度制的换算公式： ， ， 236018057.3
21、7、若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ，为 弧 度 制 rlCSlr， 2Crl21Slr8、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距,xy离是 ，则 ， ， 20rxysinyrcosxrtan09、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正10、三角函数线： ， ， sistA11、角三角函数的基本关系：；221sinco1222inco,1sintasitas,ta （3） 倒数关系： nco112、函数的诱导公式：， ， 1sin2sik2cosktan2tankk， ， nco
22、， ， 3sisisstata， ， 4ncconn第 - 12 - 页 共 18 页口诀：函数名称不变，符号看象限， ， 5sincos2sin26sicos2sin2口诀：正弦与余弦互换，符号看象限13、的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx 1的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横sinyx A坐标不变） ，得到函数 的图象siyA数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx 1的图象；再将函数
23、的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数isinyx的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横sinyxi A坐标不变） ，得到函数 的图象sinyxA14、函数 的性质：si0,yx振幅： ； 周期： ； 频率： ； 相位： ； 初相： 212fx函数 ，当 时，取得最小值为 ；当 时，取得最大值为 ，则sinyxA1xminy2maxy， ， mai12main2y212xx15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyxy=cotx图象y=cotx322 2-2oy x定义域 RR,xk,xk值域 1,1,R R函 数性质
24、第 - 13 - 页 共 18 页最值当 时，2xk；ma1y当 时，2xkminy当 时2xk；ma1y当 时，xkminy既无最大值也无最 小值 既无最大值也无最小 值周期性2奇偶性奇函数 偶函数 奇函数 奇函数单调性在 2,2k上是增函数；在 32,2k上是减函数在 上,2k是增函数；在上,是减函数在 ,2k上是增函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2x对称中心 ,02k对称轴 xk对称中心 ,02k无对称轴对称中心 ,02k无对称轴第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为 的向量0单位向量：长度等于
25、 个单位的向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：abab运算性质：交换律： ；ab a C AaC第 - 14 - 页 共 18 页结合律： ； abcc0aa坐标运算：设 ， ，则 1,xy2,bxy12,bxy18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设 ， ，则 1,axy2,xy12,axy设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 A1 12A19、向量数乘运算：实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做
26、向量的数乘，记作 a a ；当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， 000a运算律： ； ； aaab坐标运算：设 ，则 ,xy ,xy20、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 0b a设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线1,axy2,bxy 1210xy0b21、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有1e2 a且只有一对实数 、 ，使 （不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底）12a1e222、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，
27、当 时，12121,xy2,12点 的坐标是 （当121,xy时 ， 就 为 中 点 公 式 。 ）23、平面向量的数量积： 零向量与任一向量的数量积为 cos0,180abab 0性质：设 和 都是非零向量，则 当 与 同向时， ；当 与 反向abababab时， ； 或 2 运算律： ； ； abcc坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 1,axy2,bxy12abxy若 ，则 ，或 设 ， ，则,xy22 1,axy2,bxy第 - 15 - 页 共 18 页120abxy设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则1,axy2,bxyab122cosabx平面的法向量的求法（待定系
28、数法）：建立适当的坐标系设平面 的法向量为 (,)nxyz求出平面内两个不共线向量的坐标 123123(,),(,)ab根据法向量定义建立方程组 .0nb解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量. （如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线 的方向向量分别是 ，则要证明 ，只需证明 ，即 .12,lab、 1l2ab()kR即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线。线面平行（法一）设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则要证明 ，只需证明 ，即 .lulau0即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可
29、以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，要证 ，只需证 ，即证 .uvuvv即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线 的方向向量分别是 ，则要证明 ，只需证明 ，即 .12,lab、 12lab0即：两直线垂直 两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一）设直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则要证明 ，只需证明 ，即 .lulau第 - 16 - 页 共 18 页（法二）设直线 的方向向量是 ，平面 内的两个相交向量分别为 ，若lamn、 0,.al则即：直线与平面垂直 直线的方
30、向向量与平面的法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，要证 ，只需证 ，即证 .uvuv0即：两平面垂直 两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知 为两异面直线， A， C 与 B，D 分别是 上的任意两点， 所成的角为 ，,ab,ab,ab则 cos.求直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 奎 屯王 新 敞新 疆求法：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的夹角为 ， lauau则 为 的余角或 的补
31、角的余角.即有： cos.inau如果 是锐角，则 ，即 ；cosmnarcosmn 如果 是钝角，则 , 即 .snrsn第三章 三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ；coscsosin ； ；sinsicsi ；on第 - 17 - 页 共 18 页 （ ） ；tantan1ttantan1tan （ ） ttantttt25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin2icos 222 )cos(incosincossini1 222conc升幂公式2si,s降幂公式 ， 2o1cs2coin26、2tant127、 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 24224 ；问： ； ；30563051ooo 1sin12cos ； ；)( )4(24 ；等等)(2 半 角 公 式 sinco1csico1tan2;cos: 2tan1 s;t si:万 能 公 式
