1、 1 / 2正弦交流电有效值的证明证法一：假设有两个交变电压其最大值与周期均相同，瞬时值表达式分别为u1=Mmsint、u 2=Umcos t,其中，=2/T,把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值为 R，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的热量相等，设都为 Q，产生的总热量 Q 总 =2Q。在任一时刻 t，这两个电阻上的热功率分别为，221sinmUtuPR.22cot两个电阻上总的发热功率为。可见两个电阻上总的发热功率是一个2221sincosmmUttUPR定值，与时刻 t 无关，所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为.2mQT用
2、一个恒定电压为 U 的电源，分别给两个相同的电阻 R 供电，在相同时间 T 内，每个电阻产生的热量是 Q= ，两个电阻产生的总热量为 Q= .由热效2TR2U应的等效可知 。可得 。而这个恒定电流的电压 U 就是正22m2mU弦交变电流的电压的有效值。电流、电动势有效值可同法证得。证法二：设流过定值电阻 R 的电流按正弦规律变化，即 i=Imsint, 交流电的瞬时功率为 p=i2R=Im2Rsin2t. 因为 代入得 21cossintt。1cosmpIRt上式中，后一项在一个周期内平均值为零，因此在一个周期内交流电平均功率为：u2OUm-UmTttO-UmTt2 / 2(为最大瞬时功率的一半)21mPIR如果考虑一个恒定电流 I 与其等效，即 P=I2R，就有P= ，即 ，所以 221mIRmI证法三：（积分法）设流过定值电阻 R 的电流按正弦规律变化，即 i=Imsint.因为时刻 t 瞬时功率 p=i2R=Im2Rsin2t，则一个周期内电阻 R 上产生的热量为Q= .0Tpd因为 代入得 ,代入上式有：21cossintt221cosmpIRt。200TTmmQIRItd由于第二项积分为零，所以 Q= 。2mIT如果有一个恒定电流 I 与其等效，即 ，就有 ，即2QRQ221mIRTI所以有
