柯西判别法与达朗贝尔判别法的比较在课本 p.23（下册）已举例说明：存在级数 ，它可以用柯西判别法判定其收1nu敛，但无法用达朗贝尔判别法判断其敛散性。然而，欲说明“柯西判别法略优于达朗贝尔判别法” ，必须进行证明。即应证明：若级数 可用达朗贝尔判别法判断其敛散性，1n亦可用柯西判别法判断其敛散性。证明：（1）若级数 可用达朗贝尔判别法判定其收敛，则 ，1nu N有 ，其中， 是一正常数。由 p.7 推论 2，不失一般性，可设：Nn1qunq，有 。由此式即可得出： ，因此，n1 11uquqnn有Nn（1）nnqu1由于正数 ，必有正常数 使 （只须取正数 即可） 。由于1q1q极限 ， ， 有 ；即： ， lim1nuNn1nquNn有，1qunn由柯西判别法，级数 收敛。1n（2）若级数 可用达朗贝尔判别法判定其发散，则 ， 有 1nu Nn。由此可得，1nuN。11NnNu级数 中， 有 ，即： ，由柯西判别法，级数 1nNunnN发散。级数 与级数 具有同样的敛散性，因此，级数 发1n1n1nNu1nu散。
