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柯西判别法与达朗贝尔判别法的比较.doc

柯西判别法与达朗贝尔判别法的比较在课本 p.23(下册)已举例说明:存在级数 ,它可以用柯西判别法判定其收1nu敛,但无法用达朗贝尔判别法判断其敛散性。然而,欲说明“柯西判别法略优于达朗贝尔判别法” ,必须进行证明。即应证明:若级数 可用达朗贝尔判别法判断其敛散性,1n亦可用柯西判别法判断其敛散性。证明:(1)若级数 可用达朗贝尔判别法判定其收敛,则 ,1nu N有 ,其中, 是一正常数。由 p.7 推论 2,不失一般性,可设:Nn1qunq,有 。由此式即可得出: ,因此,n1 11uquqnn有Nn(1)nnqu1由于正数 ,必有正常数 使 (只须取正数 即可) 。由于1q1q极限 , , 有 ;即: , lim1nuNn1nquNn有,1qunn由柯西判别法,级数 收敛。1n(2)若级数 可用达朗贝尔判别法判定其发散,则 , 有 1nu Nn。由此可得,1nuN。11NnNu级数 中, 有 ,即: ,由柯西判别法,级数 1nNunnN发散。级数 与级数 具有同样的敛散性,因此,级数 发1n1n1nNu1nu散。

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