1、 浅谈逆矩阵的求法论文所在系： 数 学 系 老师： 熊 老 师 年级： 10 数本（1） 学号： 201040431036 姓名： 谢 明 静 浅谈逆矩阵的求法论文摘要：为了更便捷地解决求矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法、用克莱姆法则求解、行列式法、恒等变形法、利用Hamiton_Caley 定理法、拼接新矩阵等多种方法求逆矩阵,并对部分进行了简要论证.关键字：逆阵法；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵 1、逆矩阵的概念定义：设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使得 A
2、B = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆矩阵由 A 惟一确定，记为 A-1.2、矩阵可逆的条件（1）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 | A | 0（也即 r（A）= n） ；（2）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为 n 阶单位矩阵；（3）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的 n 个特征值不为零；（5）对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 AB = E（或 BA = E） ，则 A
3、可逆，且 A-1 = B.3、逆矩阵的性质设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，则（1） （A -1） -1 = A；（2）若 k 0，则 kA 可逆，且（kA ） -1 = A-1；1k（3）AB 可逆，且（AB） -1 = B-1 A-1；（4）A T 可逆，且（A T） -1 = （A -1） T；（5）A k 可逆，且（A k） -1 = （A -1） k；（6）| A -1 | = | A |-1；（7）如果 A 是 mn 矩阵，P 是 m 阶可逆矩阵，Q 是 n 阶可逆矩阵，则 r（A）= r（PA ）= r（AQ） = r（PAQ）.4、求矩阵逆的方法方法 1 定义法：设 A 是数域
4、P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆矩阵由 A 惟一确定，记1为 A-1.例 1：设 A 为 n 阶矩阵，且满足 ，求 A-1.2 -3+ 5E=0【解】 22 -1A - 35-=E3 ( ) - =55A 可 逆 且方法 2 伴随矩阵法：A -1 = A*.1|A|定理n阶矩阵A = a ij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且1212112nnnA 其中A ij是|A|中元素 aij的代数余子式.矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵，121212nnnA 记作A*，于是有A
5、-1 = A*.1|A|注 对于阶数较低（一般不超过 3 阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意 A* = （A ji） nn 元素的位置及符号.特别对于 2 阶方阵 ，其伴随矩阵12aA,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号 ”的规律.212*a对于分块矩阵 不能按上述规律求伴随矩阵.ABCD例 2：已知 ，求 A-1.10=235【解】 | A | = 2 0A 可逆.由已知得2112132233A= -5, 0,A= 7- , , A-1 = A* = 1|A| 515120277方法 3 初等变换法： 1 EE 初 等 行 变 换注 对于阶数较高（ n
6、3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.也可以利用 求得 A 的逆矩阵.1AE 初 等 列 变 换当矩阵 A 可逆时，可利用 1 1E BE ,CBA 初 等 行 变 换 初 等 列 变 换求得 A-1B 和 CA-1.这一方法的优点是不需求出 A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了 A-1B 或 CA-1.例 3: 设 设求01,1.解： | 0 |0 1 01| ,11- | | | AI于是1 0| 1 0|-1 -. | | 1- 0 1. A方法 4 用分块矩阵求逆矩阵：设 A、B 分别为 P、Q 阶可逆矩
7、阵，则：1 1 11 11 111A 00BCOACOOBDB 3例 4：已知 ，求 A-1.0521A【解】 将 A 分块如下： 1205120OA 其中 125,A可求得 1*1*1221,5| |3A 从而 112013205OA 方法5 解方程组求逆矩阵：根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A -1A = E 两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.例5： 求 的逆矩阵.10234【解】 设
8、,先求A-1 中主对角线下的次对角线上的元素2134124301XA4,再求 ，最后求 .设E为4阶单位矩阵, 比较2134X,3142,X1的两端对应元素,得到21341243001234X414243433414234231100;,X;X,500;,;11,X8AAAA解 得解 得 解 得解 得 。于是,所求的逆矩阵为: 1021635842A方法6 用克莱姆法则求解：若线性方程组 的系数行列式 ，112221 nnnaxaxb |0ijnDa则此方程组有唯一的一组解 .这里 是将 中的第i列21, , DDxx i换成 得到的行列式.1,inia 1,nb定理1 若 1 = (1 ,
9、0 , 0 , , 0), 2 = (0 , 1 , 0 , , 0), , n = (0 , 0 , , 1) 是Fn(Fn表示数域F上的n元行空间)的标准基,则F n中任一向量= (a 1 , a2 , , an )都可唯一地表示为:=a 1 1 + a2 2 + + an n的形式,这里a iF(i = 1 , 2 , , n).定理2 两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A = (a ij),A的行向量分别为 1 , 2 , , n , 其中 i = ( i1 , i2 , , in),(i =1 , 2 , , n),
10、由定理1 得: i=a ij j(i = 1 , 2 , , n) .解以 1 , 2 , , n 为未知量的方程组,由于系数行列式D = | A| 0 (因为A 可逆),所5以, 由克莱姆法则可得唯一解: j=Dj/D= bj11 + bj22 + + bjnn(j = 1 , 2 , , n) .其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项1 ,2,n而得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A- 1 = B.其中B = (bij).下面举例说明这种方法.例6：求可逆矩阵 的逆矩阵.1302A【解】 矩阵A的行向量为 ，由标准基 表示为：13,1
11、23,12323解以 为未知量的方程组得：123,11232312349959912419332599A该法在理论上是用克莱姆法则求解,但可用消元法简化运算过程.还以上例说明之:由： 得： 令1232312311230A是一个所谓的形式矩阵(其元素既有数,又有向量).对 施行矩阵的行的初等变换得:A123123490359124193259A方法7 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.6例8：已知 ，试求 并证明 ,其中 .6AE11A132【解】 由 得到
12、 故 ,而A66661EEA1又为正交矩阵, 从而1A132方法8 用Hamilton-Caley定理求逆矩阵：Hamilton-Caley定理:设A是数域P上的n阶矩阵 1E-Annfaa为A的特征多项式，则： 1E-A0nnfa于是 因此 121nnna 1121nnnaE例8：已知 ，求A -1.2431A【解】 A的特征多项式 32E-4710f由Hamilton-Caley定理知： fAE125216147040A 参考文献 :1 任宪林. 求逆矩阵的一个新方法J. 职大学报(自然科学版), 2004, (02) . 2 张玉成. 求逆矩阵的另一种方法J. 深圳教育学院学报(综合版), 2002, (01) . 3 王建锋. 求逆矩阵的快速方法J. 大学数学, 2004, (01) . 4 李桂荣. 关于求逆矩阵方法的进一步探讨J. 德州高专学报, 2000, (04) . 5 许莉. 试谈求逆矩阵的方法J. 承德民族师专学报, 1997, (02) . 6 高明. 逆矩阵的求法J. 阴山学刊(自然科学版), 2006, (02) . 7 连文星,刘爱荣. 求逆矩阵最简新方法J. 河南教育学院学报(自然科学版), 1997, (03)8 徐仲.陆全.张凯院.吕全义.安晓虹.西安：西北工业大学出版社.2009.7(02)
