1、- 1 -构筑理解概念的平台（选修 1-1）1.2 充分条件与必要条件教学设计1、设计思想：新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生，促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识这与建构主义教学观相吻合本节课正是基于这样的理念，通过创设丰富的问题情境，引导学生主动探究，强调学生的主体性，使学生实现知识的建构，培养学生“用数学”的意识在教学中尽量多地让学生亲身体验在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新2、教材分析：教科书结合实例给出推断符号“ ”和等价符号“ ”，并引出充分条件、必要条件与充要条件的概念它们是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系的重要工具，是中学数学中
2、最重要的数学概念之一在“充分条件与必要条件”这节内容前，教材安排了“命题及其关系”作为必要的知识铺垫，并把充分、必要条件的定义安排在第一课时，第二课时学习充要条件学习本节，要注意与前面有关逻辑初步知识内容的联系，本节所讲的充分条件、必要条件与充要条件中的 p、q 与四种命题中的 p、q 内容是一致的，即它们可以是简单命题，可以是不能判断真假的语句，也可以是“若 p 则 q”形式的复合命题，但本节中，一般只要求 p、q 是简单命题，而不作更深的讨论新的国家标准规定：符号“ ”叫做推断符号 “ ”表示“若 p 则 q”，也表示“p 蕴含 q”，有时也用“qp”， “ ”还可写成“ ”qp符号“ ”
3、叫做等价符号 “ ”表示“ ”且“ ”；也表示“p 等价 q” “qpqp”有时也写成“ ”qp本节的重点与难点是关于充分条件、必要条件及充要条件的概念的理解和判断（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系（2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该：首先分清条件是什么，结论是什么；然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件推理方法可以是直接法、间接法（即反证法） ，也可以举反例说明其不成立；最后再指出条件是结论的什么条件（3）在讨论条件和条件的关系时，要注意：- 2 -若 ，但 q p，则 p 是 q 的充
4、分但不必要条件；p若 ，但 p q，则 p 是 q 的必要但不充分条件；若 ，且 ，则 p 是 q 的充要条件；若 p q，且 q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件（4）若条件 p 以集合 P 的形式出现，结论 q 以集合 Q 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断若 ，则 P 是 Q 的充分条件；若 ，则 P 是 Q 的必要条件；若 ，则 P 是 Q 的充要条件；若 ，且 ，则 P 是 Q 的既不充分也不必要条件（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性由于原命题与逆否命题
5、等价，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立3、学情分析：虽然经过初中及高一的学习，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但学生在学习本节内容时的知识储备仍不够丰富这些概念较抽象，与学生原有的思维习惯有所差异，理解和掌握这些内容有一定难度结合以往的教学实践，我估计学生会在以下几个方面的学习中存在困难：若 ，qp为什么把 q 叫 p 的必要条件；在判断 p 是 q 的什么条件时，学生知道要判断 p 是否是 q 的充分条件，但会“忘记”还要判断 p 是否是 q 的必要条件在具体关系判断中，较难确定谁是条件p为了突破难点，理顺知识间的逻辑关系，让学生能在比较、识别中把
6、握三个概念的内涵，教学中对这部分内容进行整合处理，第一课时完成三个定义的学习以及初步运用，第二课时进行拓展应用训练基于本节内容特点，教学中通过师生对实例的考察研究，采用探究式教学法，通过师生互动来实现本节课的教学目标对学生的要求，不可追求一步到位，要有一个随着学习的深入，逐步提高、完善的过程4、教学目标：1初步理解充分条件、必要条件与充要条件的概念，掌握几种基本类型的判定方法，熟练利用“”解决具体问题. - 3 -2从实例探究中感知概念；从原命题及逆否命题的对比分析中形成概念；从发散练习题的构造中理解概念；从集合的角度深化概念；提高数学语言的运用能力和逻辑推断能力3在对命题的条件与结论间逻辑关
7、系的探究中培养学生思维的严谨性；通过严格推理和证明的教学，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值，从而进一步树立辩证唯物主义的世界观5、重点难点：关于充分条件、必要条件及充要条件的概念的理解和判断6、课前准备： 由于这是充分条件与必要条件的概念课，文字信息量较普通的数学课要大得多，因此用软件自制课件，以简化教师板书工作，增加课堂教学的信息容量，保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益7、教学过程： 一、感知概念（1）课前准备工作时音乐欣赏我是一只鱼 ；提问：鱼离不开水，没有水，鱼就无法生存但只有水，够吗？引导探究： p：“有水” ；q：“鱼能生存”
8、判断“若 p，则 q”和“若 q，则 p”的真假（2）练习：写出命题“若 ，则 ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假；2baxabx写出命题“若 ，则 ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假 0设计意图：从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律 （1）（2）在这里起到承上启下的作用，既复习了前面所学知 识，又找准了学生知 识结构上的生 长点，为后面充分条件和必要条件的学习做准备（3）感知概念、引出课题问题：能否改变的条件，使原命题变成真命题？设计意图：这题有较大的思维空间，不同 层次的学生都能在 这个问题上有不同层次的施展以此让学生认识到命题中的条件与结论之间应该具备
9、某种关系，为下面探究活动提出了问题，并引出课题以上两题的解答可以发现有的命题真，有的命题假，即有的命题可以从条件推得结论，有的则不能；而另外也有命题只要结论成立，就一定不能少了命题给出的条件，但是没有这个条件，结论不一定能成立那么命题中的条件与结论到底有怎样的关系呢？这是本节课要讨论的问题充分条件与必要条件- 4 -二、形成概念一般地， “若 p，则 q”是真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q这时，我们就说，由 p 可推出 q，记作“ ”学生练习：用“ ”和“ ”符号表示“感知概念”中的（1）和（2）及其逆命题设计意图：理解“ ”符号的含 义， 为引出定义奠定知识基 础.通过研究原命题，对
10、建立在学生原有认知水平上“充分”这个感性化的词汇获得数学意义上的认识，引出充分条件的定义；通过研究逆否命题，又让学生理解了 q 是 p 成立的“必需要有”的条件，引出必要条件的定义设计意图：通过以上的实例使学生亲身感知概念的发生与形成过程，使充分、必要条件定义的引入顺理成章，水到渠成，帮助学生突破难点 1通过以上分析，师生共同给出充分、必要条件的定 义. 定义：“ ”，也就是条件 p“足以”保证或“充分”保证结论 q 成立，这时我们说 p 是 qqp的充分条件（sufficient condition） ；从命题的角度看， “ ”，根据逆否命题与原命题的等价性，qp既也就是如果没有 q 成立，
11、就一定没有 p 成立，q 成立是 p 成立“必须要有”的前提条件，我们说q 是 p 的必要条件（necessary condition）.尝试初步运用，设计 2 个探究问题：如果 p 是 q 的必要条件，那么应该有 还是 ？qpp如何判断 p 是 q 的什么条件？ 设计意图：以问题的形式，帮助学生突破 难点 2，即如何判断 p 是 q 的什么条件引导学生探究出结论，即：p 可能 q 是的充分条件，也可能是必要条件因此要判断能否有 或 pq再回到前面的（1）和（2）进行实践操作先判断 p 是 q 的什么条件，由学生完成，教师适当点评，之后再独立判断 q 是 p 的什么条件设计意图：因为已经有了前
12、面原命题、逆命 题的真假判断，以及对推断符号的理解，当学生的视线再回到（1）和（2）时，他们的 认识已螺旋式上升，达到一个新的高度， 这样， （1）和（2）既可以加深对定义的理解，又帮助学生感受在具体问题中如何判断充要关系，解决问题的时候又可以发现新的知识点，学生完全可以独立归纳出充分非必要、必要非充分以及充要条件的定义由学生在实例中发现，并自己给出充要条件的定义，更符合学生的 认知规律给出定义：一般地，如果既有 ，又有 ，就记作 此时，我们说，p 是 q 的qppq充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition） 显然，如果 p 是 q 充要
13、条件，那么 q 也是 p 的充要条件概括地说，如果 ，那么 p 与 q 互为充要条件- 5 -例 1 完成下表p q p 是 q 的什么条件 q 是 p 的什么条件1x 0342xf)(在 上为增函数)(f),为无理数 为无理数两个三角形全等 这两个三角形面积相等babca判别步骤：认清条件和结论；考察是否有 和 ，即原命题和逆命题的真假；下结论qpp由学生自行归纳总结：原命题 逆命题 p 是 q 的(真)qpq p (假) 充分非必要条件p q (假) (真) 必要非充分条件(真) (真) 充要条件p q (假) q p (假)既不充分也不必要条件设计意图：在理解定义的基础上解决简单问题，同
14、 时归纳 判断充要条件的方法与步骤，并 强化判断时先要确定谁是条件 p,促进学生养成正确的思维习惯，帮助学生突破难点 3. 同时例 1 也作为课内的操作评价，让学生充分暴露思 维障碍，帮助教 师了解学生 获取知识的现状，以便调整教学节奏.三、理解概念为帮助学生充分理解概念，设计 2 道发散题：例 2 下列条件中哪些是 的充分不必要条件？0baA. B. C. 且,0a0,b0,ba|baD. E. F. 且23 |设计意图：加强学生思维的灵活性、分析 问题的深刻性例 3 请同学们分成四个小组，分别编写：充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件和既不充分又不必要条件四种类型的题目设计意图：给学生
15、提供活动的时（思维时间）空（思维空间），让主体主动构建自己的认知结构，通过分组交流、思辨，帮助学生深化理解并运用定义，同时让学生在这一过程中获得成功的喜悦 四、深化概念探究问题：如果 p 表示某元素 x 属于集合 P，q 表示该元素属于集合 Q，如何用集合间的关系理解“”的含义？q- 6 -结论： “ ”即： ，则 ，用图形可以表示为： 或 qpQxPP“ ”即 且 ，则 ，用图形可以表示为： ；.xxQ通过前面的学习，学生可以初步理解充分、必要、充要条件的概念，再从集合角度对这三个概念加以分析，则可以使学生更准确深入地理解其中的内涵.例 4 写出 的一个必要不充分条件_1|x设计意图：解决的
16、关键首先是确定谁是定义中的条件 p，再用集合的观点画数轴解决例 4 强化认清条件和结论的重要性，使学生学 习用集合的思想进行判断，更直观、快捷例 5 已知： O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，求证：d=r 是直线 l 与O 相切的充要条件分析：要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性设计意图：通过师生互动探究，提高数学 语言的运用能力和 逻辑推理能力五、知识小结(1)定义：若 ，则 p 是 q 的充分条件 （p 可能会多余浪费）若 ，则 p 是 q 的必要条件 （p 可能还不足以使 q
17、 成立）q若 ，则 p 是 q 的充要条件 （p 不多不少，恰到好处）(2)判别步骤：找出 p、q；判断 与 的真假根据定义下结论小结的重点是强化三个概念，以及在 问题解决中推理判断的方法通过小结，融合知识，深化理解.8、知识结构或板书设计(其中右半部分是投影屏幕)QPP、QP、Q1.2 充分条件与必要条件(1)定义：若 ，则 p 是 q 的充分条件；若 ，则 p 是 q 的必要条件； q若 ，则 p 是 q 的充要条件 (2)判别步骤：找出 p、 q；判断 与 的真假；下结论p(3)判别技巧：简化命题；否定一个命题只要举出一个反例即可；遇到复杂命题可将命题转化为等价的逆否命题后再判断(3)从
18、集合的角度来理解：“ ”即 ；“ ” 即qpQPqpQP例 2 下列条件中哪些是 的充0ba分不必要条件？ A. 0,baB. C. 且,|baD. 23E. baF. 且0,|- 7 -9、作业设计：（1）用符号“ ”和“ ”填空： _ ；2yxyx内错角相等_两直线平行；整数 a 能被 6 整除_a 的个位数学为偶数；ac=bc_ a=b（2）下列“若 p 则 q”形式的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分条件？哪些命题中的 p 是q 的必要条件？若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；若 ，则 5x10若 a+5 是无理数，则 a 是无理数若 ，则 .)(bxax(3)下列各题中，p
19、 是 q 的什么条件？p q P 是 q 的什么条件432x 43x)0(acb)0(2acba是方程 的一个根1x2x11x2x 33|51x设计意图：前三题以落实教材习题为主，在理解定 义的基 础上解决简单问题， 强化基础，巩固目标，促进学生养成正确的思维习惯 ，帮助学生突破 难点 3(4)求圆 经过原点的充要条件22)()(rbyax(5)求证： 是等边三角形的充要条件是 ，这里 a，b，c 是ABC cabca22的三条边- 8 -(6) 已知 p 是 q 的充要条件，r 是 s 的必要条件同时又是 q 的充分条件，试确定 p 与 r 的关系设计意图：一为提高学生解决问题的能力，二是
20、让学生充分暴露思 维障碍，帮助教 师了解学生获取知识的现状，以便调整教学 节奏- 9 -【问题研讨】(1) 在教学设计中，改变了教材安排的授课顺序，教材安排第一课时学习充分条件和必要条件，第二课时学习充要条件.本设计将它整合为第一课时完成定义的学习以及初步运用，第二课时进行拓展应用训练，这样是否更有利于学生系统地学好和掌握本节内容的知识？(2) 教师的本意是想多从“贴近教材、贴近学生、贴近实际”的角度来进行教学，具体实践过程中能否让学生有多种机会在不同的情境下去应用他们所学的知识 (将知识“外化”) ？【参考资料】1 马复：设计合理的数学教学 ，高等教育出版社 2003 年版2 黄燕玲，喻平：对数学理解的再认识 ， .数学教育学报 2002 年第 11 卷第 3 期3 郑毓信，梁贯成：认知科学建构主义与数学教育数学学习心理学的现代研究 ，上海教育出版社 2002 年版
