1、高三数学第一轮复习备考资料集合与常用逻辑用语1命题 及其关系、充分条件与必要条件考点与要求 1了解命题的概念2了解“若 ，则 ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的pq相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义知识与方法梳理 一、基础知识A命题1命题可以判断 真假 的陈述句，叫做命题注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等（2）判断一个语句是否是命题，一看 “陈述句 ”，二看“ 可判断真假”仅此两点例如，今天天气不错；两直线平行，内错角相等； ；若 ， ，则 213xabcdacbd以上四个句子中，虽是陈述句，但不能判断其真假 “天气不错” 的标准不明确 是
2、陈述句，且能判断正确，因此是命题对于，当 时，为真；当 时，为假这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题. 显然是命题1x1x2假命题、真命题真命题：可以判断为 真 的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题假命题：可以判断为 假 的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题注:判断一个命题的真假时，如果 说一个命题是真命题，那么必 须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要 举出一个反例，它符合命题的题设 ，但不 满足结论就可以了延伸阅读: 开句、命题 函数、开句的取真集（内容不要求掌握）（1）开句、命题函数形如“ ”、“ ”等单独的方程、不等式语句，都不是
3、命题，因为它们也对也不对，即无真假可言这些语句在数理逻辑23x2x上叫做开句开句又叫做命题函数，意思是当变元（这里的 ）取不同的个体的时 候，就得到不同的命题x开句常记作 、 ，其中 变元 是在一定范围里变化.当 取某个个体 时，开句 就变成了命题 （与开句相对，()PQy,xy a()Px()Pa有的书上把命题叫做句）如： 对于“ ”而言，当 时， 为真；当 时 ，为假3211x（2）开句的取真集对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假例如，对于“ ”而言， “”时为真， “”时为假.使开句32x取真的 的范围叫做的取真集， 记作 对开句来说，取真集为 ()Px |()
4、xP|1x解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集（3）将命题函数 变成命题()Px命题函数 变成命题的方法有两个方法一：将命题函数 中的 用特殊个体 代入，从而得到对特殊个体 进行判断的命 题， 这种命题叫做单称命题 ()xaa ()Pa例如“张三是共 产党员 ”，其中“张三” 是被判断的个体， “是共产党员” 是谓词， “是” 是判断 词再如，命题函数 ，对 赋值 ，可得到命题 和 ，即 ，和 ():32Px1,3(1)P3)(1):32P(3):2P当然 是真命题， 是假命题(1)方法二：利用量词来限制个体的范围高三数学第一轮复习备考资料集合与常用逻辑用语2例如：命题函数 ，前面添加量词
5、“ 所有的”或“有” ，得到命题“所有的实 数 都有 ”或“有实数 使 ” ():32Px x32x32前者是假命题，后者是真命 题3命题的形式若 ，则 pq其中 叫做命题的条件（或题设） ， 叫命题的结论q注：绝大多数命题都能写成上述形式，但有些 则不能，如特称命 题B四种命 题及其关系1四种命 题及其关系（1）四种命题是指原命题、原命题的逆命题、否命题、逆否命题.（2）设原命题为：“若 ，则 ”，则原命题的逆命题、否命题、逆否命题分别定义如下：pq逆命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件，其形式：“若 ，则 ”qp否命题：条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，其形式：“若 ，则 ”q
6、逆否命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，其形式：“若 ，则 ”p延伸阅读：偏逆命题（内容不要求掌握）当命题的条件和结论都是一个简单命题时，只要将它们进行交换就得到了原命题 的逆命题.如上面例子当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题条件和结论中的简单命题任意 进行交换位置，就可以得到多个原命 题的逆命题. 如命 题“ 垂直于弦的直径平分 这条弦，并且平分弦所对的两条弧”，命题条件有两个：“ ：垂直于弦”、 “ ：过圆心”；结论也有两个：“AB：平分这条弦”、 “ ：平分弦所对的两条弧”.其形式即为： ，该命题 的所有偏逆命题有：CDABCD：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所
7、对的两条弧；AB：垂直于弦且平分弦所对弧的直线经过圆心并且平分这条弦；C：平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧；：平分弦所对的弧直径垂直平分这条弦BDA2四种命题的真假关系（1）四种命题间的三种基本关系：互逆、互否、互为逆否关系（2）具有互逆关系的命题：原命题与其逆命题、原命题的否命题与原命题的逆否命题具有互否关系的命题：原命题与其否命题、原命题的逆命题与原命题的逆否命题具有互为逆否关系的命题：原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与原命题的否命题（3）等价命题：同真同假的两命题称为等价命题具有互为逆否关系的两个命题等价注：同真同假的含义：其中任何一个命题的真与假必然导致另一命题的真与假
8、（4）不等价关系：两命题的真假性 没有关系 互逆命题 、 互否命题 不等价C充分条件与必要条件记命题“若 ，则 ”为“ ”，若命题“若 ，则 ”为真，则进一步记作pqppq“ ”，为假时，则记作 pq1基本概念（1）若 ，则称 是 的充分条件， 是 的必要条件pqqp（2）若 ，且 ，则称 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件pq qp（3）若 ，且 ，则称 是 的充要条件，这时， 也是 的充要条件高三数学第一轮复习备考资料集合与常用逻辑用语3（4）若 ，且 ，则称 是 的不充分不必要条件，这时， 也是 的不充分pqpqqp不必要条件注：（1）在判断中，要完整地叙述条件类型 .比如：“
9、 充分不必要条件”不能只说成“充分条件 ”（2）叙述充要条件的等价语句：“当且仅当 ”、“必须且只须” 、“若且仅若” 等其中， “当、必须、若 ”表达的是条件的充分性，而“ 仅当、只须、 仅若”表达的是条件的必要性2对“充分条件”与“必要条件”的理解（1）从定义本身去理解充分条件：要使结论 成立，只要具备条件 就足够了qp事实上，式子 已经表明，条件 成立 时，结论 一定成立，就是说，要使结论 成立，只要具备条件 就足够了pqpqqp必要条件：当条件 成立时，结论 不一定成立，但条件 不成立时，结论 一定不成立.依题意，条件为 、结论为 一方面，虽然命题“ ”为真，但其逆命题“ ”却未必为真
10、，因此，当条件 成立时，结论 不一定成立pqqpqp另一方面，命题“ ”为真，从而其逆否命题“ ”也真，即 ，据此可知，条件 不成立时， 结论 一定不成立pqp（2）利用开关电路图理解“充分条件”与“必要条件”视“开关 的闭合”为条件 ， “灯泡 亮”为结论 ，则ApBq图中，条件 是结论 的 条件 充分不必要条件（ ）pq ,pq图中，条件 是结论 的 条件 必要不充分条件（ ）图中，条件 是结论 的 条件 充要条件（ ）,图中，条件 是结论 的 条件 不充分不必要条件（ ）,pq（3）从集合间的包含关系理解“充分条件”与“必要条件”设条件 对应集合 ，条件 对应集合 ，即 ， pAqB:|
11、()pAx:|()Bx若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的充分不必要条件Bq事实上，若有 ， ，可得 ，即 ， 是 的充分条件xAxBpq若有 ， ，可得 ， 且 ， 是 的充分不必要条件B若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的必要不充分条件pqApq事实上，若有 ， ，可得 ，即 ， 是 的必要条件xABxpqp若有 ， ，可得 ， 且 ， 是 的必要不充分条件若 ，则 与 互为充要条件pq事实上，若有 ， ，可得 ，即 ，若有 ， ，可得 ，即 ， 、 互为充要条件xABxpqxBAxAqpq若 且 ，则 是 的既不充分条件也不必要条件事实上，若有 ， ，可得 ，即 ，同理 ，
12、是 的既不充分也不必要条件pqACBBCAABACB高三数学第一轮复习备考资料集合与常用逻辑用语4二、基本思想方法等价转化的思想示例 已知 ， ，若 是 的充分不必要条件，1:|23xp22:10()qxmpq求实数 的取值范围m解：由 得， 由 得， 1|23x|210Ax2210()x|1,0Bxm ， qpB结合数轴有 解得 12,0.m03m点评与警示：本题利用等价转化思想，把 转化为 ，进一步转化为 是 的子集，然后利用数轴列出不等关系pqpBA题型示例 A命题的判断、命题的真假判断例 判断下列语句哪些是命题？若是命题，是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的真子集； 命题；假命题
13、（2）三角函数是单调函数吗？ 疑问句，不是命题（3）空间里垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 命题；假命题（4） ； 开句，不是命 题x（5）若 ，则 ； 命题；真命题（二次三项式 的判别式 ，在 条件下，R210x21x70xR始终有 ）210（6）若整数 是素数，则 是奇数；命题；假命题（ 时，由条件推不出结论）aaa（7） 命题；假命题2()点评与警示：构成命题的条件有两个，一个是 陈述句，另一个是能判断真假B命题 的形式例 把下列命题改写成“若 ，则 ”的形式，并判断命题的真假pq（1）周长相等的两个三角形面积相等； （2）偶数能被 2 整除； （3）奇函数的图象关于原点对称； （4
14、）同弧所对的圆周角不相等； （5）菱形对角线互相平分； （6）垂直于同一条直线的两条直线互相平行； （7）负数的立方是负数； （8）对顶角相等解：（1）若两个三角形的周长相等， 则这两个三角形面 积相等 假命题（2）若一个数是偶数， 则它能被 2 整除 真命题（3）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点 对称 真命题（4）若两个圆周角是同弧所对的圆周角，则它们不相等 假命题（5）若一个四边形是菱形， 则这个四边形的 对角线互相平分 真命题高三数学第一轮复习备考资料集合与常用逻辑用语5（6）若两条直线垂直于同一条直线，则这 两条直线平行真命 题（7）若一个数是负数， 则这个数的立方是 负数 真命
15、题.（8）若两个角是对顶角， 则这两个角相等 真命题选填C四种命 题的概念例 把下列命题改写成“若 ，则 ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.pq（1）当 时， ； 2x230x（2）对顶角相等；（3）等底等高的两三角形全等；（4）两边及夹角对应相等的两三角形全等解：（1）原命题：若 ，则 逆命题：若 ，则 2x230x230x2x否命题：若 ，则 逆否命题：若 ，则 （2）原命题：若两个角是对顶角， 则它们相等 逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角否命题：若两个角不是对顶角， 则它们不相等 . 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角（3）原命题：若两个三角形的对应高和底分别相
16、等，则这两个三角形全等.逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的 对应高和底分别相等. 否命题：若两个三角形的对应高和底不都相等，则这两个三角形不全等. 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的 对应高和底不都相等（4）原命题：若两个三角形对应两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的 对应两边和夹角分别相等否命题：若两三角形的应边两对及夹角不都相等，则这两个三角形不全等逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的 对应两边及夹角不都相等点评与警示：正确叙述正面术语的否定形式，如“ 都”的否定应为“不都” 而非“都不”D四种命题之间的关系例 写出
17、下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假（1）垂直于平面 内无数条直线的直线 垂直于平面 ； l（2）若 ，则方程 有实根；0q20xq（3）若 ，则 ；2xyy（4）菱形对角线垂直且相等解：（1）原命题：若直线 垂直于平面 内无数条直线，则直线 垂直于平面 假命题.ll逆命题：若直线 垂直于平面 ，则直线 垂直于平面 内无数条直线 真命 题. l l否命题：若直线 不垂直于平面 内无数条直线，则直线 不垂直于平面 真命题l逆否命题：若直线 不垂直于平面 ，则 直线 不垂直于平面 内无数条直线 假命题l l（2）逆命题： 若方程 有实根，则 假命题20xq0q否命题：若 ，则 方程
18、 无 实根 假命题0q逆否命题：若方程 无实根， 则 假命题2 （3）逆命题：若 ，则 真命题xy20xy否命题：若 ，则 中至少有一个不为 0 真命题20,高三数学第一轮复习备考资料集合与常用逻辑用语6逆否命题：若 中至少有一个不为 0，则 真命题,xy20xy（4）逆命题：对角线垂直且相等的四边形是菱形 假命题否命题：不是菱形的四边形的对角线不垂直或不相等 假命题逆否命题：对角线不垂直或不相等的四边形不是菱形 假命题E利用等价命题证明例 证明：若 ，则 .20xy0xy分析：将“若 ，则 ”视作原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命 题“ 若 中至少有一个不为 0，则20y ,xy”为
19、真命题 20xy证明：若 中至少有一个不为 0，不妨 设 ，则 ， ，即 . ,x 0x220xy20xy因此，原命题的逆否命 题为真命题，从而原命题也为真命题F充要条件的判定例 指出下列各组命题中， 是 的什么条件？pq（1） ， 直线 与圆 相切:2pab:q0xy22()()xayb（2） ， :|x:（3）设 均为直线， 为平面，其中 ， ， ， ,lmlm:/pl:/qlm（4）设 ， ， ， ,2,2:q:tant（5） 中，内角 对边的长分别为 ， ， ABC,AB,b:p:siinqAB解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）必要不充分条件；（4）充要条件；（5）
20、充要条件G由充分条件、必要条件求参数取 值范围已知条件 ，条件 ，且 是 的一个充分不必要条件，则31:02np22:qxapq的取值范围是aA B C D,1,21,21(2,)解：不等式 等价于 即 ，解得 ，条件 对应的取值集合 3210n3(2)0,xx28x3xp3,)M由 ，得 22xa()(1)xa当 ，即 时，解集 为 ，这时条件 对应的取值集合 ；1,aq(,1)Na当 ，即 时，解集 为 ，这时 ；a2aN当 ，即 时，解集 为 1(1,)a 是 的充分不必要条件， 是 的充分不必要条件，从而条件 对应的取 值集合 是条件 对应的取值集合 的真子pqqpqNpM高三数学第一
21、轮复习备考资料集合与常用逻辑用语7集当 时， ，由 ，得 解得 ；12a(,1)NaNM3,1a12当 时， ，显然有 ；当 时， ，由 ，得 解得 12a(1,)NaNM31,a12a综上， 的取值范围 是 ,2答案：C H错解剖析写出命题“若 ， ，则 ”的否命题和逆否命题abcdacbd否命题是： 逆否命题是： 错解：否命题：已知 是实数，若 与 ， 与 都不相等，则 ,abcdabcdacbd逆否命题：已知 是实数，若 ，则 与 ， 与 都不相等abcd错因分析：事件“ ， ”的正确否定应为： 与 、 与 不都相等； 或 acd正解：否命题：已知 是实数，若 ， 中至少有一个不成立，则
22、 ,abcdabcdb逆否命题：已知 是实数，若 ，则 ， 中至少有一个不成立abcdM方法规律探究四种条件的判定方法.（1）定义推断法：分别去判断 和 是否成立，然后形成结论pqp（2）原、逆命题推断法：原真逆假 条件为：充分不必要； 原假逆真 条件为：必要不充分；原真逆真 条件条件为：充要； 原假逆假 条件为：不充分不必要.（3）逆否命题判别法：判断命题 的真假，改为判断其逆否命题 的真假pqqp（4）集合推断法：具体内容见前面（5）传递法：即 ，得 123np 1np课堂练习 一、选择题1下列语句不是命题的有 ； 230x与一条直线相交的两直线平行吗？ ； 5 6A B C D解： 开句
23、，不是命题 疑问句，不是命题陈述句，并能判断为假，是命 题，假命题 开句，不是命题答案：C 2若 是两个集合，则下列命题中的真命题是 ,MN高三数学第一轮复习备考资料集合与常用逻辑用语8A如果 ，那么 B如果 ，那么MNMMNNC如果 ，那么 D如果 ，那么M答案：A3有下列四个命题：“若 ，则 互为相反数”的逆命题； 0xy,xy“若 ，则 ”的逆否命题； ab2“若 ，则 ”的否命题；360“若 是无理数，则 是无理数”的逆命题； b,ab其中真命题的个数是 A 0 B1 C2 D3解： 逆命 题为： 互为相反数，则 真命题,xyxy逆否命 题为 ：若 ，则 假命题2ab否命 题为 ：若
24、，则 假命题（ ， ）326026032xx32x逆命 题为 ：若 是无理数，则 是无理数 假命题（ ， 时， 不是无理数）,ba()abba答案：B 二、判断题4把下列命题改写成“若 ，则 ”的形式，并判断命题的真假pq（1）等边三角形的三个内角相等；（2）当 时，函数 的值随 值的增加而增加0ayaxbx解：（1）若一个三角形是等边三角形， 则它的三个内角相等真命题（2）当 时，若 的值增加， 则函数 的值也增加，真命题0axyaxb5把下列命题改写成“若 ，则 ”的形式，并判断命题的真假.pq（1）矩形的对角线相等； （2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）能被
25、 6 整除的数既能被 3 整除也能被 2 整除；（4）实数的平方是非负数解：（1）若一个四边形式矩形， 则其对角线 相等.真命题（2）若一个点在线段的垂直平分线上， 则 它到线段两端点距离相等.真命题（3）若一个能被 6 整除， 则它既能被 3 整除也能被 2 整除.真命题（4）若一个为实数，则这 个数的平方为非 负数真命 题6.给出以下命题，判断 是 的什么条件？pq（1） ， ；（2） 且 ， ；（3） 正方形，:pAB:siniB:2px3y:5qxy:p菱形；（4） ， :q:ab1:q高三数学第一轮复习备考资料集合与常用逻辑用语9解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）
26、充分不必要条件；（4）不充分不必要条件二、解答题7把下列命题改写成“若 ，则 ”的形式，并写出它们的否命题与和逆否命题pq（1） ；acb（2）当 时， 无实根14m210x解：（1）若 ，则 否命题 ：若 ，则 逆否命题 ：若 ，则 acbacbaabc（2）若 ，则方程 无实根 否命题：若 ，则方程 有实根4210x14m210x逆否命题：若方程 有实根，则 2m14m8有下列四个命题：“若 ，则 互为相反数”的逆命题； 0xy,xy“若 ，则 ”的逆否命题； ab2“若 ，则 ”的否命题；360“若 是无理数，则 是无理数”的逆命题； b,ab其中真命题的个数是 A 0 B1 C2 D3
27、解： 逆命 题为： 互为相反数，则 真命题,xyxy逆否命 题为 ：若 ，则 假命题2ab否命 题为 ：若 ，则 假命题（ ， ）326026032xx32x逆命 题为 ：若 是无理数，则 是无理数 假命题（ ， 时， 不是无理数）,ba()abba答案：B 9写出下列命题“若 且 ，则 ”的逆命题、否命题与逆否命题，并判mnmn断它们的真假解：逆命题：若 ，则 且 假命题0mn0否命题：若 或 ，则 假命题n逆否命题：若 ，则 或 真命题10求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等分析：将“若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等”视为原命题.要证原命题为真
28、命题，去证它的逆否命题“ 若一个三角形两条边所对的角相等， 则这两条 边相等” 为真命题证明：若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等因此，原命题的逆否命 题为真命题，从而原命题也为真命题11证明：若 ，则 2430ab1ab分析：将“若 ，则 ”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“ 若 ，则24301ab 1ab”为真命题2430ab证明：若 ，则 ， ，1ab1ab2 243()(1)4321430bbb即 2因此，原命题的逆否命 题为真命题，从而原命题也为真命题.高三数学第一轮复习备考资料集合与常用逻辑用语1012已知奇函数 是定义在 上的增函数， ，若 ，求证：()fxR,abR()0fab0ab分析：将“若 ，则 ”视为原命题要证原命题为真命题，去 证 它的逆否命题“若 ，则 ”为()0fab0ab 0ab()0fab真命题证明：“若 ， . 为 上的增函数， ，又知 为奇函数， ，即 ()fxR()fab()fx()ff()f因此，原命题的逆否命 题为真命题，从而原命题也为真命题
