1、第7章 三维变换及三维观察,提出问题,如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换 如何进行投影变换 如何方便地实现在显示设备上对三维图形进行观察,7.1 三维变换的基本概念,7.1.1 三维齐次坐标变换矩阵,7.1.2 几何变换,图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。 点的矩阵变换 线框图的变换 用参数方程描述的图形的变换,7.1.3 平面几何投影,投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形。 平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图。 观察投影是指在观察空间下进行的图形投
2、影变换。,平面几何投影可分为两大类： 透视投影：投影中心到投影面之间的距离是有限的。 平行投影：投影中心到投影面之间的距离是无限的。,7.1.4 观察投影,7.2 三维几何变换,其中T3D表示为4个子矩阵。,T1,T2,T3,T4,比例、旋转、错切、对称等,平移,透视投影,整体比例,7.2.1 三维基本几何变换,三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换 假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后为p(x,y,z)。,1. 平移变换,2. 比例变换 (1)局部比例变换,例子：对如图7-6所示的长方形体进行比例变换，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体各
3、点坐标。,图7-6 比例变换,A B C D E F G H,(2)整体比例变换,4.对称变换 (1)关于坐标平面对称关于xoy平面进行对称变换的矩阵计算形式为：,关于yoz平面的对称变换为：,关于zox平面的对称变换为:,(2)关于坐标轴对称变换 关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式为：,关于y轴的对称变换为：,关于z轴的对称变换为：,5.错切变换,(1)沿x方向错切,(2)沿y方向错切,(3)沿z方向错切,6. 逆变换 所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换 (1)平移的逆变换,(2)比例的逆变换 局部比例变换的逆变换矩阵为：,整体比例变换的逆变换矩阵为：,(3)旋转的逆变换,相对于x轴和
4、y轴的逆变换 和 ？,7.2.2 三维复合变换,1. 相对任一参考点的三维变换,相对于参考点F(xf, yf, zf)作比例、旋转、错切等变换的过程分为以下三步： (1)将参考点F移至坐标原点； (2)针对原点进行二维几何变换； (3)进行反平移。,例：相对于F(xf, yf, zf)点进行比例变换,分析：,公式推导(p187)： (1)将坐标原点平移到A点 (2)将OBB绕x轴逆时针旋转角，则OB旋转到xoz平面上 (3)将OB绕y轴顺时针旋转角，则OB旋转到z轴上。 (4)经以上三步变换后，AB轴与z轴重合，此时绕AB轴的旋转转换为绕z轴的旋转。 (5)最后，求TtA，TRx，TRy的逆变
5、换，回到AB原来的位置。,类似地，针对任意方向轴的图形变换可用五个步骤来完成： (1)使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平移变换。 (2)使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换，且旋转变换可能不止一次。 (3)针对该坐标轴完成变换。 (4)用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。 (5)用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。,三视图： 三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种，投影面分别与X轴、Y轴和Z轴垂直。,正轴测图正轴测有等轴测、正二测和正三测三种: 等轴测: 投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等，也称为正等测； 正二测: 投影面与两个坐标轴之间的夹角相等； 正三测: 投影面与三个坐标
6、轴之间的夹角都不相等。,1. 三视图 计算步骤： (1) 确定三维形体上各点的位置坐标； (2) 引入齐次坐标，求出所作变换相应的变换矩阵； (3) 将所作变换用矩阵表示，通过运算求得三维形体上各点(x,y,z)经变换后的相应二维点(x,y)或(y,z)； (4) 由变换后的所有二维点绘出三维形体投影后的三视图。,2. 主视图 将三维形体向xoz面（又称V面，立面）作垂直投影（即正平行投影），得到主视图。,由三维形体到主视图的投影变换矩阵：,其中：,由三维形体到俯视图的投影变换矩阵：,其中：,由三维形体到侧视图的投影变换矩阵：,其中：,注意： （1）以上由三维形体到三视图的投影变换中，y均为0
7、：这表示三个视图均落在x0z面上。,（2）变换顺序为：先对三维形体做投影，然后旋转投影面，以便得到同一个平面（x0z）上的三视图。当然，也可以先旋转三维形体，再向投影平面做投影，结果一样。,5. 正轴测图的投影变换矩阵,正轴测投影是对任意平面作的投影。,公式推导： (1) 先绕y轴顺时针旋转角； (2) 再绕x轴逆时针旋转角； (3) 将三维形体向xoy平面作正投影。 最后得到正轴测图的投影变换矩阵：,6. 正等测图,正等测图是x，y，z三个方向长度缩放率相同时的正轴测图。,公式推导（p194）：将和的值代入(7-43)式得到正等测图的投影变换矩阵：,7. 正二测图,正二测图的条件是投影与x，
8、y，z三个主轴中的任意两个坐标轴之间的夹角相等。,将值代入(7-43)式得到正二测图的投影变换矩阵：,正轴测图特点： 1.正轴测图的投影面不与任何坐标轴垂直，可同时表现物体的多个面，立体效果较好； 2.平行线仍保持平行，沿三个主轴方向都可测量距离； 3.等轴测图在三个主轴方向距离因子相等，正二测图在两个主轴方向距离因子相等，正三测图在三个主轴方向距离因子均不相等。,7.3.2 斜投影,斜投影图，即斜轴测图，是将三维形体向一个单一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面图形。 常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。,斜轴测图的形成,通常=30取30或45。,斜平行投影的投影变换矩阵
9、为：,对于斜等测图有：=45,ctg=1 斜二测图则有：=arctg(2),ctg=1/2,对于斜等测图有：=45,ctg=1 斜二测图则有：=arctg(2),ctg=1/2,7.4 透视投影,分析：,灭点： 不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。,7.4.1 一点透视,分析： 要考虑下列几点：
10、 (1)三维形体与画面（投影面）的相对位置； (2)视距，即视点（投影中心）与画面的距离； (3)视点的高度。,假定视点（投影中心）在原点，画面（投影面）与z轴垂直（z=d）。 一点透视的步骤： (1)将三维形体平移到适当位置l、m、n； (2)令视点在z轴，利用公式(7-2)进行透视变换； (3)最后，为了绘制的方便，向xoy平面作正投影变换，将结果变换到xoy平面上。,例：试绘制如图7-21(a)所示的单位立方体的一点透视图。,7.4.2 二点透视,可以这样来构造二点透视的一般步骤： (1)先将三维形体平移到适当位置，使视点有一定高度，且使形体的主要表面不会积聚成线； (2)将形体绕y轴旋
11、转一个角(90)，方向满足右手定则； (3)进行透视变换 (4)最后向xoy面作正投影，即得二点透视图。,例：试绘制上例（图7-21(a)）中的单位立方体的二点透视图。,7.4.3 三点透视,同样可以简单的构造三点透视图： (1)首先将三维形体平移到适当位置； (2)将形体进行透视变换 (3)然后使形体先绕y轴旋转角； (4)再绕x轴旋转角； (5)将变形且旋转后的形体向xoy面作正投影。,7.5 观察坐标系及观察空间,7.5.1 观察坐标系,观察参考坐标系（View Reference Coordinate） 观察参考点（View Reference Point）,观察平面（View Pla
12、ne），即投影平面。,观察坐标系（uvn坐标系）的建立 法矢量N、法矢量V、法矢量U,7.5.2 观察空间,观察窗口：,观察空间：无限观察空间、有限观察空间,需注意，对于透视投影，前截面必须在投影中心和后截面之间。,观察平面和前后截面的有关位置取决于要生成的窗口类型及特殊图形包的限制,规范化观察空间 平行投影的规范化观察空间定义为：,透视投影的规范化观察空间为：,7.6 三维观察流程,7.6.1 用户坐标系到观察坐标系的变换,具体变换步骤： (1) 平移观察参考点到用户坐标系原点 (2) 进行旋转变换分别让xv、yv和zv轴对应到用户坐标系中的x、y和z轴。,7.6.2 平行投影的规范化投影变
13、换,分析：,平行投影的规范化投影变换可由以下三步组成。 (1)将投影中心平移到观察坐标系原点。,(2)对坐标系进行错切变换，使投影中心和窗口中心的连线错切到zv轴,(3)进行坐标的归一化变换,7.6.3 透视投影的规范化投影变换,分析：透视投影的规范化投影变换分两步进行 (1),(2),变换步骤： (1)将投影中心平移到观察坐标系原点 (2)对坐标系进行错切变换,(3) 进行比例变换。 (4) 将图7-34(b)所示的透视投影的规范化观察空间变换为图7-34(a)的平行投影的规范化观察空间。,7.7 三维裁剪,三维裁剪 三维裁剪保留所有在观察空间内的图形以便在输出设备中显示，所有在观察空间外的图形被丢弃。 三维直线段的裁剪 多边形面的裁剪,四维齐次坐标表示的图形裁剪： 一是将齐次坐标转换为三维坐标，在三维空间中关于规范化观察空间剪裁； 一是直接在齐次坐标空间中进行裁剪。,7.7.1 关于规范化观察空间的裁剪 7.7.2 齐次坐标空间的裁剪,习题七 (p213),7.1 名词解释：平面几何投影，观察投影，平行投影，透视投影，正投影，斜投影 7.2 试说明什么是投影变换，给出其分类。 7.3 说明三维变换矩阵T3D中各元素在变换中的具体作用。,
