1、第二篇 几 何,第6章 曲线与曲面,6.1 基础知识,自由曲线和曲面发展过程 自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的形状，则沿样条绘制曲线。 1963年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面 1964-1967年，美国MIT，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面 1971年，法国雷诺汽车，Bezier提出用控制多边形来定义曲线和曲面 1974年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德, B样条理
2、论用于形状描述 1975年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理B样条 80年代，皮格尔和蒂勒, 将有理B样条发展成非均匀有理B样条，NURBS方法,6.1 基础知识,从表示形式来看，曲线可分成两大类：,规则曲线,自由曲线,可以用标准方程描述的曲线。如圆、椭圆、抛物线、双曲线、渐开线、摆线等,无法用标准方程描述的曲线，通常由一系列实测数据点确定。如汽车的外形曲线、等高线等。,曲线,6.1 基础知识,从生成算法来看，曲线可分成两大类： 拟合型设计型,对已经存在的离散点列构造出尽可能光滑的曲线，用以直观（而忠实）地反映出实验特性、变化规律和趋势等。,设计人员对其所设计的曲线并无定量的概念，而是在设
3、计过程中即兴发挥。,6.1.1 曲线的表示,曲线的表示方法 参数表示 非参数表示 显示表示 隐式表示,6.1.1 曲线的表示,显示表示 隐式表示,6.1.1 曲线的表示,参数表示 参数的含义,t：表示时间，距离，角度，比例等等 规范参数区间0，1,6.1.1 曲线的表示-以直线为例,已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程表示为：,直线的隐式方程表示为：,6.1.1 曲线的表示,直线的参数方程表示为：,，t0,1,6.1.1 曲线的表示,1）用参数表示的曲线形状本质与坐标系的选取无关，具有几何不变性。 2）有更大自由度来控制曲线、曲面的形状。 3）容易实
4、现各种线性变换运算。 4）曲线的端点、导数等计算简单，避免了无穷大斜率的问题。 5）便于曲线的分段描述； 6）易于处理多值问题 7）参数的变化约定为0,1，自然规定了曲线是有界的。,参数表示法的优越性：,曲线构造方法,插值法 逼近法,6.1.2 插值,通过测量或计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的数据点。,型值点,控制点,用来控制或调整曲线形状的特殊点（不一定在曲线上）,插值点,在型值点或控制点之间插入的一系列点。,6.1.2 插值,插值给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, , n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。,6.1.2 插值 线
5、性插值,线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用线形函数 y=(x)=ax+b近似代替，称(x)为f(x)的线性插值函数。,6.1.2 插值 抛物线插值,抛物线插值(二次插值)已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造函数 y = (x)=ax2+bx+c,使得 (x)在xi处与f(x)在xi处的值相等。,6.1.3 逼近,逼近 构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称对这些数据点进行逼近，所构造的曲线称为逼近曲线。 用这种方法建立的曲线数学模型只是近似地接近已知的控制点，并不一定完全通过所有的控制点。,控制点,控制多边形或 特征
6、多边形,6.1.4 拟合,拟合：,在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求。,6.1.5 曲线的连续性,构造复杂曲线时，可以首先构造一些简单的自由曲线,然后将这些简单曲线段连接成复杂曲线。 拼接条件：首先必须有连接点，其次必须在连接点处平滑过渡，即需要满足连续性条件。 连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性。,6.1.5 曲线的连续性 参数连续性,零阶参数连续性（记作C0）： 指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。,6.1.5 曲线的连续性参数连续性,一阶参数连续性（记作C1） 相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。,6.1.5 曲线的连续性参数连续性
7、,二阶参数连续性（记作C2） 指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶和二阶导数。,6.1.5 曲线的连续性几何连续性,几何连续性只要求导数成比例，而不是相等。 零阶几何连续性（记作 G 0）： 与零阶参数连续性相同，即相邻两个曲线段在交点处有相同的坐标。,6.1.5 曲线的连续性几何连续性,一阶几何连续性（记作 G 1） 指相邻两个曲线段在交点处的一阶导数成比例，但大小不一定相等。,6.1.5 曲线的连续性 几何连续性,二阶几何连续性（记作 G 2） 指相邻两个曲线段在交点处的一阶和二阶导数成比例，即曲率一致。,样条曲线,在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。 绘图员弯曲样条（如弹性细
8、木条）通过各实测点，其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条曲线（Spline Curve)。 在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段（可为规则/自由曲线段）连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件。,样条曲线,n次样条参数多项式曲线：,矩阵形式：,样条的插值,通常：进行分段插值 n+1个控制点进行分段，建立简单的数学模型； 在线段交点处，设置边界条件进行光滑连接。,构造通过5个型值点的抛物线参数样条曲线,P1,P2,P3,P4,P5,这样构造出来的抛物线参数样条曲线完全通过给定的5型值点，除了P1到P2的区间, P4到P5的区间其他两个型值点之间都是重合区间,6.1.
9、6 三次Hermite样条曲线,从a3x到a0z有12个系数为代数系数，它们确定了这条参数曲线的形状和位置。系数不同则曲线不同。,把上述的代数方程改写为矢量形式P(t)表示曲线上任一点的位置矢量；系数a0表示(a0x,a0y,a0z),一般的三次参数样条曲线的代数形式,6.1.6 三次Hermite样条曲线,给出端点坐标、端点坐标的切矢量，即： P(0),P(1), P(0),P(1),根据条件，得出方程：,6.1.6 三次Hermite样条曲线,矩阵形式：,则：,6.1.6 三次Hermite样条曲线,令,三次参数样条曲线方程可以写成：,根据：,Hermite矩阵,三次Hermite样条曲线
10、的方程,6.1.6 三次Hermite样条曲线,上式展开,因为它们调和了边界约束值，使在整个参数范围内产生曲线的坐标值。调和函数仅与参数t有关，而与初始条件无关。,其中:,称为Hermite样条调和函数,6.1.6 三次Hermite样条曲线,Hermite 样条曲线通过给定的N个型值点构造，每两个型值点之间生成一条Hermite曲线段， Hermite 样条曲线由N-1条首尾相连的Hermite曲线构成，并且相邻的Hermite曲线段在连接点处二阶导数相等（C2连续性） Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点Pi 、 Pi+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。,6.1.6
11、三次Hermite样条曲线,例1：给定9个型值点，其中起始点和终止点是同一个点，从而其特征多边形是一个首尾相接的封闭多边形，具体坐标位置如下： （100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300） 假定各点处的一阶导数数值如下： （70,-70）, （70,-70）, （70,-70）,（70,-70）, （70,70）, （70,70）, （-70,70）,（-70,70）, （70,-70） 用Hermite插值方法绘制曲线。 解：p0=(100,300)p1=(1
12、20,200)p0=(70,-70)p1=(70,-70) For(t=0;t=1;t=t+0.1)或 For(t=0;t=1;t=t+0.01)或,6.1.6 三次Hermite样条曲线,解：两段三次Hermite曲线分别为：Q1(t1)=a3t1 + a2t1+ a1t1+ a0 t10 1Q2(t2)=b3 t2 + b2t2+ b1t2+ b0 t20 1依据C1连续充要条件为：Q1(1)和Q2(0)在P点处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小相等,例2：试求两段三次Hermite曲线达C1连续的条件。,6.1.6 三次Hermite样条,即 Q1(1)= Q2(0)、Q1(1)=
13、 Q2(0)、Q1”(1)= Q2”(0) 有 Q1(1)= a3 + a2 + a1 + a0 Q2(0)= b0 因 Q1(t1)=3a3t1 + 2a2 t1+ a1 Q2(t2)=3b3 t2+ 2b2 t2+ b1 则 Q1(1)=3a3 + 2a2+ a1 Q2(0)= b1 因 Q1”(t1)=6a3t1 + 2a2 Q2”(t2)=6b3t2 + 2b2 则 Q1”(1)=6a3+ 2a2 Q2”(0)= 2b2,6.1.6 三次Hermite样条,= 两段三次Hermite曲线：Q1(t1)=a3t1 + a2t1+ a1t1+ a0 t10 1Q2(t2)=b3 t2 +
14、b2t2+ b1t2+ b0 t20 1要达到C1连续，其系数必须满足下列关系式：a3 + a2 + a1 + a0 = b03a3 + 2a2 + a1 = b16a3 + 2a2 =2 b2,6.2 Bezier曲线,1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier提出了一种函数逼近和几何表示相结合的参数曲线表示方法，用这种方法生成的曲线称为Bezier曲线。这种方法的特点是所输入型值点与生成曲线之间的关系明确，能比较方便地通过修改输入参数来改变曲线的形状和阶次。,6.2.1 Bzier曲线的定义,由一组多边折线的顶点定义,在多边折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上, 第一条和最
15、后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处切线方向。曲线的形状趋向于多边折线的形状，因此，多边折线又称为特征多边形，其顶点称为控制点。,Bzier曲线的数学表示,u0,1,Pk为各顶点的位置向量(xk,yk,zk)， 称为伯恩斯坦（Bernstain）基函数，也称为特征多边形各顶点位置向量之间的调和函数，其定义如下,Bezier曲线次数严格依赖于确定该段曲线的控制点个数，通常由（n1）个顶点定义一个n次多项式，曲线上各点参数方程式为：,n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线,Bzier曲线的数学表示,(k0,1,.,n),其中：参数u的取值范围为0,1，n是多项式次数, 也是曲线次数。规定
16、 0！=1，00=1。,注意：Bezier曲线是一个阶数比控制点少1的多项式。,一次Bzier曲线,n=1时，有两个控制点P0和P1,一次Bezier曲线是连接起点P0和终点P1的直线段。,二次Bzier曲线,n=2，有三个控制点P0、P1和P2：,二次Bezier曲线是一条以P0为起点，P1为终点的抛物线。,三次Bzier曲线,n=3，有四个控制点P0、P1、P2和P3：,三次Bezier曲线是自由曲线。,6.2.2 Bzier曲线的性质,曲线的起点和终点与特征多边形的起点和终点重合,对伯恩斯坦基函数来说，有：,当u0时，只有k0的项不为0，其它项都为uk0k0,当u 1时，只有k=n的项不
17、为0，其它项都为(1-u)n-k0n-k0,6.2.2 Bzier曲线的性质,端点切线,Bezier曲线在起点处的切线位于前两个控制点的连线上，而终点处的切线位于最后两个控制点的连线上，即曲线起点和终点处的切线方向与起始折线段和终止折线段的走向一致。,6.2.2 Bzier曲线的性质,6.2.2 Bzier曲线的性质,在起始点u0, B1,n-1(0)1，其余项均为0，故有:P(0)n(P1P0) 在终止点u1, Bn-1,n-1(1)1，其余项均为0，故有:P(1)= n(PnPn-1),Bezier曲线在端点处的一阶导数只同相近的两个控制点有关，其方向相同于两点的连线方向。,6.2.2 B
18、zier曲线的性质,二阶导数 对参数t求二阶导数可得：在起始点t0处的二阶导数为：P”(0)n(n1)(P22P1P0)=n(n-1)(P2P1)-(P1-P0) 在终止点t1处的二阶导数为：P”(1)n(n1)(Pn2Pn-1Pn-2)=n(n-1)( Pn-2Pn-1)-(Pn-1Pn)结论：Bezier曲线在端点处的二阶导数只同相近的三个控制点有关。,那么，Bezier曲线在端点处的r阶导数是由端点和它们r个邻近的控制多边形顶点来决定。,6.2.2 Bzier曲线的性质,由Bezier曲线的数学定义知，曲线的形状由特征多边形的顶点Pk(k0,1,.,n)唯一确定，与坐标系的选取无关,这就
19、是几何不变性。,几何不变性,保持控制多边形的顶点位置不变，仅仅把它们的顺序颠倒一下，将下标为k的控制点Pk改为下标为n-k的控制点Pn-k时，曲线保持不变，只是走向相反而已。,对称性,6.2.2 Bzier曲线的性质,落在特征多边形顶点所形成的凸包内。即当特征多边形为凸时，Bezier曲线也是凸的；当特征多边形有凹有凸时，其曲线的凸凹形状与之对应。Bezier曲线的凸包性质保证了多项式曲线随控制点平稳前进而不会振荡。,凸包性,6.2.2 Bzier曲线的性质,变差缩减性,对于平面Bezier曲线，平面内任意一条直线与其交点的个数不多于该直线与其控制多边形的交点个数。,Bezier曲线比特征多边
20、形的折线更光滑。,6.2.3 Bzier曲线的拼接,几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。一般采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。,设有两段三次Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ., n)和Qj(j=0,1,., m)，如下图所示。,6.2.3 Bzier曲线的拼接,6.2.3 Bzier曲线的拼接,（1）要使它们达到G0连续的充要条件是：Pn= Q0；
21、 （2）要使它们达到G1连续的充要条件：P2P3(Q0)Q1三点共线,第一段曲线终点处的导数为：P(1)3(P3P2) 第二段曲线起点处的导数为：Q(0)3(Q0Q1),一阶导数要连续，则应有P(1)Q(0)，即: P3P2 （Q1Q0） 也即要求P2P3(Q0)Q1三点共线。,6.2.3 Bzier曲线的拼接,（3）要使它们达到G2连续的充要条件是：在G1连续的条件下，满足Pn-2、Pn-1、Pn(Q0)、Q1、Q2 五点共面，且Pn-2和Q2或者同在直线Pn-1Q1上或位于Pn-1Q1同侧。,第一段曲线终点处的二阶导数为：P”(1)6(P32P2P1) 第二段曲线起点处的二阶导数为：Q”(
22、0)6(Q22Q1Q0) 要达到二阶导数连续，则应有P”(1)Q”(0)，即:P32P2P1 (Q22Q1Q0),6.2.4 Bzier曲线的离散生成,根据贝塞尔曲线的参数表达式，让参数t在区间(0,1)内取多个值，例如100，计算出这100个值对应的坐标点，依次连接这些点就得到一条Bezier曲线。,以三次贝塞尔曲线为例：,注意：再添加一个z 坐标，就可得到空间Bezier曲线。,For(t=0;t=1;t=t+0.01),依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分割点就是第一级递推生成的中间顶点，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，重复操作，直到得出一个中间顶点，
23、即为所求曲线上的点。,6.2.4 Bzier曲线生成-de casteljau算法,依次对原始控制多边形每一边执行同样的中点分割，所得分点就是由第一级递推生成的中间顶点 , 对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的中点分割，得第二级中间顶点 。重复进行下去，直到n级递推得到一个中间顶点 ，即为所求曲线上的点 。同时控制点列被 分成左分段和右分段两段折线，继续对这两段折线作类似递归分割，直至满足要求为止。,6.2.4 Bzier曲线生成算法-二分递归法,三次Bzier曲线：控制点是p0，p1，p2和p3。 以中点分割，令： p10=(p0+p1)/2，p11=(p1+p2)/2， p12=(p
24、2+p3)/2； p20=(p10+p11)/2，p21=(p11+p12)/2； p30=(p20+p21)/2。,6.2.4 Bzier曲线生成算法-二分递归法,可以证明点P30位于曲线上p30=(p20+p21)/2=(p0+3p1+3p2+p3)/8=p(1/2),6.2.4 Bzier曲线生成算法-二分递归法,例题,1、给定四个顶点P0（10，110），P1（110，110），P2（110，10），P3（10，10），用其作为特征多边形来绘制一条3次Bezier曲线的形状示意图。 要求：简要说明作图过程，保留作图辅助线，作出（或文字说明）曲线上各特征点的切线矢量。,Bzier曲线小结
25、,Bezier曲线是一种逼近参数曲线，通过几个已知点构成的特征多边形来定义，曲线的起点和终点与该多边形起点和终点重合，并且多边形的第一条边和最后一条边表示曲线起点和终点的切矢量方向。 Bezier曲线次数严格依赖于确定该段曲线的控制点个数，通常由（n1）个顶点定义一个n次多项式，即n次Bezier曲线。 3个已知控制点就可以构造2次Bezier曲线，4个已知控制点就可以构造3次Bezier曲线。,Bzier曲线小结,端点的性质 端点切线 二阶导数 对称性 几何不变性 凸包性 变差缩减性,所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 确定了多边形的顶点数(m个)，也就决定了所定义的Bezier曲线的阶
26、次(m1次)，这样很不灵活 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高，此时，多边形对曲线形状的控制将明显减弱。 局部控制能力弱 曲线拼接需要附加条件,Bzier曲线的不足,6.3 B样条曲线,1972年，Gordon, Rie-feld等人拓展了Bezier曲线，用B样条基函数代替Bernstein基函数，形成了B样条曲线。 除保持了Bezier曲线的直观性和凸包性等优点之外，具有以下优点：, 逼近特征多边形的精度更高.多边形的边数与基函数的次数无关具有局部修改性,我们先来实际体会一下B样条曲线和Bezier曲线的差别，看下面例子：,B样条也是逼近曲线，不一定过控制点，甚至不过起控制点和终控制点
27、,6.3 B样条曲线,6.3 B样条曲线,Bezier曲线如果5个控制点 那么只能是4次曲线 调整任何一个控制点， 会影响整个4次曲线,B样条曲线如果5个控制点 可以使用3次曲线，也可以使用4次曲线来构造整个曲线 使用4次曲线那么就是1段曲线 使用3次曲线那么就构造2段曲线，并且这2段曲线可以自然拼接起来，调节P4点位置只会影响第二段曲线,6.3 B样条曲线的定义,B样条曲线是由若干B样条曲线段光滑连接而成。设给定n+1个控制点，用Pk表示（k=0,1,.,n）,n次B样条曲线段的参数表达式为：,u0, 1,依次用线段连接Pk中相邻两个控制点所得折线多边形称为B样条特征多边形。式中：,u0,
28、1, k0,1,.,n。,Fk,n(u)称为B样条基函数，由k从0到n共（n+1）个函数组成。,6.3 B样条曲线的定义,B样条曲线是分段生成连接起来的， B样条曲线段之间是自然连接的。给定控制点Pk(k0,1,.,n,.,n+m+1)(即至少n+1个控制点），则 n 次B样条整体曲线表达式为：,u0, 1,i=0,1,.,m,即，对于（n+m+1）个控制点，使用n次B样条函数，生成曲线时需要（m+1）次计算。各段B样条曲线能够自动光滑连接形成一整条B样条曲线，曲线的整体称为n次B样条曲线。当m=0时，需要1次计算。,6.3.3 B样条曲线的性质,1. 局部性根据定义式可知，第 i 段n次B样
29、条曲线只与 n+1 个顶点Pk(k=i，i+1，i+n)有关，因此，当改动其中一个控制顶点时，最多只会对相邻的n+1段产生影响，不会对整条曲线(当 m n)产生影响。这就为设计曲线时修改某一局部的形状带来了很大的方便。,如左图所示，六个控制顶点控制的三次B样条曲线由三段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由四个顶点控制。,B样条曲线的性质,2.几何不变性由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。3. 连续性当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，m+n)互不相重，则所控制的整条n次B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G
30、n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条n次B样条曲线具有n-h-1阶几何连续(G n-h-1)。,B样条曲线的性质,4. 对称性根据B样条曲线的基函数的对称性可推导,B样条曲线的性质,5. 保凸性即当所有的控制顶点形成一个平面凸的闭多边形时， Pk,n(t) 是一条平面凸曲线。,B样条曲线的性质,6. 凸包性 对任何t0，1，Pk,n(t) 必定在控制顶点构成的凸包之中。,如左图所示，六个控制顶点控制的三次B样条曲线由三段B样条曲线段组成。其中，每一条曲线段由四个顶点控制且包含在四个顶点构成的凸包之中。,二次B样条曲线(n=2，k=0，1，2),二
31、次B样条曲线(n=2，k=0，1，2),二次B样条曲线的起点p(0)位于P0P1边的中点处,终点p(1)位于P1P2边的中点处,起点切矢量沿P0P1边的走向,终点切矢量沿P1P2边的走向,P(1/2)正是P(0)、P1、P(1)这三点所构成的三角形的中线P1Pm的中点，而且p(1/2)处的切线平行于两个端点的连线p(0) p(1)。,二次B样条曲线,二次B样条曲线,结论：分段二次B样条曲线是一条抛物线；有n个顶点定义的二次B样条曲线，实质上是n-2段抛物线（相邻三点定义）的连接，并在接点处达到一阶连续。,二次B样条曲线,下图为二次B样条曲线的控制多边形，共有4个控制点P0P1P2P3 ，绘制出
32、二次B样条曲线的示意图。,要求：简要说明作图过程，保留作图辅助线，做出（或文字 说明）曲线上各特征点的切线矢量。,二次B样条曲线,A为P0P1的中点，A点的切矢为P0P1的走向且等于(P1-P0)；B为AP1C中线P1M的中点，B点的切矢平行于AC，且等于1/2(P2-P0)；C为P1P2的中点，C点的切矢为P1P2的走向且等于(P2-P1)；D为CP2E中线P2M1的中点，其切矢平行于CE，且等于1/2(P3-P1)；E为P2P3的中点，其切矢为P2P3的走向且等于(P3-P2)。,三次B样条曲线,工程上最常使用的是三次B样条曲线。对三次B样条曲线函数式为：,u0, 1,B样条函数的表达式为
33、：,展开有： F0,3(u)(-u33u23u1 )/6； F1,3(u)(3u36u24)/6； F2,3(u)(-3u33u23u1 )/6； F3,3(u)u3 /6。,三次B样条曲线,三次B样条曲线段为：,三次B样条曲线,性质1：端点位置,性质2：端点切矢及二阶导数,如果给定n+1个控制点Pk(k0,1,.,n；n3)，使用三次B样条函数生成整体B样条曲线需要计算（n-2）次。第一次计算使用03四个控制点生成第一段B样条曲线;然后向前移动一个控制点，使用14四个控制点计算生成第二段B样条曲线;两段B样条曲线会自然形成平滑连接，这也是B样条曲线的主要优点之一。,三次B样条曲线的性质,1.
34、端点性质 B样条曲线不经过控制点。 起始控制点和终止控制点都不在曲线上。 三次B样条曲线，起点只与前三个控制点有关，终点只与后三个控制点有关。 实际上，B样条曲线都具有这种控制点的邻近影响性，这正是B样条曲线局部可调整性好的原因。,三次B样条曲线的性质,2. 连续性 B样条曲线段之间是自行光滑连续的，且具有2阶导数的连续性。 3.局部性和扩展性 在三次B样条曲线中，每个B样条曲线段受四个控制点影响； 改变一个控制点的位置，最多影响四个曲线段。因而，通过改变控制点的位置就可对B样条曲线进行局部修改。同时，B样条曲线在端点处的一阶和二阶导数也具有只受邻近控制点影响的性质。,三次B样条曲线的性质,如果增加一个控制点，就相应地增加了一段样条曲线。此时，原有的样条曲线不受影响，而且新增的曲线段与原曲线的连接处具有一阶、二阶导数连续的特性。 这一点是所有B样条曲线都具备，由本身的性质所保证的，不需要附加任何条件，因而要对原有的B样条曲线加以扩展是很方便的。,B样条曲线的优缺点,优点： 与控制多边形的外形更接近 局部修改能力 任意形状，包括尖点、直线的曲线 易于拼接 阶次低，与型值点数目无关，计算简便 缺点： 不能精确表示圆,
