1、第4章 无限长单位脉冲响应 （IIR）滤波器设计,概述:许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。数字滤波器线性时不变系统。,数字滤波器的数学描述： 1)差分方程,2)系统函数,4.1 滤波器基本原理,当单位脉冲响应h(n)是一个有限长序列，这种系统称为“有限长单位脉冲响应系统”，简写为FIR系统。相应地，当单位脉冲响应长度无限时，则称为“无限长单位脉冲响应系
2、统”， 简写为IIR系统。 系统函数的一般成可改写为（b0=1）我们知道有限度序列的z变换在整个有限z平面（|z|0）上收敛，因此对于FIR系统，H（z）在有限z平面上不能有极点。如分子、分母无公共可约因子，则H（z）分母中全部系数bi（i=1，2，N）必须为零，故只要bi中有一个系数不为零，在有限z平面上就会有极点，这就属于IIR系统。 bi不为零就说明需要将延时的输出序列y(n-i)反馈回来，所以，IIR系统的结构中都带有反馈回路。这种带有反馈回路的结构称为“递归型”结构，IIR系统只能采用“递归型”结构，而FIR系统一般采用非“递归型”结构。但是，采用极、零点抵消的方法，FIR系统也可采
3、用“递归型”结构。IIR、FIR构成数字滤波器的两大类。,数字滤波器分类:递归系统 IIR非递归系统 FIR高通低通带通带阻,模拟滤波器分类,四种基本滤波器为低通（LP）、高通（HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BRF）：,图 各种理想模拟滤波器的幅频特性,图 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性,数字滤波器从功能上分为低通、高通、带通、带阻滤波器。,数字滤波器分类,低通高通带通带阻,确定系数 、 或零极点 、 ，以使滤波器满足给定的性能要求3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积（FFT）型等;选择合适的字长和有效数
4、字的处理方法等,数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个性能要求，即求 h(n) 的表达式。,滤波器设计方法：1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为设计数字滤波器的工具。,2）最优化设计方法 分两步：a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 （与所要求的理想频率响应 的均方误差最小，,此外还有其他多种误差最小准则，b) 在此
5、最佳准则下，求滤波的系数 和通过不断地迭代运算，改变 、 ，直到满足要求为止。,以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是“模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐增多。,4.3 根据模拟滤波器设计IIR滤波器,利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H（z），这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：1）H（z）的频响要能模仿Ha(s
6、)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆 上。2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变，即S平面的左半平面 ReS0 应映射到Z平面的单位圆以内|Z|1。,下面讨论两种常用的映射变换方法：一、脉冲响应不变法利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。 如以 Ha(s) 及 H（z）分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换，即Ha(s
7、)=Lha(t) , H(z)=Zh(n),计算 H(Z) : 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数 NM，则可表达为部分分式形式；其拉氏反变换为：单位阶跃对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列,再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，必有所以有,根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系, 理想采样 的拉氏变换 与模拟信号 的拉氏变换 之间的关系。, 理想采样 的拉氏变换 与采样序列的 Z 变换 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。,s平面与z平面的映
8、射关系,以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变换，正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 的映射关系映射到 Z 平面上。,稳定性： 如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 Si 都在S左半平 面，即 Resi0 , 那么变换后H(Z)的极点 也都在单位圆以内，即 , 因此数字滤波器保持稳定。,映射关系 ：S平面上每一条宽为 的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上:每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外，轴映射到单位圆上， 轴上每一段 都对应于绕单位圆一
9、周。,S 平面,Z 平面,多对一映射,应指出，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与 H（Z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射关系，即没有一个S=f(z)代数关系式。 混迭：还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：,正如第一章的采样定律中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率S/2 以内， 即,这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（存在于折叠频率S/2以内）但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能
10、是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。,脉冲响应不变法中的频响混淆,例,将一个具有如下系统函数的模拟滤波器数字化。解：,模拟滤波器的频率响应为:示于图a,数字滤波器的频率响应为:显然 与采样间隔T有关,如图b, T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计,为什么混迭呢?,小结, 1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，与是线性关系。因此如果模拟滤波器的频响带限于
11、折叠频率以内的话，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。,3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是稳定的。4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于 的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。,给定数字滤波器的参数指标 , 通过模拟滤波器设计，而后影射的方法设计数字滤波器 H(z)，设计步骤：,1. 由数字滤波器参数指标来求解确定模拟滤波器参数 2. 设计模拟滤波器的低通原型（根据某些已知的滤波器类型）. 3. 部分分式法分解Ha(s)4. 将模拟的极点 pk 转化为数字极点 epkT ，并得到数字滤波器差异在3、4步,
