1、小学数学中 几个问题,首都师范大学 王尚志,目录,从算术到代数：模型重要一个数学概念：单位估算的数学内涵,一、从算术到代数：模型,例子：鸡兔同笼问题 从算术到代数,一支铅笔4元，一支钢笔7元，共有46元，与购买10支笔，可购买铅笔和钢笔各多少？,例子：鸡兔同笼问题 从算术到代数,算术方法：尝试、调整穷举，列表假设，推理代数方法：分析问题中的量，确定等量关 系，设未知数，列方程（不同方式），解方程。,算术方法（一）尝试（猜测）调整有的学生尝试：买4支铅笔6支钢笔，供需要58元。调整：只有46元，不足，只能少买一些钢笔；买1支钢笔9支铅笔，可否？需43元。再调整：自己有46元，还可多买钢笔；买2支
2、钢笔8支铅笔，恰为46元。,例子：鸡兔同笼问题 从算术到代数,求 的值 二分法 排序 优选法 微积分、数值计算等大部分数学课程 这种方法本质上是“逼近”，在数学研究特别是数学应用中，她是非常基本得数学思想，也是一种重要的方法。,例子：鸡兔同笼问题 从算术到代数,算术方法（二）穷举，列表 学生很容易在老师的诱导下，通过穷举、列表法做出判断。 在“分类”讨论是数学思考问题的基本思想，穷举、列表等是最基本、重要的一种方法。为了把所有的情况表示清楚，我们常常采用这种方法。,例子：鸡兔同笼问题 从算术到代数,算术方法（三）假设、推理 假设有10支铅笔，0支钢笔，则一共需要40元。如何使用余下的6元？ 我
3、们知道：1支钢笔7元=1支铅笔4元+3元这样，可以用2支铅笔加6元换两支钢笔。 由此可知 46元可买8支铅笔，2支钢笔。,例子：鸡兔同笼问题 从算术到代数,算术方法小结： 从数学上来讲，前两种方法更重要一些，它们体现了数学基本思想逼近、分类。它们也是数学的通性通法，在今后学习中非常有用。希望老师帮助学生掌握。 从学生认知来说，前两种方法也是学生容易接受的方法。它们反映了比较自然的解决问题过程。 很多老师更喜欢用第三种方法来解决类似问题，但这对于部分学生有一定难度。,例子：鸡兔同笼问题 从算术到代数,代数方法：1、量的分析铅笔每支4元、钢笔每支7元 （1）铅笔的数量、钢笔的数量 （2）铅笔和钢笔
4、的总量10支 （3）一共拥有46元 （4） 其中(1)(3)(4)是已知量,(2)是未知量.这些在讨论问题过程中都是不变的。,例子：鸡兔同笼问题 从算术到代数,2、等量关系 让学生用自然语言叙述等量关系等量关系1：铅笔、钢笔的数量之和是10支。等量关系2：买铅笔和钢笔的费用之和是46元。3、设未知数、列方程 第一种列方程方式：设未知量铅笔的支数为x， 利用等量关系1：钢笔的数量为10-x, 这样，利用等量关系2，有： 4x+7(10-x)=46 。,例子：鸡兔同笼问题 从算术到代数,第二种列方程方式：设铅笔的支数为x，钢笔的支数为y，则x + y=10 （1）（利用等量关系1）4x+7y=46
5、 （2）（利用等量关系2）4、 解方程4 x +4 y=40 （3）？（2）（3） ？3y = 6 ？y = 3,例子：鸡兔同笼问题 从算术到代数,代数方法特征： 分析规律 表示规律 解决问题,从算术到代数 算术、代数方法特征,算术方法 基本特征：算数（加减、乘、除） 基本特征：用“术”算（有规律地算） 基本特征：不同的算法 不同的计算途径或程序 基本特征：解决一个一个的具体问题通过“术”和“算”解决的问题是算术问题。通过“术”和“算”体现逻辑思维演绎。,从算术到代数 算术、代数方法特征,代数方法 基本特征：用字母代替数 基本特征：用字母表示规律量之间的相等关系、不等关系、函数关系 基本特征：
6、通过字母的运算和运算规律解决问题 基本特征：不同的算法 不同的计算途径或程序 基本特征：一类一类地解决问题,从算术到代数 算术、代数方法特征,代数方法通过字母的运算和运算规律解决的问题是代数问题。通过运算和运算规律体现逻辑思维演绎。,算术方法与代数方法共性：通过“算”和“算律”解决问题通过“算”和“算律”体现数学的逻辑思维不同：“算数”“算字母”解决具体问题解决一类问题：模型,从算术到代数 算术、代数方法特征,二、重要数学概念：单位,局部到整体,单位数学单位整数单位“1”、“10”、“100”、等分数单位“n分之一”单位统一分数加、减、除实际中单位量单位同一量在不同情景下，不同单位、换算,关于
7、“单位” 、 “单位化” 、 “度量”的问题与困惑,一.什么是“单位” 、 “单位化” ?两者之间的关系是什么? 二. “单位” 在小学数学中的地位与作用是什么?在整个数学大厦中是否有地位?有作用?对学生的发展而言,其教育价值是什么? 三. “单位化” 是否可以称之为一种数学思想? 四. “度量”的本质是什么?,五. 测量、度量、计量是否有本质区别?为什么会有这些不同名称的词汇? 六. 在小学数学的研究内容中,除了长度、单位、面积等涉及度量,其他教学内容中是否也涉及度量? 七. 度量意识、度量结构、度量思想,有这样的称呼吗? 八. 度量的结果是分数,或者说分数产生于度量,这样理解是否可以?九.
8、 度量的过程中能蕴涵哪些数学的思想方法?,一. “单位”的认识,1. “自然数”与“整数”单位十进制对“个,十,百,千,万”本身的认识中英的差别不同进制“整数”单位与运算,2. “分数”单位 的定义通分产生新单位“分数”单位与运算3.估算中的单位选择单位需要积累经验,4.数学结构中的单位代数中的单位拓扑中的单位其它结构中的单位,二.“度量”的认识,1.对量的认识离散量连续量对量的认识分层2.量的单位与不同度量的换算同一个量的不同度量方法量的换算与函数对量的认识的积累,3. “度量”与“数”的拓展 “度量”与“整数”单位 “公度”与分数不同公度与无理数从 到实数理论4. “度量”在数学发展中的作
9、用 积分度量空间,三.对于一些问题的认识,1.什么是“单位” 、 “单位化” ?两者之间的关系是什么? 2. “单位” 在小学数学中的地位与作用是什么?在整个数学大厦中是否有地位?有作用?对学生的发展而言,其教育价值是什么? 3. “单位化” 是否可以称之为一种数学思想? 4. “度量”的本质是什么?,5. 测量、度量、计量是否有本质区别?为什么会有这些不同名称的词汇? 6. 在小学数学的研究内容中,除了长度、单位、面积等涉及度量,其他教学内容中是否也涉及度量? 7. 度量意识、度量结构、度量思想,有这样的称呼吗? 8. 度量的结果是分数,或者说分数产生于度量,这样理解是否可以? 9. 度量的
10、过程中能蕴涵哪些数学的思想方法?,三、估 算,一、“估算”中的一些问题二、“估算”的实际需求与数学分析三、关于“估算”“教”与“学”的建议,探讨“估算”一些问题,义务教育数学课程重大变化是加入并强化了“估算”，经过几年的努力，在小学阶段，对学生估算能力的培养已经得到了普遍的重视，也逐渐积累了一些好的经验。但是，“估算”作为一个新事物，在教材、教学、学习和评价等方面，还存在着许多问题和困惑。我们希望与各位老师一起分析、讨论，逐步解决这些问题。,一、“估算”中的一些问题,1、“估算”的真正含义是什么？估算是“估”还是“算”？ 2、在小学阶段“估算”教学过程中，应该让学生掌握到什么程度？ 3、“估算
11、”问题是否应该有统一的标准答案？在考试出题时，对估算结果如何给出统一的要求？ 4、“估算”是否就是凑整和口算？ 5、估数和估算有何不同？ 6、如何表达“估算”的思维过程？ 7、“估算”可以独立？ 8、“估算”是否可以代替演算判断计算的正误？,一、“估算”中的一些问题,9、如何判断“估算”结果对与错？有的老师认为只要和准确答案接近的数都应算对，差的太远就算错。至于如何判断一个估算答案是“接近”准确值还是与准确值“差的太远”就凭主观感受，没有统一标准。老师认为估算教学就是教会学生如何通过估算求得结果。注重训练学生的估算方法，认为学生做估算题时，只要能非常熟练地找到估算的结果，便完成了估算教学的目标
12、。有的老师认为估算教学就是教会学生如何通过估算求得结果。注重训练学生的估算方法，认为学生做估算题时，只要能非常熟练地找到估算的结果，便完成了估算教学的目标。教师认为“好”的估算的标准是“既凑整算得快，又与实际结果相差得尽可能小”。有的老师认为“好”的估算的标准是“既凑整算得快，又与实际结果相差得尽可能小”。,对估算的评价一直是大家争论的问题，以对纯算式的估算结果的评判为例（如估5120+2348=？），有的研究者认为当估算结果处于实际答案的50%范围内时认为答案正确，而另一些研究者则使用在实际答案15%之内即为合理，绝大多数人使用“30%之内即合理”的标准。,一、“估算”中的一些问题,10、教
13、师认为：除法估算和乘法估算是相同的，只是一个是乘法而另一个是除法而己，和乘法一样，也是先把接近整十的数看作整十数，再用整十数除以除数，得到的值作为原算式的估计值。 11、一些老师认为：“两位数乘一位数的估算”在学习了“整十数乘一位数的乘法”后便可以解决大部分的估算题，但“两位数除以一位数的估算”并非学习了“整十数除以一位数”后就能够进行的。只有在熟练掌握“两位数除以一位数的除法”后才能灵活进行估算，除法的估算应该怎么安排、安排在什么地方也是值得深入研究的。 12、老师质疑估图形的面积，像这样的问题有没有意义？,一、“估算”中的一些问题,13、如何估计“39+42、4259”大约等于多少?是否应该先精算，再按四舍五入法引导学生学习怎样去估算？,一、“估算”中的一些问题,14、学生存在的问题：例1、如果计算器摔坏了，当你计算15.244.5时，计算器屏幕上显示的答案是6858，那么你会把小数点放在6858的哪个位置？（ ）A. 6.858 B. 68.58 C. 685.8 D. 0.6858请写出你选择的理由：,学生的作答情况如下表所示：,
