1、第五章 结构动力学中常用的数值解法,5.1概述,数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具。工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析,标准特征值问题,1 雅可比方法（Jacobi）、,2.Rayleigh-Ritz,3.子空间迭代法,4. 行列式搜索法,行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。它的特点是综合运用多项式加速割线迭代，移轴向量逆迭代，Sturm序列的性质以及GramSchmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通常是计算最小的部分特征值及相应的特征向量。,因此，它是一种计算
2、部分特征对的特殊求解方法。此方法具有计算速度快，精度高，灵活等优点。,响应数值分析：,1.中心差分法,2.Wilson-法,3.Newmark法,响应求解方法的选择取决的因素有：载荷、结构、精度要求、非线性影响程度、方法的稳定性等。, 综合各方面的因素，比较、权衡，才能判定所应采取的方法；有时为了互相验证，也可以同时采取两种以上的方法来处理动响应分析, 对结构过于复杂的情况，宜采用直接积分法，结构较简单的情况可采用模态迭加法。, 对精度要求较低的初步设计阶段，可采用取少数模态的模态迭加法。对精度要求较高的最后设计阶段，宜采用直接积分法,5.2 求解系统固有频率主振型的近似解法,1.邓克利法：是
3、邓克利首先通过实验方法建立起来的一个计 算公式，后来才得到完整的数学证明。,则有,1894年邓克利：提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频的实用方法（偏小）,设系统作j阶主振动,则有：,代入得特征方程：,有,假设质量矩阵为对角阵，展开得：,由于二阶频率往往比基频高得多,忽略,设,2.雅可比（Jacobi）法求特征方程,即可断定D的n个对角元素就是A的n个特征值，而S的第i列就是D中第i个对角元素所对应的特征向量， S为坐标变换矩阵。,其中,用雅可比法求n阶对称矩阵A的特征值和特征向量的步骤,Vb实现,作业：5-1（2）,3.瑞利（Rayleigh）法和里兹法,已知系统的刚度K，质量M，并设定系统
4、的j阶主振型为,对于作简谐运动的多自由度系统，其动能T与势能V,系统作j阶主振动时,速度及加速度,4.矩阵迭代法,标准化,整理得：,对于正定系统： 可写为,迭代,假设一个初值,解：,取初值：,振型值趋于稳定。,迭代终止：,几种数值算法的比较：,根据瑞利商的性质，原则上可用瑞利商计算任意阶固有频率，但由于高阶主振型很难合理假设，所以瑞利商一般用于求基频，瑞利商求的基频是真实值的上限，这是因为假设的一阶主振型与真实振型的偏差，相当于对系统附加了某些约束，从而提高了系统的刚度，使基频有所提高。矩阵迭代法只能求前几阶频率，求较高阶的频率和模态需要把前几阶的模态剔除才能收敛。邓柯莱公式建立的是质量矩阵为
5、对角阵的情况，而且第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，邓柯莱公式计算出的基频显然是精确值的下限。,5.子空间迭代法子空间迭代法实质就是对一组试验向量反复地使用里 兹法和矩阵迭代法，它将矩阵迭代法每次迭代一个假设模态，发展为同时迭代系统的前r阶假设模态，因而提高了计算效率，迭代过程中各阶假设模态的正交性由里兹法保证。,式,子空间迭代的步骤,假设初始模态矩阵,将上式左乘矩阵 D,先作出以下r阶方阵,瑞利商取驻值,得：,例,取前二阶假设模态，归一化后作为子空间基的零次近似,解出本征值：,得到前两阶固有频率的一次近似值,及对应的系数矩阵,代入得：,本征方程为：,解出本征值,前二阶固有频率的二次近似值，更接近真实值,作业：5-1（1）、（3）-(5);5-4,
