1、1,第四章 代数系统 第一节 二元运算 定义 设S为集合,若S中任意两元素x,y可进行运算xy,且其结果仍保持在S中(称S对封闭), 则称运算为S上的二元运算. 例(1)加法、乘法是自然数集合N上的二元运算,减法和除法不是. (2)加法、减法和乘法是整数集合Z上的二元运算,而除法不是. (3)乘法、除法是非零实数集R*上的二元运算,加法、减法不是. (4)设S=a1,a2,an, aiaj =ai为S上二元运算.,2,(5)设Mn(R)表示所有n阶(n2)实矩阵的集合,即 则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算. (6)S为任意集合,则、 为P(S)上的二元运算.,3,第二节 二元运算的表
2、示 1可以用, *, , , 等符号表示不同的二元运算,称为算符. 对二元运算,如果x与y运算得到z,记做xy = z. 2表示二元运算的方法-公式表示和运算表公式表示 ( xy的结果可用x,y的一个式子表示时) 例 设R为实数集合,如下定义R上的二元运算*:x,yR, x*y = x. 那么 3*4 = 3, 0.5*(3) = 0.5运算表( xy的结果不可用x,y的式子表示时),4,5,第三节 二元运算的性质1满足特殊性质的二元运算定义 设为S上的二元运算: (1)若对于任意的x,yS有 xy=yx, 则称运算在S上满足交换律. (2)若对于任意的x,y,zS有 (xy)z=x(yz),
3、 则称运算在S上满足结合律. (3)若对于任意的xS有 xx=x, 则称运算在S上满足幂等律. 定义 设和为S上两个不同的二元运算, (1)若对于任意的x,y,zS有 (xy)z=(xz)(yz),z(xy)= (zx)(zy),则称运算对运算满足分配律. (2) 若和都可交换,并且对于任意的x,yS有x(xy)=x,x(xy)=x,则称和运算满足吸收律.,6,7,8,2特异元素:单位元、零元和逆元 定义 设为S上的二元运算, (1)单位元 如果存在eS,使得对任意xS都有ex = xe= x , 则称el是S中关于运算的单位元. 例 R关于数的乘法的单位元为1, R关于数的加法的单位元为0.
4、 (2)零元 如果存在S,使得对任意xS都有x = x= , 则称是S中关于运算的零元. 例 R关于数的乘法的零元为0, R关于数的加法的零元不存在.,9,(3)可逆元素及其逆元 设S中关于运算存在单位元e. 对于xS,如果存在yS使得yx= xy=e , 则称y是x的逆元(x也是y的逆元). 如果x的逆元存在,就称x是可逆的.,10,11,3惟一性定理. 定理 设为S上的二元运算且存在单位元e ,则 S上关于运算的单位元惟一.证: 假设e也是S中的单位元,则有e = ee = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 当 |S| 2,单位元与零元是不同的; 当 |S| = 1
5、时,这个元素既是单位元也是零元. 定理 设为S上可结合的二元运算, e为该运算的单位元, 对于xS如果存在逆元y, 则x的逆元惟一. 证:假若yS也是x的逆元,则y= ye = y (xy) = (yx) y = ey = y 说明:对于可结合的二元运算,可逆元素x只有惟一的逆元,记作x1.,12,第四节 代数系统 一、代数系统的定义与实例 1代数系统的定义 定义 非空集合S和S上若干二元运算f1, f2, fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代数,记做. 实例: ,是代数系统,+和分别表示普通加法和乘法. 是代数系统,和分别表示n阶(n2)实矩阵的加法和乘法. 是代数系统,Zn0,1,
6、n-1,和分别表示模n的加法和乘法,对于x, yZn,xy = (xy) mod n,xy = (xy) mod n. 也是代数系统,和为并和交,为绝对补.,13,2. 同态与同构 代数系统可以认为是广义的数的加法-乘法系统.研究代数系统的一种办法是进行类比: 如果两个代数系统类似,则将熟知代数系统的规律迁移到非熟知代数系统。如果判断类似呢?可作同态或同构检测. (1) 双射 定义 设有映射f:AB.1) x,yA, 只要xy, 就有f(x)f(y),则称f为单射;2) zB, 总存在xA, 使f(x)=z,则称f为满射;3) 若f 同时是单射和满射, 则f称为双射. (2)定义:设有两个代数
7、系统,,设有映射f:AB满足: f(x1x2)=f(x1) *f(x2), x1,x2A 则称f为到的一个同态映射; 若f还是双射, 则称f为同构映射.,14,考虑映射 f: p1 q3, p2 q1, p3 q2, p4 q4,例 证明以下两代数系统同构:,所以, f是一个同构映射.,15,第六节 半群1半群与独异点 (1)设V=是代数系统。如果S关于封闭、可结合,则称V为半群. (2)设V=是半群。若eS 是关于运算的单位元,则称V是含幺半群,也叫做独异点. 2实例 例:(1) , , , , 都是半群,+是普通加法. 这些半群中除外都是独异点. (2) 设n是大于1的正整数,和都是半群,
8、也都是独异点,其中+和分别表示矩阵加法和矩阵乘法.,16,(3)为半群,也是独异点,其中为集合的对称差运算. (4)记Zn=0,1, ,n1,为模n加法, 则为半群,也是独异点,. 3. 子半群 设V=是半群,T S且T 非空。如果T 对V 中的运算仍封闭,则是半群,称为V的子半群. 4. 设是半群,定义aS的n次幂为 an= aa.a (n个a相乘), 则有性质:anam=an+m, (an)m=anm. 注意:半群上只能定义正整数幂。,17,定理1 设是半群,若|S|即集合S的元素有限,则必有aS使得aa=a。证明:设bS, 则b,b2,b3,. S. 因S为有穷集,故存在正整数i,k:
9、bi+k=bk. 易知 bmi+k=bk, m=1,2,., 特别有 b(k+1)i+k=bk, 于是 b(k+1)i+k b(k+1)i-k=bk b(k+1)i-k, b(k+1)ib(k+1)i= b(k+1)i, 取a=b(k+1)i, 即有aa=a。 定理2 设是独异点,则的运算表中任何两行或任何两列均不相同。 证明:a,b两行相同xS: ax=bx.取x=e, 则有a=b.a,b两列相同xS: xa=xb.取x=e, 则有a=b.,18,第七节 群的定义与性质 一、群的定义、实例与术语 1. 群的定义 定义 设是代数系统, 如果 运算是封闭、可结合的,存在单位元 eG,并且对G中的
10、任何元素x都有x1 G,则称G为群. 2. 群的例子 (1),都是群(e=0; x-1=-x);和不是群. (2)是群(e=0, A-1=-A),而不是群. (3)是群,为对称差运算(e=, A-1=A). (4)也是群. Zn=0,1,n1,为模n加. (e=0, 0-1=0, k-1=n-k (k0).,19,20,例 海明码x=x1x2x7,其中x1-x4是数据位,x5,x6,x7是校验位。其中(ab=(a+b)mod 2):x5=x1x2x3 x6=x1x2x4 x7=x1x3x4设G是所有7位海明码的集合,G的运算定义为:xy=z1z2zn, zi=xiyi, 则构成群。证:易验证在
11、0,1中的封闭性和可结合性,从而对G也满足封闭性和可结合性。令e=0000000, 则xG有xe=ex=x, 故e为单位元。x=x1x2x7G,令y=y1y2y7,其中yi=1-yi , i= 1, 2, ., 7, 则xy=yx=e, 故 y=x-1.所以 满足群的全部四个条件。,21,3有关群的术语 定义11.5 (1)若群G是有穷集,则称G是有限群,否则称为无限群. 群G的基数称为群G的阶,有限群G的阶记作|G|. (2)只含单位元的群称为平凡群. (3)若群G中的二元运算是可交换的,则称G为交换群或阿贝尔 (Abel) 群. 实例: 和是无限群,是有限群,也是n阶群. Klein四元群
12、是4阶群. 是平凡群. 上述群都是交换群. n阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.,22,群中元素可以定义负整数次幂. 例 在中有 23 = (21)3 = 13 = 111 = 0. 在中有 (2)3 = 23 = 2+2+2 = 6 .,定义 设G是群,aG,nZ,则a的n次幂,23,二、群的性质 1群的幂运算规则 定理 设G为群,则G 中的幂运算满足: (1)aG,(a1)1=a. (2)a,bG,(ab)1=b1a1. (3)aG,anam=an+m,n,mZ. (4)aG,(an)m=anm,n,mZ. (5)若G为交换群,则(ab)n=anbn. 证(1)因(a
13、1) a=aa1=e,由逆元的唯一性知a为a1的逆元. (2)(b1a1)(ab)= b1(a1a)b = b1b = e, 同理 (ab)( b1a1)= e,故b1a1是ab的逆元. (3)(4)(5): 用数学归纳法可以证明对于自然数n和m证等式为真,然后可再证n或m为负数的情况为真.,24,说明: (2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况,即,等式(5)只对交换群成立. 如果G是非交换群,那么只有,25,定理1 已知是群,则G是交换群当且仅当(ab)2=a2b2, a,bG 证: 必要性是显然的.下面证充分性. a,bG :(ba)3=b(ab)2a=b(a2b2)a=(ba)ab(
14、ba), 于是有 ba=ab, 故G是交换群. 定理2 设G为群且|G|1,则G中没有零元。 证明:用反证法. 假设有零元, 因G为群, 则存在逆元-1:e=-1 = (零元定义).因|G|1,故存在a G ,a , 但a=ae=a= , 矛盾!,26,2群方程存在惟一解 定理 G为群,a,bG,方程 ax = b 和 ya = b 在G中有解且仅有惟一解. 证: 用a1b代入方程左边的x 得 a(a1b) = (aa1)b = eb = b, 所以a1b是该方程的解. 下面证明惟一性. 假设c是方程ax=b的解,必有ac=b,从而有c = ec = (a1a)c = a1(ac) = a1b
15、. 同理可证ba1是方程 ya=b 的惟一解.,27,3. 消去律 定理 G为群,则G中适合消去律,即对任意a,b,c G 有 (1)若ab = ac,则b = c. (2)若ba = ca,则b = c. 证明略. 例 设G = a1,a2,an是n阶群,令 aiG = aiaj | j=1,2,n 证明 aiG = G. 证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiG G,即 |aiG| n. 必有aj,akG 使得 aiaj = aiak (j k) , 由消去律得 aj = ak, 与 |G| = n矛盾.,28,定义 设G是群,aG,使得等式 ak=e成立的最小正整数k称为a的阶,
16、记作|a|=k,称a为k阶元. 若不存在这样的正整数k,则称a为无限阶元. 例 在中,2和4是3阶元,3是2阶元,1和5是6阶元,0是1阶元. 在中,0是1阶元,其它整数的阶都不存在.,29,4群中元素的阶的性质 定理 设G为群,aG 且 |a| = r. 若k是整数,则 (1)ak = e当且仅当r | k ; (2)|a1| = |a|. 证:(1)充分性. 由于r|k,必存在整数m使得k = mr,所以有 ak = amr = (ar)m = em = e. 必要性. 根据除法,存在整数m和i使得 k = mr+i, 0ir1, 从而有 e = ak = amr+i = (ar)mai
17、= eai = ai, 因为|a| = r,必有i = 0. 这就证明了r | k. (2)由(a1)r = (ar)1 = e1 = e,可知a1的阶存在. 令|a1| = t,根据上面的证明有t | r. a又是a1的逆元,所以r | t. 从而证明了r = t,即|a1| = |a| .,30,第八节 子群 一、子群的定义 定义 设G是群,H是G的非空子集,如果H关于G中的运算构成群,则称H是G的子群, 记作HG. 若H是G的子群,且HG,则称H是G的真子群,记作HG. 例如 nZ=.,-2n,-n,0,n,2n,. 是整数加群Z,+的子群. 当n1时, nZ是Z的真子群. 对任何群G都
18、存在子群. G和e都是G的子群,称为G的平凡子群.,31,二子群的判定定理 定理1 (判定定理一) 设G为群, H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当(1)a,bH, 有abH. (2)aH, 有a1H. 证 必要性是显然的. 为证明充分性,只需证明eH.因为H 非空,存在aH. 由条件(2)知a1H,根据条件(1)aa1H,即eH.,32,定理2 (判定定理二) 设G为群,H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,bH有ab1H. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H 非空,必存在aH. 根据给定条件得aa1H,即eH. 任取aH, 由e,aH 得 ea1H,即a1H. 任取a,bH,
19、知b1H. 再利用给定条件得a(b1) 1H,即abH. 综合上述,可知H是G的子群.,33,定理3(判定定理三) 设G为群,H是G的非空有穷子集,则H是G的子群当且仅当a,bH有abH. 证 必要性显然. 为证充分性,只需证明 aH有a1H. 任取aH, 若a = e, 则a1 = eH. 若ae,令S=a, a2,,则SH. 由于H是有穷集,必有ai = aj(i1,由此得 aji1a = e 和 aaji1 = e , 从而证明了a1 = aji1H.,34,三、典型子群的实例:生成子群、群的中心等 1.生成子群:设G为群,aG,令H=ak| kZ,则H是G的子群,称为由a生成的子群,记
20、作. 证明:首先由a知. 任取am,al, 则 am(al)1 = amal = aml, 根据判定定理二可知G. 实例: 整数加群中由2生成的子群是 =2k | kZ =2Z. 群中,由2生成的子群=0,2,4. Klein四元群G = e,a,b,c的所有生成子群是: =e, =e,a, =e,b, =e,c.,35,2群G的中心C 设G为群,令C=a| aGxG(ax=xa),则C是G的子群,称为G的中心. 证明:eC. C是G的非空子集. 任取a,bC,只需证明ab1与G中所有的元素都可交换. xG,有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx
21、1)1 = a(xb1) = (ax1)b1 = (xa)b1 = x(ab1) , 由判定定理二可知CG. 对于阿贝尔群G,因为G中所有的元素互相都可交换,G的中心就等于G. 但是对某些非交换群G,它的中心是e.,36,3. 设G是群,H, K是G的子群. 则 (1)HK也是G的子群. (2)HK是G的子群当且仅当HK或KH. 证 (1) 由eHK 知 HK非空. 任取a,bHK,则aH, aK,bH,bK. 必有ab1H 和ab1K,从而ab1HK. 因此HKG. (2)充分性显然,只证必要性.用反证法. 假设H K且 KH,那么存在 h和 k 使得 hHhK, kKkH. 这就推出hkH
22、. 否则由h1H得 k=h1(hk)H,与假设矛盾. 同理可证hkK. 从而得到hkHK. 与HK是子群矛盾.,37,第九节 陪集1陪集定义及实例 定义 设H是G的子群,aG. 令 Ha = ha | hH (即用右乘H全部元素所得集合), 称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元或特征元. 例(1)设G=e,a,b,c是Klein四元群,H=是G的子群. H 所有的右陪集是: He=e,a=H, Ha=a,e=H, Hb=b,c, Hc=c,b.不同的右陪集只有两个,即H和b,c. 子群H的所有右陪集的元素个数均相同,因为任一右陪集Ha与H的元素是一一对应的(xH: xax)。,3
23、8,2右陪集对群的划分 下面的几个定理将证明,群G的子群H的全部右陪集构成G的一个划分。 定理 设H是群G的子群,则 (1)He = H (2)aG 有aHa. (右陪集中至少含其代表元)证(1)He = he | hH = h | hH = H .(2)任取aG,由a = ea和eaHa得aHa.由于Ha不一定含e,故Ha不一定为子群。,39,定理 设H 是群G的子群,则a,bG 有 aHb ab1H Ha=Hb. 证 先证 aHb ab1H. aHb h(hHa=hb) h(hHab1=h) ab1H. 再证aHb Ha=Hb. 充分性. 若Ha=Hb,由aHa 可知必有aHb. 必要性.
24、 由aHb可知存在hH 使得a =b,即b =1a. 任取h1aHa,则有 h1a = h1(hb) = (h1h)bHb 从而得到Ha Hb. 反之,任取 h1bHb,则有 h1b = h1(1a) = (h11)aHa 从而得到 Hb Ha. 综合上述,Ha = Hb 得证. 定理给出了两陪集相等的充要条件,也说明陪集中任一元素都可作为此陪集的代表元,40,定理 设H是群G的子群,在G上定义二元关系R:a,bG, R ab1H, 则R是G上的等价关系,且aR = Ha. 证 先证明R为G上的等价关系. 自反性. 任取aG,aa1 = eH R 对称性. 任取a,bG,则 R ab1H (a
25、b1) 1H ba1H R 传递性. 任取a,b,cG,则 RR ab1Hbc1H ac1H R 下面证明:aG,aR = Ha. 任取bG, baR R ab1H Ha=Hb bHa .,41,推论 设H 是群G的子群,则 (1)a,bG,Ha = Hb 或 HaHb = . (2)Ha | aG = G 证明:由等价类性质可得. 定理 设H是群G的子群,则H的全部右陪集构成G的一个划分,且所有右陪集的元素个数均相同。 证明:由前面各定理即知。,42,3. 拉格朗日定理及其应用 1拉格朗日定理及其推论 定理 (Lagrange) 设G是有限群,H是G的子群,记G:H为H的所有不同右陪集的个数
26、,则 |G| = |H|G:H 证 设G:H = r,a1,a2,ar分别是H的r个右陪集的代表元素, G = Ha1Ha2Har, |G| = |Ha1| + |Ha2| + + |Har|. 由|Hai| = |H|,i = 1,2,r, 得 |G| = |H|r = |H|G:H.,43,推论1 设G是n阶群, 则aG, |a|必是n的因子,且有an = e. (有限群G中各元素的阶必是|G|的因子) 证 任取aG,是G的子群,的阶是n的因子. 是由a生成的子群,若|a| = r,则 = a0=e,a1,a2,ar1, 即的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.推论
27、2 对阶为素数的群G,必存在aG 使得G = . 证 设|G| = p,p是素数. 由p2知G中必存在非单位元. 任取aG,a e,则是G的子群. 根据拉格朗日定理,的阶是p的因子,即的阶是p或1.显然的阶不是1,这就推出G = .,44,2拉格朗日定理的应用实例 命题:如果群G只含1阶和2阶元,则G是Abel群. 证 设a为G中任意元素,有a1 = a. 任取x,yG,则xy = (xy)1 = y1x1 = yx, 因此G是Abel群. 例 证明6阶群中必含有3阶元. 证 设G是6阶群,则G中元素只能是1阶、2阶、3阶或6阶.若G中含有6阶元,设6阶元是a,则a2是3阶元. 若G中不含6阶
28、元,下面证明G中必含有3阶元. 如若不然,G中只含1阶和2阶元,即aG,有a2=e,由命题知G是Abel群. 取G中2阶元a和b,a b,令 H = e, a, b, ab, 则H G,但 |H| = 4,|G| = 6,与拉格朗日定理矛盾.,45,例 证明阶小于6的群都是Abel群. 证 1阶群是平凡的,显然是阿贝尔群. 2, 3和5都是素数,由推论2它们都是单元素生成的群. 都是Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元,比如说a,则G=. 由上述分析可知G是Abel群. 若G中不含4阶元,G中只含1阶和2阶元. 由命题可知G也是Abel群.,46,第十节 循环群与置换群 一、循环群的
29、定义及分类 1 循环群的定义 定义 设G是群,若存在aG 使得 G= ak | kZ , 则称G是循环群,记作G=,称a为G的生成元. 2 循环群的分类 G=根据生成元a的阶可以分成两类:n阶循环群和无限循环群. 设G=是循环群,若a是n阶元,则 G = a0=e,a1,a2,an1, 那么|G| = n,称G为n阶循环群. 若a是无限阶元,则 G = e,a1,a2, 这时称G为无限循环群. ,47,二循环群的生成元 定理 设G=是循环群. (1)若G是无限循环群,则G只有两个生成元,即a和a1. (2)若G是n阶循环群,则G含有(n)个生成元. 对于任何小于等于n且与n互质的正整数r,ar
30、是G的生成元. 注: (n)是欧拉函数: 对于任何正整数n,(n)是小于等于n且与n互素的正整数个数. 例如n=12,小于或等于12且与12互素的正整数有4个:1, 5, 7, 11, 所以(12)=4.,48,例(1)设G=e,a,a11是12阶循环群,则(12)=4. 小于或等于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理可知a,a5,a7和a11是G的生成元. (2)设G=是模9的整数加群,则(9)=6. 小于或等于9且与9互素的数是 1, 2, 4, 5, 7, 8. 根据定理,G的生成元是1, 2, 4, 5, 7和8. (3)设G=Z,G上的运算是普通加法. 那么G只有两
31、个生成元:1和1. =Z, 因为 1k=k, 1-k=-k, k=0,1,2, =Z, 因为 (-1)k=-k, (-1)-k=k, k=0,1,2,49,第十一节 置换群1. 置换与置换运算 定义 设S=1,2,.,n,则双射:SS称为S上的n元置换,记作,注意映射的定义域与值域相同(第二行是1,2,n的一个排列),每列是元素与其像。而置换的运算就是两个映射的复合。,50,2. 置换群 定理 S=1,2,n上的全体置换(S),按以上置换运算构成一个群。 证: (1)封闭性. 任意两个置换的乘积仍为转换:,(2) 满足结合律:,51,(3)存在单位元 :,(4) 每个置换均存在逆元:,置换 的
32、逆置换就是 !,52,3. 循环 (n1 n2 nk) 循环(n1 n2 nk)是一个特殊的置换:n1 n2 nk n1, 未在循环中出现的文字保持不动。 例,例 容易验证1,2,3上的置换群的运算表为:,53,第十二节 环 、 域 定义 代数系统( 与*是二元运算)称为环,如果满足(1) 是交换群;(2) 是半群(封闭与可结合);(3) *对+满足分配律。例1 是环,其中R是实数集,+是数的加法,*是数的乘法. 例2 是环,其中Mn(R)是n阶实矩阵集合,+为矩阵加法,*为矩阵乘法。,54,定义 设为环,则(1) 当对乘法*满足交换律时,称为交换环;(2) 当对乘法*含单位元时,称为含幺环;(3)当环是交换环、含幺环、无零因子时称为整环。(记的单位元为0,若a,bR,a*b=0a=0或b=0则称G无零因子) 半群运算可有单位元(独异点)、可交换、可无零因子。 (5)若G是整环,且G中至少有2个元素0,a,若aG-0,a在乘法运算下有逆元,则G称为域。 即:和都是交换群,且*对+满足分配律,则称为域。 例 是一个域,称为实数域。,