1、第 3节 平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法 题号平面向量的数量积 1,2,8,9,11平面向量的夹角与垂直 4,5,6,7,13平面向量的模 3,10,14平面向量的综合应用 12,15基础巩固(时间:30 分钟)1.(2018全国卷)已知向量 a,b满足|a|=1,ab=-1,则 a(2a-b)等于( B )(A)4 (B)3 (C)2 (D)0解析:a(2a-b)=2a 2-ab=2|a|2-ab.因为|a|=1,ab=-1,所以原式=21 2+1=3.故选 B.2.已知|a|=6,|b|=3,ab=-12,则向量 a在向量 b方向上的投影是( A )(A)-4
2、(B)4 (C)-2 (D)2解析:因为 ab=|a|b|cos=18cos=-12,所以 cos=- .所以 a在 b方向上的投影是|a|cos=-4.3.(2018云南玉溪模拟)a=(2,1),ab=10,|a+b|=5 ,则|b|等于( C )(A) (B) (C)5 (D)25解析:因为 a=(2,1),所以 a= ,因为 ab=10,|a+b|=5 ,所以|a+b| 2=(5 )2,即|a| 2+|b|2+2ab=50,所以|b| 2=25,所以|b|=5,故选 C.4.已知向量 =(1,1), =(2,3),则下列向量与 垂直的是( D )(A)a=(3,6) (B)b=(8,-6
3、)(C)c=(6,8) (D)d=(-6,3)解析:因为 =(1,1), =(2,3),所以 =(1,2).由于 d=(1,2)(-6,3)=0,故 d.故选 D.5.(2018江西九校联考)已知向量 a=(x2,x+2),b=(- ,-1),c=(1, ),若 ab,则 a与 c的夹角为( A )(A) (B) (C) (D)解析:因为 ab,所以 = ,所以 x2= (x+2),cos= = = = ,又0,所以= ,故选 A.6.设向量 a=(1,m),b=(m-1,2),且 ab.若(a-b)a,则实数 m的值为( C )(A) (B)1或 2 (C)1 (D)2解析:因为(a-b)a
4、,所以(a-b)a=0,即 a2-ba=0,1+m2-(m-1+2m)=0,m2-3m+2=0.解得 m=2或 m=1.当 m=1时,a=(1,1),b=(0,2),满足 ab;当 m=2时,a=(1,2),b=(1,2),不满足 ab,故舍去.综上,m=1.故选 C.7.(2018大连双基测试)若向量 a,b的夹角为 ,且|a|=2,|b|=1,则 a与 a+2b的夹角为( A )(A) (B) (C) (D)解析:因为向量 a,b的夹角为 ,且|a|=2,|b|=1,所以 ab=21cos =1,|a+2b|= =2 ,所以 cos= = = ,因为0,所以= .8.(2018云南昆明一中
5、月考)已知 a=(-1, ),b=(0,2),则向量 a在向量 b方向上的投影为 . 解析:因为 ab=-10+ 2=2 ,|b|=2,所以向量 a在向量 b方向上的投影为|a|cos= = = .答案:9.一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1,F2成 60角,且 F1,F2的大小分别为 2和 4,则 F3的大小为 . 解析:由题意知 F3=-(F1+F2),所以|F 3|=|F1+F2|,所以|F 3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|F2|cos 60=28,所以|F 3|=2 .答案:2能力提升(时间:15 分钟)10.已知向量 a
6、,b满足|a-b|=3 且 b=(0,-1),若向量 a在向量 b方向上的投影为-2,则|a|等于( A )(A)2 (B)2 (C)4 (D)12解析:由|a-b|=3,得|a-b| 2=(a-b)2=a2-2ab+b2=9,所以ab= = = ,由向量 a在向量 b方向上的投影为-2,则 = =-2,即|a| 2=4,所以|a|=2.故选 A.11. (2018河南鹤壁高级中学段考)如图,BC,DE 是半径为 1的圆 O的两条直径, =2 ,则 等于( B )(A)- (B)-(C)- (D)-解析:因为 =2 ,圆 O的半径为 1,所以| |= ,所以 =( + )( + )=| |2+
7、 (OE+ )+ =( )2+0-1=- .故选 B.12.(2018江西赣州红色七校联考)已知点 M是边长为 2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点,则 的取值范围是( C )(A)-1,0 (B)-1,2(C)-1,3 (D)-1,4解析: 设 M(x,y),如图,建立平面直角坐标系,由题意,点 M所在的轨迹为(x-1) 2+(y-1)21(0x2,0y2),设 M(x,y),又 A(0,0),B(2,0),所以 =(-x,-y)(2-x,-y)=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1,因为 0,2,所以(x-1) 2+y20,4,所以(x-1) 2+y2-1-1,3,即 -1
8、,3.故选 C.13.已知单位向量 e1与 e2的夹角为 ,且 cos = ,向量 a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为 ,则 cos = . 解析:ab=(3e 1-2e2)(3e1-e2)=9+2-911 =8.因为|a| 2=(3e1-2e2)2=9+4-1211 =9,所以|a|=3.因为|b| 2=(3e1-e2)2=9+1-611 =8,所以|b|=2 ,所以 cos = = = .答案:14.在ABC 中,( -3 ) ,则角 A的最大值为 . 解析:设ABC 中,角 A,B,C所对应的边分别为 a,b,c由已知得( -3 ) =( -3 )( - )= +3 -4 =0,所以 cos A= = = ,则角 A的最大值为 .答案:15.在平行四边形 ABCD中,AD=1,BAD=60,E 为 CD的中点.若 =1,则 AB= . 解析:在平行四边形 ABCD中,取 AB的中点 F,则 = ,所以 = = - ,又因为 = + ,所以 =( + )( - )= - + -=| |2+ | | |cos 60- | |2=1+ | |- | |2=1.所以( -| |)| |=0,又| |0,所以| |= ,即 AB= .答案:
