第11章 一阶动态电路分析.doc

1、第 11 章一阶动态电路分析377第 11 章 一阶动态电路分析教学提示：在前面的章节里， 讨论了含动态元件的电路在正弦周期量激励下的响 应，都是工作在稳定状态，简称稳态 。实际上，这样的响应只是电路全部响应中的一部分，而不是响应的全部。当电路在接通、断开或参数、结构发生变化时， 电路的状态就可能会从一种稳定的状态向另一种稳定的状态变化， 这个变化过程是暂时 的，称 为瞬态或过渡过程。产生过渡过程的原因是由于电路中存在电感或电容动态元件，由于动态元件的 VCR 是对时间变量t 的微分或积分关系，因此，对动态电路分析需要用微分方程来描述，即在 时间 t 中分析动态电路，故也称为时域分析法。本章就

2、是分析含有动态元件的电路中的电压、电流与时间 的函数关系，主要是分析只含一个动态元件的线性电路的电压、电流，也就是一 阶动态电 路分析。主要介绍一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应、一阶电路的三要素公式。教学要求：在本章中应充分理解：零输入响应，零状 态响应 ，暂态响应和稳态响应、时间常数、固有频率的含义；熟练地掌握他 们的计算方法。掌握换路的初始值计算。重点能熟练运用三要素法求得输入为直流时，一 阶电路中任意变量的响 应。会 计算阶跃响应。11.1 换路定律和初始条件的计算本节讲述的是当电路在接通、断开或参数、结构发生变化时，各元件上的电量（电压和电流）初始值的确定问题。主要讲述电感电流

3、和电容电压在换路时不能发生跃变，即换路定律。11.1.1 换路动态电路的结构或元件参数发生变化时，电路将改变原来的稳定状态。含动态元件的电路在正弦周期量激励下的响应，都是工作在稳定状态，简称正弦稳态；当直流电路中各个元件的电压和电流都不随时间变化时，称电路进入了直流稳态（DC steady state） 。电路达到直流稳态时，电感相当于短路，电容相当于开路。在电路理论中，把电路中支路的接通和切断、元件参数的改变、电源电压或电流波动等等，统称为换路(switching)，并认为换路是瞬时完成的。一般情况下，换路的瞬间记为计时起点，即该时刻的 ，并把换路前的最后一瞬间0t记作 、换路后的最初一瞬间

4、记作 ， 与 、 与 之间的时间间隔则都趋近于0t 0t零。11.1.2 换路定律由电容元件的电压电流关系 可以得到dtuCi + tcitu （ ）1)( 01tdi （ ） tdiC01 （ ）第 11 章一阶动态电路分析378+ )(0tuctdiC01 （ ）若电容元件在 时的电压为 ，则 时的电压为0t t+ )(cu)0(c01 （ ） di如果在换路前后，电容电流 的值是有限的，则有i 001 （ ） dC所以 )(cu)(c由电感元件的电压电流关系 可以得到dtiL + tLuti （ ）1)( 01tdu （ ） tduL01 （ ）+ )0titL （ ）若电感元件在 时的

5、电流为 ，则 时的电流为0t(i0t+ )(Li)0i1 （ ） duL如果在换路前后，电感电压 的值是有限的，则有 00 （ ） 所以： )(Li)(i总之：在换路瞬间，电容元件的电流值为有限时，其电压不能跃变；电感元件电压值为有限时，其电流不能跃变。这一结论称为换路定律。其表达式为：(0) (1.)ccLuii在实际电路中，若电容电压发生跃变，根据，功率为无限大；dtuCi同理，若电感电流发生跃变，根据，功率也为无限大。tiL从以上两个等式可以看到，电容电压和电感电流不可以发生跃变。除了电容电压及与之相关联的电荷量（q=Cu） 、电感电流及与之相关联的磁链（=Li）不能发生跃变外，电路中其

6、余的各个电量均可发生跃变，例如：电容电流、电感电压、电阻的电压和电流、电流源的电压、电压源的电流等。第 11 章一阶动态电路分析37911.1.3 初始值及其计算 对于一阶电路，所谓的初始值（initial value ） ，就是在电路换路后的第一个瞬间，即 时的电路中各电量的数值，初始值组成求解动态电路的初始条件。0t由于在分析动态电路的换路过程中，通常都要用到微分方程来求解，而微分方程的解中含有一个待定系数 C，需要某一个时刻的给定值来确定，通常选择初始值来求待定系数C。电路中电压和电流的初始值分为两类：对于电容电压和电感电流的初始值，由于是在 时刻求出 、 之后，0t )0(cu)(Li

7、根据换路定律 、 来确定，因此称为独立的初始条件。另外，)0(cu)(c)0(Li)(i根据独立电源的特点，电压源的 、电流源的 也是独立的初始条件。另一类初su)0(si始值是可以跃变的量，如电容电流、电感电压、电阻电流及电阻电压，即 、)0(ci、 及 等统称为非独立初始条件，它们要根据独立初始条件及电路的基)0(Lu)(Ri)0(u本定律来求解。简单电路的初始条件的求解，可以直接在原电路中进行，而对于含有多个动态元件电路初始条件的求解，若在原电路中求解则比较麻烦。通常的做法是，在求得 、)0(cu之后，将电路中的电容元件代以电压为 的电压源、电感元件代以电流为)0(Li )0(cu的电流

8、源，这样替代后，称为电路在 的等效电路，它是一个纯电阻电路，可以t按照线性电阻电路的解题方法进行求解。例 11.1 在图 11.1(a)所示的电路中，已知 时已稳058521 tVURs， ， ，定。在 t=0 时刻开关 S 合上，假设开关合上前电容电压为零。试求换路后各元件电流、电压的初始值。 解 根据题意，开关合上前电容电压为零，即 ，根据换路定律，0)(Cu)0(cu0)(c作 的等效电路图，如图 11.1（b）所示0t)(2)(c0802RuiVUs5)(1AiiiC10)(0)(21(a)u21c (b)u2 第 11 章一阶动态电路分析380图 11.1 例 11.1图例 11.2

9、 在图 11.2(a)所示的电路中，已知 ， ， ，电VUS1262R123路原已稳定。在 时合上开关 S，试求 、0t )0()(0)()0(1 KLCiiiiu、 、)(Ci。)0(Lukt = 0 - 时等效电路图-( b )t = 0 + 时等效电路图k ( c )+- )- )图 11.2 例 11.2图解 开关合上前，电路原已稳定，电感相当于短路、电容相当于开路，t=0 -等效电路图如图 11.2（b） ，可得1231(0) 0.5A62SLUiR_().VCLui根据换路定律可得(0)0.5ALii(0)()6Cu作 的等效电路图，如图 11.2（c）所示，将电感和电容分别看作电

10、流源和电压源0t0)(1RiUS 112(0)A6SUiR)()0(2Cui 22()()1Cui12013Kiii第 11 章一阶动态电路分析3812(0)(0)15.A.CLiii由 )(3uRiu得 .56VL思考与练习11.1-1 在电容电流为有限值时，电容电压是不能跃变的。那么，当电容电压为有限值时，电容电流是否也不能跃变？为什么？11.1-2 当电感电压为有限值时，电感电流是不能跃变的。那么，当电感电流为有限值时，电感电压是否也不能跃变？为什么？11.1-3 题 11.1-3 图所示电路中，直流电压源电压 ，电 、 3210RVUS路原先已达稳定，在 时打开开关 S，试求电容电压及

11、电阻 上电流的初始值。0t Ruc题 11.1-3图 题 11.1-4图11.1-4 题 11.1-4 图所示电路中，已知 、 ，电路、 412RVUS mHL182 、原已稳定。在 时合上开关 S，试求电感电流及电阻 电压的初始值。0t11.1-5 题 11.1-5 图所示电路中，已知 、 。电路原已稳定。S20 、 512在 时合上开关 S，试求各元件的电压、电流的初始值。0t第 11 章一阶动态电路分析382题 11.1-5图11.2 一阶动态电路的零输入响应本节讲述的是在没有外加激励的情况下，一阶 RC 和 RL 电路在初始储能的作用下所产生的响应，对 RC 电路来讲相当于电容释放电场

12、能，对 RL 电路来讲相当于电感释放磁场能。11.2.1 零输入响应含有一个动态元件的电路称为一阶电路（first-order circuit） ，如果在换路瞬间动态元件原来就储存有能量，根据换路定律可知，即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电流、电压。这是因为动态元件的原始储能要通过电路中的电阻释放能量。动态电路在没有独立源作用的情况下，由初始储能产生的响应称为零输入响应(zero-input response)。11.2.2 RC 电路的零输入响应如图 11.3 所示电路，设开关 S 合上之前电容 C 已充电到电压为 。根据换0)(UuC路定律，开关合上之后 ，列换路之后的电路方

13、程，取各元件的电压、电流为关0)(UuC联一致参考方向，由 KVL 得CRu把电阻、电容元件 VCR 关系 idti代入上式得:0cutRcR图 6-21 C电 路的 零 输 入 响 应图 11.3 RC电路的零输入响应这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，分离变量 dtRCu1等式两边积分第 11 章一阶动态电路分析383CtRuC1lntRtt Aee1式中待定系数 A 可由电路的初始条件 确定，令 ，得0)(UuC0t01)0(eAeR电容的零输入响应电压为：(11.2)0()tRCCut)(t根据 ， 可得：0CRuRui(11.3)RCtCReUtut0)()( )(11.4)ttti

14、)( )0(式中的负号说明 的方向与所选参考方向相反。iuR、-U0/ R图uC、 iu ccU9OOOOOOOOt0图 11.4 RC电路的零输入响应的 uC和 i关系将 的变化曲线用图 11.4 表示，可以看出 均随时间逐 )(tiuC） 、（ )(ti） 、（渐减小、最终衰减为零，说明 RC 电路的零输入响应实质上就是已充电的电容对电阻放 电电路的响应。刚开始放电时电流最大，为 ，电容电压在衰减的过程中，其储存的RU0电场能通过电阻转换为热能而消耗完毕。令 =RC，其中 R 为由电容两端看过去的戴维南等效电阻，由下式可知 秒安 培 秒安 培安 培库 仑伏 特库 仑安 培伏 特法 拉欧 姆

15、 第 11 章一阶动态电路分析384 的单位为秒，因此将 称为 R、C 串联电路的时间常数，时间常数只决定于电路的参数，与电路的初始情况无关。引入 后，电容电压 和电流 可分别表示为cui（11.5） 0()tCutUe )0(t(11.6)()titR )(t 的大小反映了放电持续时间的长短。开始放电时的 ，经过一个时间常数 0UuC的时间后， 衰减为cu001368.Ue因此时间常数可以理解为一个按照指数规律衰减的量，衰减到它初始值的 时所%8.36需的时间。同样还可以计算出经过 时的 ，如表 11.1 所示。 、 、 2tcu表 11.1t0 1 2 3 4 5 tCeUtu0)( 03

16、68.U05.0.U018.07.U 0从表 11.1 及式（11.5）还可以看出，从理论上来讲， t=时， 才衰减为零，即放cu电要经过无限长时间才能结束。实际上，经过 5 的时间， 已衰减为 0.007U0 ，即为初c始值的 0.7% ，因此工程实际上认为经过（35） ，放电过程即已结束。所以，电路的时间常数决定了放电的持续时间，时间常数越大，放电时间越长。图 11.5（b）作出了不同 值下的 曲线，表明 越大，放电持续时间越长。 图 6-23 时 间 常 数 的 意 义(a)t= 时 f衰 减 为 初 始 值 的 .8% 2（ b) 对 暂 态 过 程 的 影 响 1 3 3 2 1图

17、11.5 时间常数的意义RC 电路的时间常数 与电路的 R 和 C 都成正比。当电容的初始储能 一定时，)21(0CU第 11 章一阶动态电路分析385电阻越大，电路放电电流越小，放电所需时间越长，所以 与 R 成正比。同样 的情况0U下，C 越大，初始储能越多，放电时间越长，因此 又与 C 成正比。在实际电路中，适当选择 R 或 C，就可控制放电的快慢。例 11.3 如图 11.6（a）所示电路原已处于稳态。在 时刻开关 S 由位置 1 接至0t位置 2，电容 C 通过电阻 放电。已知 。试求：2 VUFR50,1021 ， ，（1）换路后的 ；（2）放电到 0.05S 时的电容电压。)(t

18、iu） 、（U0ucR2U0uc R2R11图 11.6 例 11.3图解 换路前 RC 电路处于稳态，根据电容在直流电路中相当于开路的特点可知，电容上的电压与电源电压相同，如图 11.6（b）所示 VUuC50)(根据换路定律，电容电压不能跃变，即0c)(换路之后的电路如图 11.6（c）,电路的时间常数为 S3621051R根据式（11.5）和式（11.6）可知（t0）VeUtuttC200)(（t0）AeRti ttt 205.15)( 放电到 0.05S 时,电容的电压为 4.180).(5.2eSuC11.2.3 RL 电路的零输入响应如图 11.7（a）所示电路中开关 S 原来闭合

19、，电路已处于稳定状态，电感中流过的电流为 。当 t=0 时，开关 S 断开，如图 11.7（b）所示。这时电感 L 将通过电阻 R 释)(0SI放换路前储存的能量，在电路中将产生电流和电压。该电路中产生的响应是由电感 L 的初始储能产生的，因此也是零输入响应。 uL uL第 11 章一阶动态电路分析386图 11.7 RL电路的零输入响应取各元件电流和电压为关联一致参考方向，根据 KVL，列写换路后的电路方程，得0RLu把电感、电阻元件的 VCR 关系 idti，代入上式，得0RitL这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，分离变量dti两边同时积分，得CtLRilntLtCtLAeei 式中待定

20、系数 A 可由电路的初始条件 确定，令 ，得0)(Ii0t0)( IeAiLRL电感的零输入响应电流为：(11.7)0()RtLLitI)0(根据 ， 可得：0LRuRi(11.8)tLReItitu0)()0(11.9)tRLtt式中的负号说明 的方向与所选参考方向相反。Lu将 的变化曲线用图 11.8)(tutiR、表示，可以看出 均随时间逐)(ttiR、渐减小、最终衰减为零。说明 RL 电路的零输入响应实质上就是具有磁场储能的电感对电阻释放储能的响应。刚开始释放储能时电阻（电感）电压最大，其大小为 ，电感电流在衰减的过程中，其储存磁场能通过电阻转换为热能 0RI图 11.8 RL电路的零

21、输入响应波形 而消耗完毕。图 6-2L电 路 的 零 输 入 响 应 R、 L波 形0R第 11 章一阶动态电路分析387令 = ，其中 R 为由电感两端看过去的戴维南等效电阻，可以导出 的单位为L秒，因此将 称为 R、L 串联电路的时间常数。时间常数只决定于电路的参数，与电路的初始情况无关。引入 后，电感电流 和电感电压 可分别表示为iLu(11.10)0()tLitIe )0(t(11.11)0()tLutRI )(RL 电路的时间常数 与电路 的 L 成正比、R 成反比。电感的初始储能为 ，同)21(0LI样 的情况下，L 越大，初始储能越多，放电时间越长，因此 与 L 成正比。同样 及

22、0IL 情况下，电阻越大，消耗能量越快，所以 与 R 成反比。例 11.4 图 11.9 所示为某汽轮发电机的励磁回路。已知励磁绕阻的电阻 ，2.0R电感 ，直流电压源电压 。电压表的量程为 ，内阻为 ，电H4.0VU350V10KV5路原已稳定。在 t=0 时，开关 S 断开，试求：（1）换路后电路的时间常数；（2）；（3）开关断开瞬间，电压表处的电压。)(tutiVL，解（1）电路的时间常数为 sRLV510854.02. （2）开关断开前，电路原已稳定，电感相当于短路，此时电感上的电流为 vU图 11.9 例 11.4图 035()17A.2LiR根据换路定律，可得 0()LIii代入（

23、11.10） 、 （11.11）可得512508100()7Att tLitIee第 11 章一阶动态电路分析388125012500()5787KVt t tVutRIeee（3）开关断开瞬间，电压表处的电压为KVu8由此可见，开关刚断开时电压表要承受很高的电压，超过电压表额定值很多倍，可能会损坏电压表。电压表处之所以出现这么高的电压，是由于电感电流不能跃变，电压表内电阻又远大于励磁绕阻的电阻，所以开关打开瞬间，电压表的电压将远大于直流电源的电压。U另外，励磁绕阻的绝缘也将被击穿。所以，在切断大电感支路时，必须考虑磁场能量的释放，通常将电感和一个小电阻并联，这个小电阻又称为续流电阻。续流电阻

24、又不宜过小，否则会造成 增大，过渡过程持续时间较长。思考与练习11.2-1 一组 的电容器从高压电路断开，断开时电容器的电压 。FC40 KVU2.0断开后，电容器通过其本身的漏电阻放电，假设电容器的漏电阻为 。试问断开后经M8过多长时间，电容器的电压衰减为 。KV111.2-2 一个 的电容经过某电阻放电，经过 10s 时电容的电uC20)(.0、荷量 ，试求该电阻阻值。Cq61011.2-3 题 11.2-3 图所示电路，已知 、 、 、 2439321RRVUS、14R，电路原已稳定。在 t=0 时打开开关 S，试求换路后的 。FC3 )(tiuC、11.2-4 题 11.2-4 图所示

25、电路，已知 ，电路原已HLRVU53291 、 、稳定。在 t=0 时打开开关 S，试求换路后的电压 。)(tu2C题 11.2-3图 题 11.2-4图第 11 章一阶动态电路分析38911.3 一阶动态电路的零状态响应本节讲述的是在有外加激励并且在电容和电感的初始储能为零的情况下，一阶 RC 和RL 电路的响应过程，即向电容和电感充电的过程。11.3.1 零状态响应动态电路中所有动态元件的 均为零的情况，称零状态。零状态的动态)0()(LCiu、电路在外施激励作用下的响应，称为零状态响应(zero-state response)。11.3.2 RC 电路的零状态响应如图 11.10 所示电

26、路，设开关 S 合上之前电容 C 电压为 。根据换路定律，开关合上之后，列换0)(Cu路之后的电路方程，取各元件的电压、电流为关联参考方向，由 KVL 得SCRUu把电阻、电容元件 VCRidti图 11.10 RC电路的零状态响应 代入上式得ScUudtRC这是一个关于 的一阶常系数线性非齐次微分方程，此方程的解由下式解得，)(tuC)()(“tuttuCC其中 为方程的一个特解，与外加激励有关，称为强制分量，由方程可以看出， 为)(tuC SU该方程的一个特解，因此取 。 为与该方程对应的齐次方程SCUtu)( )(“tuC0cdtR所求得的通解相同，与外加激励无关，因此又称为自由分量。由

27、前一节所学内容可知 tCAetu)(“其中 的求法与零输入响应相同， 为待定系数，由电路的初始条件求得tsUt)(代入初始条件 得0()0(Cu图 6-31R电 路 的 零 状 态 响 应CR第 11 章一阶动态电路分析390AUeSS0最后解得电容上的电压为(11.12)()(1)ttCsSSutee )0(t由 、 可得SCRUuiR(11.13)tSCSReUtutu)()( )0(11.14)tRi t的波形如图 11.11 所示)()(tiutRC、 图 6-32 RC电 路 的 零 状 态 响 应Us图 11.11 RC电路的零状态响应由式 11.1211.14 及图 11.11

28、可知，在电容充电过程中，电容电压 由零按照指数Cu规律逐渐增加，最终趋近于外加电源电压 US。电路中的电流 则开始充电时最大，为iUS/R，然后逐渐减小，最终减小到零，电阻上的电压 则与 变化规律相反。电容充电结RuC束后，电路达到新的稳态，相当于直流电路中的电容元件，即 ， ，电SU0Rui，容储存的磁场能为 。21CU与 RC 电路的零输入响应相似，从理论上来讲，当 t 为时，电容充电才能结束。但实际上，当 t=5 时， 电容已充电至 0.997U0，可以认为充电已经完成。例 11.5 如图 11.10 所示电路中，已知 ，电容的初FCRVUS 、 25.021始电压为零。当 t=0 时合

29、上开关 S，试求：（1）电路的时间常数；（2）电容上电压 和Cu电流 ；（3）开关合上后 时的电压 和电流 值。i s0Cui解 （1）电路的时间常数为sR 501025.6（2）电容上的电压和电流分别为 )()1()1() 410250tttSC eeeUtu 第 11 章一阶动态电路分析391mAeeeRUti ttttS 4102410241025.)( （3）将 分别代入电容电压、电流表达式中，得st20VeeuC 82.9)10)1(0)( 461204（mAesi .552042例 11.6 电路如图 11.10 所示，设 ，电容初始电压为零。外加电源FCR2.0,8如图 11.1

30、2（a）所示。试求换路后电容上的电压和电流。Su图 11.12 例 11.6图解 因为外施激励是一个矩形脉冲，t 在 02s 时 ，电容相当于从零开始被VUS10充电（并未充电到 10V） ；t2s 时， ，此时外施激励为零，而电容却储存有电能，VUS0相当于 RC 电路的零输入响应。电路的时间常数 sRC25.8当 时，根据 RC 电路的零状态响应公式得st20VeetuttC)1(0)1(0)5.2 )20(stAi tt.5.8因为当 t2s 时，电容开始放电，需计算出 t=2s 时电容的电压，即求出 )2(CuVeeuUC 32.6)1(0)1(0)2(25.0 Ai46.5.当 t2

31、s 时，根据 RC 电路的零输入响应公式得VeeUtuttC)2(5.0203)( )2(st)(.8.6)(ttRti Aet)(5.079)st负号说明电流方向与参考方向相反,电容上电压、电流变化曲线分别见图 11.12（b） 、11.12（c） 。 第 11 章一阶动态电路分析39211.3.3 RL 电路的零状态响应如图 11.13 所示的 R、L 串联电路，设外施激励为直流电压源 ，电感 。当SU0)(Li时合上开关 S，该电路实质上就是电感从电源吸收能量转换为磁场能储存起来的响应0t过程。分析图 11.13，各元件电流电压参考方向如图所示，换路后，由 KVL 得SLRUu把电阻、电

32、感元件 VCR 关系idtiLu代入上式得：SURit这是一个关于 的一阶常系数线性非齐次微分方程，)(iL此方程的解由下式解得图 11.13 RL电路的零状态响应 )()(“titiLL其中 为方程的一个特解，与外加激励有关，与 RC 电路零状态响应相似，也称为)(tiL强制分量，由方程可以看出， 为该方程的一个特解，因此取 。 为与该RUS RUtiSL)( )(“tiL方程对应的齐次方程 0idtL所求得的通解相同，与外加激励无关，也称为自由分量。tLAeti)(“其中 的求法与 RL 电路零输入响应相同， 为待定系数，得tSLRUti)(代入初始条件 0()0(LiiAeSS0RUA最

33、后解得电感上的电流为(11.15)()1tSLite ） )0(t由 、 可得SLRUuiR图 6-34电 路 的 零 状 态 响 应RL第 11 章一阶动态电路分析393(11.16)） tSReUtu1() )0(t(11.17)SRLtt)( t的波形如图 11.14 所示。)()(tuttiRL、 -UsRUs图 6-35 RL电 路 的 零 状 态 响 应 L图 11.14 RL电路的零状态响应波形电感电流由零按照指数规律逐渐增大，最终接近于稳定值 。电感电压开始时最大，RUS为电源电压 ，然后逐渐减小，最终衰减到零，电阻电压变化则与电感电压变化规律相反。SU电路达到新的稳态后，电感

34、相当于短路，其储存的能量为 。 2)(1RLS思考与练习11.3-1 题 11.3-1 图所示电路中，直流电压源电压 ，电路 、 3210RVUS原先已达稳定，在 时开关 S 由 1 接至 2，试求换路后电容的电压和电流。0t11.3-2 的 RC 串联电路接到 的直流电压源。0)(1CuFKR、 、 S试求：（1）充电电流的最大值；（2）经过 0.015s 时电容的电压和电流。11.3-3 的 RC 串联电路接到 的直流电压源，若接通后)0(2C、 VUS3610s 时电容的电压为 32V，试求电阻 R 的阻值。11.3-4 题 11.3-4 图所示电路中，直流电压源电压 S4R、1LH、，

35、电路原先已达稳定，在 时开关 S 合上。试求换路后电感的电流和电压。(0)Li0tucuL题 11.3-1图 题 11.3-4图第 11 章一阶动态电路分析39411.4 一阶电路的全响应及其分解本节讲述的是在既有外加激励而且电容和电感的初始储能都不为零的情况下的一阶 RC和 RL 电路的响应过程.11.4.1 全响应初始值为非零状态的电路在独立源作用下的响应称全响应(complete response)。第二节和第三节介绍的零输入响应和零状态响应都是全响应的特例。1 RC电路的全响应下面分析 RC 电路的全响应。在图 11.10 所示电路中，假设电容 ，其余条0)(UuC件不变，试求换路后的

36、 。、 )()(tutiuRC由 KVL 定律，换路后SCU其解仍为 tSAeut “)(式中 与 RC 电路零状态响应中的含义相同，把初始条件 代“u、 0)()0(UuC如上式，得UeSS00A最后得到电容上电压的全响应为(11.18)0()()tCSSute )0(电阻电压、电容电流的全响应为(11.19)tSSRUtUt )()( 0)(11.20)teRui t2 RL电路的全响应按照相同的方法来分析 RL 电路的全响应，在图 11.13 所示电路中，设电感 ，0)(IiL其余条件不变，试求换路后的 。、 )()(tuttiRL电感上的电流为tSLAeUiti “)(把初始条件 代入

37、，得0)0(IiiLRAeSS RUIS0最后得电感上的电流为第 11 章一阶动态电路分析395(11.21)0()()tSSLUitIeR )0(t电感上电压、电阻上电压分别为(11.22)tSSReIitu)()(0)0(t(11.23)tRLUtt)图 11.15 作出了 RC 电路中各 响应的变化曲线。 图 6-41 U00）Vet42542 )15()0()( tteiiti （t0）Aet41和 的变化曲线如图 11.18 所示)(tuC2i第 11 章一阶动态电路分析400VuC Ai225 55 1st st图 11.18 uc（t）和 i2（t）的变化曲线例 11.8 电路如

38、图 11.19（a）所示，已知直流电压源的电压 ，电流源VUS6， ， ， 。电路原已稳定，试求换路后电感电流 和AIS21R132RHL.0 )(ti电阻 上的电压 。)(tu电 路U(b)t=0+等 效 电 路 图(c)稳 态 (d)等 效 电 阻图 11.19 例 11.8用图解 （1）求 )0(ui、电路原已稳定，电感相当于短路，所以A326)(1RUiS需在换路后最初一瞬间来求，作 时的等效电路图，在图 11.19（b）所示的)0(u 0t等效电路图中，电感相当于电流源（其中 并联组合已变换为 与 的串联组合） 。3IS、 SIR3根据弥尔曼定律第 11 章一阶动态电路分析401VR

39、IiUuSSab 12361)0()0(3231 根据 可知32R )0()0()(3uIuuSabV5.21（2）求稳态响应 、i在稳态电路中，电感相当于短路，如图 11.19（c）所示，很显然 ARIUiSS41321 Vu3（3）求时间常数 从 L 两端看过去的戴维南等效电阻 如图 11.19（d）所示，将电压源看成短路、电eqR流源看成开路， 相当于 串联后再和 并联，即eqR32和 12)(321Req= sLeq1.0（4）根据三要素公式求 和)(tiuAeeiiti ttt 101.0 4)3(4)0()( Vutu ttt . 5.5.思考与练习11.5-1 试求图 11.5-

40、1 所示各图所示电路的时间常数。 (b)第 11 章一阶动态电路分析402v(c)2515 1 F题 11。5-1 图11.5-2 如题 11.5-2 图所示电路，已知直流电压源电压 、 、 63122RVUS，电路原已稳定。当 t=0 时合上开关，试用三要素法求换VuFCRC0)(103、 、路后的 。)(tiu、 cuc题 11.5-2图 题 11.5-3图11.5-3 如题 11.5-3 图所示电路，已知直流电压源电压 、 、 36921RVUS,电路原已稳定。当 t=0 时合上开关，试用三要素法求换路后的VuFCC0)(5.0、。)(t11.5-4 如 题 11.5-4 图 所 示 电

41、 路 ， 已 知 直 流 电 压 源 电 压 1231S、,电路原已稳定。当 t=0 时打开开关，试用三要素法求换路后的 。LH )(tiuL、第 11 章一阶动态电路分析403题 11.5-4图11.6 一阶电路的阶跃响应本节我们将讲述当外加激励为阶跃函数加在一阶电路时所产生的响应.11.6.1 阶跃函数1. 单位阶跃函数单位阶跃函数( unit step function)是一种奇异函数(如图 11.20a),其定义为)0( 1)tt即它在(0 _,0+)时域内发生了单位阶跃, 单位阶跃函数可以描述图 11.20b 所示电路的开关动作,它表示在 t=0 时把电路接到单位直流电压时 u(t)

42、的值。(a) (b)图 11.20 单位阶跃函数2. 延迟的单位阶跃函数若单位阶跃函数的起始时刻不是 t=0 而是 t=t0,即)( 10)(tt(t-t 0)可看成是把 (t)在时间轴上移动了 t0后的结果,因此,称之为延迟的单位阶跃函数(如图 11.21 所示).01u(t)t1V+u(t)_t=0 RC1(t-t0)0 t0 t第 11 章一阶动态电路分析404图 11.21 延迟的单位阶跃函数11.6.2 阶跃响应我们把电路对于单位阶跃输入的零状态响应称为电路的阶跃响应(step response)。它是由外加单位阶跃激励所引起的，由于在 t0-时，外加激励恒为零，因而在 t=0-时电

43、路中储能元件所储存的能量全为零，所以阶跃响应是零状态响应。其计算方法与前述零状态响应的计算方法完全相同，不过为表示此响应仅适用于 t0+,可在所得结果的后面乘以单位阶跃函数 (t)。例 11.9电路如图 11.22 所示,已知：i S(t)作用于电路，u C(0)=0，求：u C(t) t0。图 11.22 例 11.9用图解 首先把 iS(t)分成两项：即 )()(0tIttiS其中为阶跃输入信号， 为延迟阶跃输入信号。)( tItiSS )()(0 tItiSS作用时，tiS 1( teRItuRCSC作用时，)(ti )() 0)(1 0ttt由叠加定理可得 )(1)( 0)(0teRI

44、teItu tRCSCtSC 电路响应波形如图 11.23 所示图 11.23实际上，只要知道了电路的单位阶跃响应，就能求出任意直流激励作用下的零状态响应，其响应为单位阶跃响应乘以该直流激励的大小。思考与练习11.6-1 试写出题 11.6-1 图所示波形的函数表达式。第 11 章一阶动态电路分析405题 11.6-1图11.6-2 如果单位阶跃激励引起的电容电压为 ，则延迟单位阶跃激)(1()tetuC励引起的电容电压为 ，为什么？)(1()0)(0tetutC11.7 一阶动态电路分析的应用本节我们从微分电路和积分电路着手,运用上面几节所讲述的一阶动态电路的分析方法来分析微分电路和积分电路

45、中的输出电压波形和输入电压波形之间的特定(微分或积分)关系.11.7.1 微分电路如图 11.24 所示 的 RC 电路（u C(0-)=0） 。输入的是矩形脉冲电压 u1(如图 11.25 所示)，在电阻 R 两端输出的电压为 u2，则 u2= uR 。输出电压 u2 的波形同电路的时间常数 和脉冲宽 tp 的大小有关。当 tp 一定时，改变 的值，电容元件充放电的快慢就不同，而且 和 tp 的比值发生了改变则输出电压 u2 的波形也就不同.图 11.25矩形脉冲电压 图 11.24 微分电路在图 11.24 中，设输入矩形脉冲 u1 的幅度为 U =6 伏。当 =10 tp 和 t=t1=

46、tp 时，0.126.95.43tuUeV由于 tp ，电容充电很慢，在经过一个脉冲宽度（t=t p）时，电容器上只充到（6-5.43）=0.57 V，而剩下的 5.43 V 加在电阻两端。这时，输出电压 u2 和输入电压 u1 的波形很相近，电路就成为一般的阻容耦合电路(即电容相当于短路 ).随着 和 tp 的比值的减小，在电阻两端逐步形成正、负尖脉冲输出如图 11.26 所示。例 11.10在图 11.24 的电路中，R=20k ，C=100pF.输入信号 u1 为一矩形脉冲如图11.26，其幅值 U=6V,脉冲宽度 tp=50. 试分析和作出输出电压 u2 的波形，设电容元件原先未储能。解 31262010RCs 0u(t)1122 3 t第 11 章一阶动态电路分析406是输入电压宽度的二十五分之一， tp；（2）输出信号从电容两端