1、 数学建模作业姓名： 王士彬学院： 计算机科学与技术 班级： 2014 级计科 2 班学号： 2014001300701.在区域 x -2,2,y -2,3内绘制函数 z=exp(-x2-y2)曲面图及等值线图。解：曲面图如下： x=-2:0.5:2; y=-2:0.5:3; X,Y=meshgrid(x,y); Z=exp(-X.2-Y.2); mesh(X,Y,Z) 等值线图如下： x=-2:0.5:2; y=-2:0.5:3; X,Y=meshgrid(x,y); Z=exp(-X.2-Y.2); mesh(X,Y,Z) surf(X,Y,Z) surf(X,Y,Z) contour(X
2、,Y,Z) 2.已知一组观测数据，如表 1 所示.(1)试用差值方法绘制出 x -2,4.9区间内的光滑曲线，并比较各种差值算法的优劣.(2)试用最小二乘多项式拟合的方法拟合表中的数据，选择一个能较好拟合数据点的多项式的阶次，给出相应多项式的系数和偏差平方和.(3)若表中数据满足正态分布函数 .试用最小二乘非线性拟合2/)(21)(xexy的方法求出分布参数 值，并利用锁求参数值绘制拟合曲线，观察拟合效果.,解：(1)分别用最领近插值，分段线性插值（缺省值），分段三次样条插值，保形分段三次插值方法绘制在 x -2,4.9的光滑曲线，图形如下：样条插值效果最好，其次线性插值，最近点插值效果最差，
3、在这里效果好像不太明显。最近点插值优点就是速度快，线性插值速度稍微慢一点，但效果好不少。所以线性插值是个不错的折中方法。样条插值，它的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了这个目的，它们不得不利用到周围若干范围内的点，不过计算显然要比前两种大许多。MATLAB 文件如下： x0=-2:0.3:4.9; y0=0.10289 0.11741 0.13158 0.14483 0.15656 0.16622 0.17332 0.17750 0.17853 .0.17635 0.17109 0.16302 0.15255 0.1402 0.12655 0.11219 0.09768 0.08353 .
4、0.07015 0.05876 0.04687 0.03729 0.02914 0.02236; cx=-2:0.3:4.9; y1=interp1(cx,y0,cx,nearest); y2=interp1(cx,y0,cx,linear); y3=interp1(cx,y0,cx,spline); y4=interp1(cx,y0,cx,cubic); subplot(2,2,1),plot(cx,y0,o,cx,y1,-r),title(Nearest Interpolant); subplot(2,2,2),plot(cx,y0,o,cx,y1,-k),title(Linear Int
5、erpolant); subplot(2,2,3),plot(cx,y0,o,cx,y1,-b),title(Spline Interpolant); subplot(2,2,4),plot(cx,y0,o,cx,y1,-k),title(Cubic Interpolant); subplot(2,2,1),plot(cx,y0,o,cx,y1,-r),title(Nearest Interpolant);(2),从图形可以看出曲线函数遵从幂函数的形式，设幂函数形式为： 可化为xy即把非线性函数转化为线性函数，原线性函数形式为.lnlnxy 01)(ap由此我们可以得出 p(x)等价于 lny
6、;x 等价于 lnx; ，1a0ln我们可以先求出 。0,1a求一个线性多项式 使之在最小二乘准则下拟合这些观测值，问题即化01)(axp为求 使 E( )= 利用多元函数极值原理可知，若目标函数 E(1,0a1,0 2101, )(miniiay)的极小值存在，一定有 ，用 MATLAB 工具我们可以求得最后的结1,0 ,0E1a果。 log(x0); log(y0); x0=log(x0); y0=log(y0); n=length(x0); a=sum(x0); b=sum(y0); c=sum(x0.*y0); d=sum(x0.2); a0=(d*b-c*a)*(n*d-a2); a
7、1=(n*c-a*b)/(n*d-a2); a0,a1a0 =-2.5891e+05 - 1.7515e+06ia1 =0.1045 - 0.3558i即系数 a0 为 -2.5891e+05 - 1.7515e+06i，a1 为 0.1045 - 0.3558i其相应多项式的系数和偏差平方和.我们可以求出 E= -7.2019e+13 + 2.1767e+13i其 MATLAB 文件如下： Y=a1*x0+a0; e=Y-y0; E=sum(e.2)E =-7.2019e+13 + 2.1767e+13i即其相应多项式的系数和偏差平方和.为 -7.2019e+13 + 2.1767e+13i
8、(3)？3.将某物体放置在空气中，在 t=0 时刻测得其温度 u0=150 度，10min 后测得温度 u1=87 度，假设空气的温度为 24 度。试建立数学模型给出物体的温度 u 与时间 t 的关系，并计算 20min 后物体的温度。 解：为了解决上述问题，我们首先需要了解有关热力学的一些基本规律：比如：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度与这物体的温度和其所在介质的温度的差值成正比例。这是已为实验证明了的牛顿冷却定律。设空气的温度为 ua ,物体在时刻 t 的温度为 ，则温度的变化速度)(tu为 。注意热量总是从温度高
9、的物体向温度低的物体传导的，因而初始温dtu度大于空气温度，即（u 0ua ） ， 所以温差 u-ua 恒正；又因为物体的温度将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度 恒负。因此，由牛顿冷却定律得到dtu(1)(uKdt这里的 K0 是比例常数。此（ 1）方程就是冷却过程的数学模型。为了确定温度 u 与时间 t 的关系，我们需要从上面（ 1）的方程中解出u。又因为 ua 是常数，并且 u-ua0,所以我们可以将上述式子改写成将此式积分可得到如下式子dta)(1lncK)()1(Ktceteua即 u=ua+ce(-Kt)根据初始条件：t=0 时，u=u 0 代入上式得c=u0-ua于是 u=u0+(
10、u0-ua)e(-Kt)又根据条件，当 t=10 时， u=u1 代入上式得u1=ua+(u0-ua)e(-10K)(u0-ua)/(u1-ua)lnK根据题意我们可知 u0=150，u 1=87,ua=24,代入得到K= = =0.069248750l1ln从而 u=24+126e(-0.069t)这就是物体冷却时温度 u 随着时间 t 的变化规律。用 t=20 代入得 u=55.7 度4.假设在某商场中，某种商品在 t 时刻的价格为 P(t)，若假定其变化率与商品的需求量 D 和供给量 S 之差成正比(比例系数为 k),若dPcba,其中 均为正常数，若已知初始价格为 Po,求任意时刻 t
11、 时该商品的价格。dcba,解：一般情况下，某种商品的价格主要服从市场供求关系，由题意我们可知商品需求量 D 是价格 P 的单调递减函数，商品供给量 S 是价格 P 的单调递增函数，即-(1)dcSba,其中 均为常数，且 b0,d0.dc,当需求量与供给量相等时，由(1)可得供求平衡时的价格 Pe= ，并称 Pedbca为均衡价格。由题意得： )(pSDkdtp其中比例系数 k0，用来反应价格的调整进度。将(1)式代入方程可得其中常数=k(b+d) 0，所以此方程的通解为P(t)=Pe+Ce(- t)由于初始价格 P(0)=P0 代入上式，得 C=P0-Pe 于是我们可以求出任意时刻价格 P
12、 与时刻 t 之间的函数为：P(t)=Pe+(P0-Pe)(- t)，并且我们可以得出，因为 0 知， 时 P(t) Pe， 说明随着时间的不t断推延，实际价格 P(t)将逐渐趋近均衡价格 Pe。5.农场种植计划问题某农场根据土地的肥沃程度，把耕地分为 I II III 三等，相应的耕地面积分别为 100、300 和 200km2,计划种植水稻、大豆和玉米 .要求三种作物的最低收获量分别为 190、130 和 350 吨(t).I、 II 、III 等耕地种植三种作物的单产如表所示.若三种作物的售价分别为水稻 1.2 元/kg,大豆 1.50 元/kg ，玉米 0.80 元/kg.那么(1)如
13、何制订种植计划，才能使总产量最大？(2)如何制订种植计划，才能使总产值最大？解：(1): 问题分析：确定种植最佳土地分配，即每种等级耕地分别种植水稻、大豆、玉米的面积模型建立：1，决策变量：令 x1,x2,x3 分别为 I II III 三等耕地上种植的水稻面积，令 x4,x5,x6 分别为 I II III 三等耕地上种植的大豆面积，令 x7,x8,x9 分别为 I II III 三等耕地上种植的玉米面积。且令为 xi（1c=11 9.5 9 8 6.8 6 14 12 10; A=-11 -9.5 -9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8 -6.8 -6 0 0 00 0 0 0 0
14、 0 -14 -12 -10; b=-190;-130;-350; Aeq=1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1; beq=100;300;200; vlb=0;0;0;0;0;0;0;0;0; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.x =17.27270.00000.000082.7273300.0000165.00000.00000.000035.0000fval =4.2318e+03即，模型的最优解为(17.2727 0.0
15、0.0 82.7273 300.0 165.0 0.0 0.0 35.0)T,目标函数最优值为 4.231 103即：x 1， x2， x3， x4， x5， x6， x7， x8， x9 值分别为 17.2727 0.0 0.0 82.7273 300.0 165.0 0.0 0.0 35.0，此时才能使总产量最大。(2)问题分析：根据题(1), 当要求得产值最大时,目标函数只需变成Max=1.2(11x1+9.5x2+9x3)+1.5(8x4+6.8x5+6x6)+0.8(14x7+12x8+10x9)=13.2x1+11.4x2+10.8x3+12x4+10.2x5+9x6+11.2x7
16、+9.6x8+8x9MATLAB 求解，部分文件如下： c=13.2 11.4 10.8 12 10.2 9 11.2 9.6 8; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.x =17.27270.00000.00000.000019.11760.000082.7273280.8824200.0000fval =5.6460e+03即，模型的最优解(17.2727 0.0 0.0 0.0 19.1176 0.0 82.7273280.8824 200.0)T 目标函数最优值 5.646 103即：x 1， x2， x3， x4， x5， x6， x7， x8， x9 值分别为 17.2727 0.0 0.0 0.0 19.1176 0.0 82.7273 280.8824 200.0，此时才能使总产值最大。
