1、11 22 组合教学目标:知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题。过程与方法:了解组合数的意义,理解排列数 mnA与组合数 之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算。情感、态度与价值观:能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。教学重点:组合的概念和组合数公式 奎 屯王 新 敞新 疆教学难点:组合的概念和组合数公式 奎 屯王 新 敞新 疆授课类型:新授课 奎 屯王 新 敞新 疆教 具:多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆第一课时一、复习引入:1奎 屯王 新 敞新 疆 分类加法计数原
2、理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有m种不同的方法,在第二类办法中有 2m种不同的方法,在第 n 类办法中有 nm种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆 那么完成这件事共有 1nN 种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 1种不同的方法,做第二步有 2m种不同的方法,做第 n 步有 m种不同的方法,那么完成这件事有 1nN 种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆3排列的概念:从 个不同元素中,任取 ( )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 奎
3、屯王 新 敞新 疆4排列数的定义:从 个不同元素中,任取 ( n)个元素的所有排列的个数叫做从 n个元素中取出 m元素的排列数,用符号 mnA表示 奎 屯王 新 敞新 疆5排列数公式: (1)2(1)nA ( ,Nn)6 奎 屯王 新 敞新 疆 阶乘: !表示正整数 1 到 的连乘积,叫做 的阶乘 奎 屯王 新 敞新 疆 规定 0!17排列数的另一个计算公式: mn= !() 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆8.提出问题: 示例 1:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动,其中 1 名同学参加上午的活动,1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?示例 2:
4、从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同的选法?引导观察:示例 1 中不但要求选出 2 名同学,而且还要按照一定的顺序“排列” ,而示例 2 只要求选出 2 名同学,是与顺序无关的 奎 屯王 新 敞新 疆 引出课题:组合 奎 屯王 新 敞新 疆mnC2二、讲解新课:1 奎 屯王 新 敞新 疆 组合的概念:一般地,从 n个不同元素中取出 mn个元素并成一组,叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个组合 奎 屯王 新 敞新 疆说明:不同元素;“只取不排”无序性;相同组合:元素相同 奎 屯王 新 敞新 疆例 1判断下列问题是组合还是排列(1)在北京、上海、广州三个民航站之
5、间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?(2)高中部 11 个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛?(3)从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法?(4)10 个人互相通信一次,共写了多少封信?(5)10 个人互通电话一次,共多少个电话?问题:(1)1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗?(2)什么样的两个组合就叫相同的组合2组合数的概念:从 n个不同元素中取出 mn个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的组合数用符号 C表示例 2用计算器计算 710
6、C解:由计算器可得例 3计算:(1) 47; (2) 710; (1)解: 65!C35;(2)解法 1: 70986547120解法 2: !3120第二课时33组合数公式的推导:(1)从 4 个不同元素 ,abcd中取出 3 个元素的组合数 34C是多少呢?启发:由于排列是先组合再排列,而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 34A可以求得,故我们可以考察一下 34C和 A的关系,如下:组 合 排列dcbbcdcbcd aaa,由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列,因此,求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 34A,可以分如下两步: 考虑从 4 个不同元素中取出
7、 3 个元素的组合,共有 34C个; 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列,各有 A种方法由分步计数原理得: 34 3,所以, 34AC(2)推广:一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 mn,可以分如下两步: 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 nC; 求每一个组合中 m 个元素全排列数 A,根据分步计数原理得: mnA C(3)组合数的公式: (1)2(1)!mnAnC或 )!(n ),mN且 奎 屯王 新 敞新 疆规定: 01nC.三、讲解范例:例 4求证: 1mnmnC证明: )!(n41!(1)mnnCm !()!)() !()nm 1nnC例 5设
8、 ,Nx 求 32132xx的值 奎 屯王 新 敞新 疆解:由题意可得: ,解得 4x, x, 2x或 3或 x,当 2时原式值为 7;当 时原式值为 7;当 4x时原式值为 11所求值为 4 或 7 或 115第三课时例 6 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是 11 人问:(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选出 11 名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?分析:对于(1),根据题意,17 名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一个从 1
9、7 个不同元素中选出 11 个元素的组合问题;对于( 2 ) ,守门员的位置是特殊的,其余上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组合问题解: (1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案有 C 手 12 376 (种) . (2)教练员可以分两步完成这件事情:第 1 步,从 17 名学员中选出 n 人组成上场小组,共有 17种选法;第 2 步,从选出的 n 人中选出 1 名守门员,共有 1C种选法所以教练员做这件事情的方法数有 17C=136136(种).例 7 (1)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有 10 个点,以其中每 2
10、 个点为端点的有向线段共有多少条?解:(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数,就是从 10 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数,即线段共有10945C(条).(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点,以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数,就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数,即有向线段共有 2109A(条).例 8在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的 3 件中至少有 1
11、 件是次品的抽法有多少种?解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数,所以共有10982C= 161700 (种).(2)从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 12C种,从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有 98种,因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12C=9506(种). 6(3)解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品,包括有 1 件次品和有 2 件次品两种情况在第(2)小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有 298C种,因此根据分类加法计数原理,抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有1298C+ 198
12、=9 604 (种) . 解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数,也就是从 100 件中抽出3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数,即31098=161 700-152 096 = 9 604 (种). 说明:“至少” “至多”的问题,通常用分类法或间接法求解。变式:按下列条件,从 12 人中选出 5 人,有多少种不同选法?(1)甲、乙、丙三人必须当选; (2)甲、乙、丙三人不能当选;(3)甲必须当选,乙、丙不能当选; (4)甲、乙、丙三人只有一人当选;(5)甲、乙、丙三人至多 2 人当选; (6)甲、乙、丙三人至少 1 人当选;例 9 (1)6 本不同的
13、书分给甲、乙、丙 3 同学,每人各得 2 本,有多少种不同的分法?解: 902426C(2)从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议,要求至少有 2 名男生和 1名女生参加,有多少种选法?解:问题可以分成 2 类:第一类 2 名男生和 2 名女生参加,有 25460C中选法;第二类 3 名男生和 1 名女生参加,有 31中选法 奎 屯王 新 敞新 疆依据分类计数原理,共有 100 种选法 奎 屯王 新 敞新 疆错解: 215460C种选法 奎 屯王 新 敞新 疆 引导学生用直接法检验,可知重复的很多 奎 屯王 新 敞新 疆例 104 名 男 生 和 6 名 女 生 组 成 至
14、 少 有 1 个 男 生 参 加 的 三 人 社 会 实 践 活 动 小 组 , 问 组 成方 法 共 有 多 少 种 ?解法一:(直接法)小组构成有三种情形:3 男,2 男 1 女,1 男 2 女,分别有 34C,1624C, 264,所以,一共有 3+ 1624C+ 264100 种方法解法二:(间接法) 0310 奎 屯王 新 敞新 疆7第四课时组合数的性质 1: mnC一般地,从 n 个不同元素中取出 个元素后,剩下 nm个元素因为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合,与剩下的 n m 个元素的每一个组合一一对应,所以从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,等于从这 n
15、 个元素中取出 n m 个元素的组合数,即: nC在这里,主要体现:“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 奎 屯王 新 敞新 疆证明: )!()!()!(nmn 又 !n, mnC 奎 屯王 新 敞新 疆说明:规定: 10n;等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标;此性质作用:当 2时,计算 mn可变为计算 mnC,能够使运算简化.例如 201C 201 0C=2002; ynx或 yx2组合数的性质 2: mn1 + 1mn一般地,从 ,a 这 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是 mnC1,这些组合可以分为两类:一类含有元素 1,一类不含有 1a含有 1的组合是从132,n
16、a这 n 个元素中取出 m 1 个元素与 组成的,共有 1mn个;不含有 1a的组合是从 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的,共有 C个根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想, “含与不含其元素”的分类思想证明: )!1()!(!1 nnmCn )!1(mn mC mn1 + 1n 说明:公式特征:下标相同而上标差 1 的两个组合数之和,等于下标比原下标多 1 而上标与大的相同的一个组合数;8此性质的作用:恒等变形,简化运算 奎 屯王 新 敞新 疆例 11一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球,(1)从口袋内取出 3 个球,共有多少种
17、取法?(2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法?(3)从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法?解:(1) 568C,或 827C3, ;(2) 217;(3) 357C例 12 (1)计算: 695437;(2)求证: nm2 + 1nm+ 2解:(1)原式 456564899102CC;证明:(2)右边 1212()()nnnnmmmmC左边 奎 屯王 新 敞新 疆例 13解方程:(1) 3213xx;(2)解方程: 3320xxxA解:(1)由原方程得 或 3, 4或 5,又由 2xN得 8x且 N,原方程的解为 x或 奎 屯王 新 敞新 疆上述求解
18、过程中的不等式组可以不解,直接把 4x和 5代入检验,这样运算量小得多.(2)原方程可化为 23310xxCA,即 53310xxCA, ()!(3)!210x, 10()!()!x, 2,解得 4x或 3,经检验: 4是原方程的解 奎 屯王 新 敞新 疆9第五课时例 14证明: pnmpnmC。证明:原式左端可看成一个班有 个同学,从中选出 n个同学组成兴趣小组,在选出的 n个同学中, 个同学参加数学兴趣小组,余下的 p个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在 个同学中选出 个同学参加数学兴趣小组,在余下的pm个同学中选出 pn个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然,两种选法是一致
19、的,故左边=右边,等式成立。例 15证明: 10mnnC mnnC0(其中 ) 。证明:设某班有 个男同学、 个女同学,从中选出 个同学组成兴趣小组,可分为 1类:男同学 0 个,1 个, 个,则女同学分别为 个, 1个,0 个,共有选法数为 mnn 0mn。又由组合定义知选法数为 mnC,故等式成立。例 16证明: 321nnC 12n。证明:左边= n= 3121nn n1,其中 inC1可表示先在 个元素里选 i个,再从 i个元素里选一个的组合数。设某班有 个同学,选出若干人(至少 1 人)组成兴趣小组,并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数 i分类( ,2i n) ,则选法总数即为原
20、式左边。现换一种选法,先选组长,有种选法,再决定剩下的 人是否参加,每人都有两种可能,所以组员的选法有 12n种,所以选法总数为 1n种。显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立。例 17证明: 322nnC 22)1(nn。证明:由于 iii1可表示先在 个元素里选 i个,再从 i个元素里选两个(可重复)的组合数,所以原式左端可看成在例 3 指定一人为组长基础上,再指定一人为副组长(可兼职)的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人,则有 12n种选法;若组长和副组长不是同一个人,则有 2)1(n种选法。共有 + 2)(2)1(n种选法。
21、显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立。例 18第 17 届世界杯足球赛于 2002 年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有 32 支球队有幸参加,他们先分成 8 个小组循环赛,决出 16 强(每队均与本组其他队赛一场,各组一、二名晋级 16 强) ,这支球队按确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠亚军,此外还要决出第三、四名,问这次世界杯总共将进行多少场比赛?10答案是: 642824C,这题如果作为习题课应如何分析 奎 屯王 新 敞新 疆解:可分为如下几类比赛:小组循环赛:每组有 6 场,8 个小组共有 48 场;八分之一淘汰赛:8 个小组的第一、二名组成 16 强,根据抽签规则,每两个队比
22、赛一场,可以决出 8 强,共有 8 场;四分之一淘汰赛:根据抽签规则,8 强中每两个队比赛一场,可以决出 4 强,共有4 场;半决赛:根据抽签规则,4 强中每两个队比赛一场,可以决出 2 强,共有 2 场;决赛:2 强比赛 1 场确定冠亚军,4 强中的另两队比赛 1 场决出第三、四名 共有 2场.综上,共有 642824C场 奎 屯王 新 敞新 疆四、课堂练习:1判断下列问题哪个是排列问题,哪个是组合问题:(1)从 4 个风景点中选出 2 个安排游览,有多少种不同的方法? (2)从 4 个风景点中选出 2 个,并确定这 2 个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?2 7名同学进行乒乓球擂台赛,
23、决出新的擂主,则共需进行的比赛场数为( )A B 1 C 7 D 6 3如果把两条异面直线看作“一对” ,则在五棱锥的棱所在的直线中,异面直线有( ) 15对 5对 30对 20对4设全集 ,Uabcd,集合 A、 B是 U的子集,若 A有 个元素, B有 个元素,且 AB,求集合 、 ,则本题的解的个数为 ( ) 2 21 C 7 D 35从 6位候选人中选出 人分别担任班长和团支部书记,有 种不同的选法 奎 屯王 新 敞新 疆6从 位同学中选出 人去参加座谈会,有 种不同的选法 奎 屯王 新 敞新 疆7圆上有 10 个点:(1)过每 2 个点画一条弦,一共可画 条弦;(2)过每 3 个点画
24、一个圆内接三角形,一共可画 个圆内接三角形 奎 屯王 新 敞新 疆8 (1)凸五边形有 条对角线;(2)凸 n五边形有 条对角线 奎 屯王 新 敞新 疆9计算:(1) 15C;(2) 346810 ,ABDE个足球队进行单循环比赛, (1)共需比赛多少场?(2)若各队的得分互不相同,则冠、亚军的可能情况共有多少种? 11空间有 10 个点,其中任何 4 点不共面, (1)过每 3 个点作一个平面,一共可作多少个平面?(2)以每 4 个点为顶点作一个四面体,一共可作多少个四面体?12壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张,一共可以组成多少种币值?13写出从 ,abcde这 5个元素中每次取出 4个
25、的所有不同的组合 奎 屯王 新 敞新 疆答案:1. (1)组合, (2)排列 奎 屯王 新 敞新 疆 2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 15 117. (1)45 (2) 120 8. (1)5(2) (3)/2n 9. 455; 7 奎 屯王 新 敞新 疆 10. 10; 20 奎 屯王 新 敞新 疆11. 310C; 410 奎 屯王 新 敞新 疆12. 24425 奎 屯王 新 敞新 疆13. ,abcd; ,abce; ,abde; ,acde; ,bcde 奎 屯王 新 敞新 疆五、小结 :组合的意义与组合数公式;解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定是排列问题
26、还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理 奎 屯王 新 敞新 疆 学生探究过程:(完成如下表格)名 称 排 列 组 合定义 种数 符号 计算公式关系 性质 ,六、课后作业: 奎 屯王 新 敞新 疆名称内容分类原理 分步原理定 义相同点不同点 12七、板书设计(略) 奎 屯王 新 敞新 疆八、教学反思:排列组合问题联系实际生动有趣,题型多样新颖且贴近生活,解法灵活独到但不易掌握,许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施,尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时,可考虑换位思考将其等价转化,使问题变得简单、明朗。教科书在研究组合数的两个性质 mnC, 11mnnC时,给出了组合数定义的解释证明,即
27、构造一个组合问题的模型,把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法,由组合个数相等证出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧,把枯燥的公式还原为有趣的实例,能极大地激发学习兴趣。本文试给几例以说明。教学反思:1 注意区别“恰好”与“至少”从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种2 特殊元素(或位置)优先安排将 5 列车停在 5 条不同的轨道上,其中 a 列车不停在第一轨道上,b 列车不停在第二轨道上,那么不同的停放方法有种3“相邻”用“捆绑” , “不邻”就“插空”七人排成一排,甲、乙两人必须相邻,且甲、乙都不与丙相邻,则不同的排法有多少种4、混合
28、问题,先“组”后“排”对某种产品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品,一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第 5 次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能?5、分清排列、组合、等分的算法区别(1)今有 10 件不同奖品,从中选 6 件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分给三人,其中 1 人一件 1 人二件 1 人三件, 有多少种分法?(3) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分成三份,每份 2 件, 有多少种分法? 6、分类组合,隔板处理从 6 个学校中选出 30 名学生参加数学竞赛,每校至少有 1 人,这样有几种选法?