1、1二一五年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷标准答案一、填空题（共 10 小题，每小题 7 分，满分 70 分）1已知 的外接圆半径为 R，且 （其中 a、b 分别是 、ABC BbaCAsin)2()sin(i22 A的对边） . 那么 的大小为_.答案：452集合 , , , 则 的取值范围是_2135xa3Bx()a答案： .8,4,3 被 8 除所得的余数是_.102910166CC答案：54在数列 中， 对所有的正整数 n 都有 ，则 .na12,a21na2015a答案：-105如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABC90，PA平面 ABCD，PA3，AD2，
2、AB 2 ，BC6.则二面角 PBDA 的大3小为_答案：60.6设双曲线 的左右焦点分别为 ，A 是双曲线210,xyab12,F渐近线上的一点， ,原点 O 到直线 的距离为 ,则双曲线的离心率为 .21AF1A13O答案： 67已知 两个互相垂直的单位向量，且 ,则对任意的正实数 t， 的最小值是,ab 1cabA 1|cabt_.答案：8若关于 x 的方程 有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为_.24kx答案： 1k9设 ， 是正实数，且 ，则 的最小值是 .xy1xy21xy答案： 1410设 是定义在整数集上的函数，满足条件： ；对任意的 都有()fx (1),2)0ff,xy
3、，则 =_.1)()fyfyfxfy(205f2答案：-1二、解答题（共 5 小题，满分 80 分）11（本小题满分 14 分）已知函数 f(x)2sin 2( x) cos 2x.4 3（）求 f(x)的最小正周期和单调递减区间；（）若 f(x)m2 在 x0， 上恒成立，求实数 m 的取值范围6解析：（）f(x )1cos( 2x ) cos 2x2 3(sin 2x cos 2x)132sin(2x )1，3f(x)的最小正周期 T ，22由 2k 2x 2k ，k Z 可得 k xk ，kZ ，2 3 2 512 12f(x)的单调递减区间为k ，k (kZ)7 分512 12（）x0
4、 ， ， 2x ， sin(2x )1，6 3 323 3当 sin(2x ) 时，f(x )取得最大值为 1 ，即 f(x)max1 .3 3 3要使 f(x)m2 恒成立，需 f(x)maxm2，1 m2，解得 m1 ，3 3m 的取值范围是(1 ， )14 分312（本小题满分 14 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元 )关于当天需求量 n(单位：枝，nN) 的函数解析式(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理
5、得下表：日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20频数 10 20 16 16 15 13 10以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元) ，求 X 的分布列、数学期望及方差若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由解 (1)当日需求量 n16 时，利润 y80.当日需求量 n16 时，利润 y10n80.所以 y 关于 n 的函数解析式为yError!(nN) 6 分(2)X 可能的取值为 60,70,80，并且 P(X60)0.1，P(X70)0.2
6、，P( X80)0.7.X 的分布列为X 60 70 80P 0.1 0.2 0.7X 的数学期望为 E(X)600.1700.2 800.776.X 的方差为 D(X)(6076) 20.1(7076) 20.2(8076) 20.744.方法一 花店一天应购进 16 枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为Y 55 65 75 85P 0.1 0.2 0.16 0.54Y 的数学期望为 E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y 的方差为 D(Y)(5576.4) 20.1(6576.4) 20.2(757
7、6.4) 20.16(8576.4) 20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小3另外，虽然 E(X)E(Y)，但两者相差不大故花店一天应购进 16 枝玫瑰花14 分方法二 花店一天应购进 17 枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为Y 55 65 75 85P 0.1 0.2 0.16 0.54Y 的数学期望为 E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E (Y)，即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 1
8、6 枝时的平均利润故花店一天应购进 17 枝玫瑰花13. （本小题满分 16 分）数列 满足 ， .na12112()()nnaaN（）设 ，求数列 的通项公式；2nbanb（）设 ，数列 的前 项和为 ，求 .1()nncncnS解：（）由已知可得 ，即 ，即12()2nnaa12na12nb而 212121,(),2bbb 累加得 ，213()n n又 8 分22121,nba（）由（1）知 ， ，12nnb21()na2 211111()()()()22()nnnnnnnnc 231223 11( 2 ()nn nnS 16 分2 11) ()()1n nn14. （本小题满分 18 分
9、）已知函数 .lxaf4（）若函数 上为单调增函数，求 的取值范围；()0,)fx在 a（）设 2():ln.mnm求 证解析：（I） 5 分21()1()axf222()1.()xxax因为 上为单调增函数，所以 上恒成立.0,fx在 0(,)f在22()1(,).1,10,2.(),(0).(.1,)2aaxaxgxgx即 在 上 恒 成 立当 时 由 得设所 以 当 且 仅 当 即 时 有 最 小 值22.a所 以故 的取值范围是 10 分(,（II） 只需证2)ln,mn要 证2(1)l.mn只需证 14 分(1)ln0.2()()l.1xhx设由（I）知 上是单调增函数，又 ，(0,
10、)在 1mn2(1)()1,ln0.mhn所 以 即 成 立所以 18 分.l215 （本小题满分 18 分）已知椭圆 C: 的左右焦点设 ， 与椭圆短轴的一个端210yxab1F2点构成边长为 4 的正三角形.（）求椭圆 C 的标准方程； （）过椭圆 C 上任意一点 P 做椭圆 C 的切线与直线 的垂线 相交于点 M，求点 M 的轨迹方程；1FP15（）若切线 MP 与直线 x=-2 交于点 N，求证： 为定值.1|FM解析：（）依题意，2c=a=4， c=2，b= ； 椭圆 C 的标准方程为 ； 4 分23216yx（）设 ，由（ ） ， ，设 ，0(,)Pxy1(,0)0(,)Pxy(,
11、)过椭圆 C 上过 P 的切线方程为： ， 62xy直线 的斜率 ，则直线 的斜率 ，1F102Fyk1MF102Fxky于是，则直线 的方程为： ，1M0(2)xy即 ， 0(2)yx 联立，解得 x = -8， 点 M 的轨迹方程为 x = -8. 10 分（）依题意及（） ，点 M、N 的坐标可表示为 、 ，(8,)My(2,)Ny点 N 在切线 MP 上，由式得 ，03()2xy点 M 在直线 上，由式得 ，1F06()M， ，02219(8)| 4Nxy 022221 36()|()8MyxF ， 0022 22 01 2() ()|36()6yxFxy注意到点 P 在椭圆 C 上，即 ，201于是 代人式并整理得 ， 的值为定值 . 18 分02048xy21|4NFM1|NF12
