1、2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 1 -2000 年全国高中数学联合竞赛试卷(10 月 15 日上午 8:009:40)一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)1设全集是实数,若 A=x| 0,B=x |10 =10x, 则 A RB 是( )x 2x2 2 (A)2 (B)1 (C)x|x2 (D) 2设 sin0 , cos0 , 且 sin cos , 则 的取值范围是( )3 3 3(A)(2k+ , 2k+ ), kZ (B)( + , + ), k Z6 3 2k3 6 2k3 3(C)(2k+ , 2k+), k Z (D)(2k+ , 2k+ )56 4 3(2
2、 k+ , 2k+), k Z563已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,ABC 是等边三角形,则 ABC 的面积是 ( )(A) (B) (C)3 (D)633 332 3 34给定正数 p, q, a, b, c,其中 pq,若 p, a, q 是等比数列,p, b, c, q 是等差数列,则一元二次方程 bx22ax+c=0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y= x+ 的距离中的最小53 45值是( )(A) (B) (C) (D) 34170
3、 3485 120 1306设 =cos +isin ,则以 , 3, 7, 9 为根的方程是( )5 5(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0(C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0二填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)1arcsin(sin2000)=_2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 2 -2设 an 是(3 )n 的展开式中 x 项的系数(n=2 , 3, 4, ),则 ( +x limn 32a2+ )=_.33a3 3nan3等比数列 a+log23, a+log43, a+log83 的公比是 _.4在椭圆 +
4、 =1 (ab0) 中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的x2a2y2b2端点为 B.若该椭圆的离心率是 ,则ABF=_.5 125一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是_.6如果:(1)a,b,c ,d 都属于1,2,3,4;(2)ab,b c,c d,da;(3)a 是 a, b,c ,d 中的最小值,那么,可以组成的不同的四位数 的个数是_ abcd三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)1设 Sn=1+2+3+n, nN*,求 f(n)= 的最大值Sn(n+32)Sn+12000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 3 -2若函数 f(x)=
5、 x2+ 在区间a , b上的最小值为 2a,最大值为 2b,求12 132a, b3已知 C0:x 2+y2=1 和 C1: + =1 (ab0) 试问:当且仅当 a,b 满x2a2y2a2足什么条件时,对 C1 上任意一点 P,均存在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结论2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 4 -2000 年全国高中数学联赛二试题(10 月 15 日上午 1000-1200)一 (本题满分 50 分)如图,在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足BAE=CAF,作 FMAB,FNAC (M 、N 是垂足) ,延长 AE
6、 交三角形 ABC 的外接圆于D证明:四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等二 (本题满分 50 分)设数列a n和b n 满足 a0=1,a 1=4,a 2=49,且n=0,1,2,an+1=7an+6bn 3,bn+1=8an+7bn 4 )证明 a n(n=0,1,2, )是完全平方数三 (本题满分 50 分)有 n 个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意 n2个人之间通电话的次数相等,都是 3 k 次,其中 k 是自然数,求 n 的所有可能AB CDE FMN2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 5 -值2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 6 -2000
7、年全国高中数学联合竞赛试题解答第一试一选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)1设全集是实数,若 A=x| 0,B=x |10 =10x, 则 A RB 是( )x 2x2 2 (A)2 (B)1 (C)x|x2 (D) 解:A=2,B= 2,1,故选 D2设 sin0 , cos0 , 且 sin cos , 则 的取值范围是( )3 3 3(A)(2k+ , 2k+ ), kZ (B)( + , + ), kZ6 3 2k3 6 2k3 3(C)(2k+ , 2k+), k Z (D)(2k+ , 2k+ )56 4 3(2 k+ , 2k+), kZ56解:满足 sin0,cos 0
8、 的 的范围是(2k + ,2k +),于是 的取值范2 3围是( + , + ),2k3 6 2k3 3满足 sin cos 的 的取值范围为(2k + , 2k+ )故所求范围是3 3 3 4 54(2k+ , 2k+ )(2 k+ , 2k+), kZ选 D4 3 563已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,ABC 是等边三角形,则 ABC 的面积是 ( )(A) (B) (C)3 33 332 3(D)6 3解:A (1, 0),AB 方程: y= (x+1),代入双曲线方程,33解得 B(2, ),3 S=3 选 C34给定正数 p, q
9、, a, b, c,其中 pq,若 p, a, q 是等比数列,ACByxO2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 7 -p, b, c, q 是等差数列,则一元二次方程 bx22ax+c=0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根解:a 2=pq,b+c=p+ qb= ,c= ;2p+q3 p+2q3=a 2bc=pq (2p+q)(p+2q)= (pq) 2|b|,从而 f(a)是最小值f(b)17= b2+ = =2a0与 a0 矛盾故舍12 132 3932 0ab此时,最大值为 f(a)=2b,最小值为 f(b)=2a b2+ =2a
10、a2+ =2b相减得 a+b=4解得 a=1,b=312 132 12 132 a, b=1,3或2 , 171343已知 C0:x 2+y2=1 和 C1: + =1 (ab0) 试问:当且仅当 a,b 满x2a2y2a2足什么条件时,对 C1 上任意一点 P,均存在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结论2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 10 -解:设 PQRS 是与 C0 外切且与 C1 内接的平行四边形易知圆的外切平行四边形是菱形即PQRS 是菱形于是 OPOQ 设 P(r1cos,r 1sin),Q(r 2cos(+90),r2sin(+90)
11、,则在直角三角形 POQ 中有r12+r22=r12r22(利用POQ 的面积) 即 + =11r211r22但 + =1,即 = + ,r21cos2a2r22sin2b21r21 cos2a2 sin2b2同理, = + ,相加得 + =11r22 sin2a2 cos2b2 1a2 1b2反之,若 + =1 成立,则对于椭圆上任一点 P(r1cos,r 1sin),取椭圆上1a2 1b2点 Q(r2cos(+90),r 2sin(+90),则 = + , , = + , ,于是1r21 cos2a2 sin2b21r22 sin2a2 cos2b2+ = + =1,此时 PQ 与 C0
12、相切即存在满足条件的平行四边形1r211r22 1a2 1b2故证第二试一 (本题满分 50 分)如图,在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足BAE=CAF,作 FMAB,FNAC (M 、N 是垂足) ,延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于D证明:四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等证明:连 MN,则由 FMAM ,FNAN 知A、 M、 F、 N 四点共圆,且该圆的直径为 AF又AMN=AFN,但FAN=MAD ,故MAD+AMN=FAN+AFN=90MNAD,且由正弦定理知,MN=AF sinAS AMDN= ADMN= ADAFsinA12 12连 BD
13、,由ADB= ACF, DAB=CAF,得ABD AFC AD AB=ACAF ,即 ADAF=ABACRPQSyxOAB CDEMNF2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 11 - S AMDN= ADAFsinA= ABACsinA=SABC12 12二 (本题满分 50 分)设数列a n和b n 满足 a0=1,a 1=4,a 2=49,且n=0,1,2,an+1=7an+6bn 3,bn+1=8an+7bn 4 )证明 a n(n=0,1,2, )是完全平方数证明 7: 7an+1=49an+42bn21,6:6b n+1=48an+42bn24两式相减得,6b n+17 an+1=
14、a n3,即 6bn=7ana n1 3代入:a n+1=14ana n1 6故 an+1 =14(an )( an1 )12 12 12其特征方程为 x214x+1 =0,特征方程的解为 x=74 3故 an=(7+4 )n+(74 )n+ ,现 a0=1,a 1=4,a 2=49解得 = 3 312 14 a n= (7+4 )n+ (74 )n+ = (2+ )2n+ (2 )2n+14 3 14 3 12 14 3 14 3 12= (2+ )n+ (2 )n212 3 12 3由于 (2+ )n+ (2 )n是整数,故知 an 是整数的平方即为完全平方12 3 12 3数三 (本题满
15、分 50 分)有 n 个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意 n2个人之间通电话的次数相等,都是 3 k 次,其中 k 是自然数,求 n 的所有可能值解:由条件知,统计各 n2 人组的通话次数都是 3k 次,共有 C =Cn 2n个 n2 人组,若某两人通话 1 次,而此二人共参加了 C = C 个 n22n n 4n 2 2n 2人组,即每次通话都被重复计算了 C 次即总通话次数应2n 2为 3k 次n(n 1)(n 2)(n 3)由于(n1,n2) =1,故 n2| n3k若 n2|n,故 n2|2,易得 n=4,(n=3 舍去) 此时 k=0由 n2|3 k, n=3m+2, (m 为自然数,且 mk),此时2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 12 -3k = 3k=3m+4+ 3km ,即n(n 1)(n 2)(n 3) (3m+2)(3m+1)3m(3m 1) 63m 13m1|6 m=0,1当 m=0 时,n=3(舍去) ,当 m=1 时,n=5又:n=4 时,每两个人通话次数一样,可为 1 次( 任何两人都通话 1 次);当n=5 时,任何两人都通话 1 次均满足要求 n=0,5