2000年全国高中数学联赛试题及解答.doc

1、2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 1 -2000 年全国高中数学联合竞赛试卷（10 月 15 日上午 8:009:40）一、 选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1设全集是实数，若 A=x| 0，B=x |10 =10x， 则 A RB 是( )x 2x2 2 (A)2 (B)1 (C)x|x2 (D) 2设 sin0 ， cos0 ， 且 sin cos ， 则 的取值范围是( )3 3 3(A)(2k+ ， 2k+ )， kZ (B)( + ， + )， k Z6 3 2k3 6 2k3 3(C)(2k+ ， 2k+)， k Z (D)(2k+ ， 2k+ )56 4 3(2

2、 k+ ， 2k+)， k Z563已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，ABC 是等边三角形，则 ABC 的面积是 ( )(A) (B) (C)3 (D)633 332 3 34给定正数 p， q， a， b， c，其中 pq，若 p， a， q 是等比数列，p， b， c， q 是等差数列，则一元二次方程 bx22ax+c=0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 y= x+ 的距离中的最小53 45值是( )(A) (B) (C) (D) 34170

3、 3485 120 1306设 =cos +isin ，则以 ， 3， 7， 9 为根的方程是( )5 5(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0(C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0二填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）1arcsin(sin2000)=_2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 2 -2设 an 是(3 )n 的展开式中 x 项的系数(n=2 ， 3， 4， )，则 ( +x limn 32a2+ )=_.33a3 3nan3等比数列 a+log23， a+log43， a+log83 的公比是 _.4在椭圆 +

4、 =1 (ab0) 中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的x2a2y2b2端点为 B.若该椭圆的离心率是 ，则ABF=_.5 125一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个球的体积是_.6如果：(1)a，b，c ，d 都属于1，2，3，4；(2)ab，b c，c d，da；(3)a 是 a， b，c ，d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数 的个数是_ abcd三、解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)1设 Sn=1+2+3+n， nN*，求 f(n)= 的最大值Sn(n+32)Sn+12000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 3 -2若函数 f(x)=

5、 x2+ 在区间a ， b上的最小值为 2a，最大值为 2b，求12 132a， b3已知 C0：x 2+y2=1 和 C1： + =1 (ab0) 试问：当且仅当 a，b 满x2a2y2a2足什么条件时，对 C1 上任意一点 P，均存在以 P 为顶点，与 C0 外切，与 C1 内接的平行四边形？并证明你的结论2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 4 -2000 年全国高中数学联赛二试题（10 月 15 日上午 1000-1200）一 （本题满分 50 分）如图，在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F，满足BAE=CAF，作 FMAB，FNAC （M 、N 是垂足） ，延长 AE

6、 交三角形 ABC 的外接圆于D证明：四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等二 （本题满分 50 分）设数列a n和b n 满足 a0=1，a 1=4，a 2=49，且n=0，1，2，an+1=7an+6bn 3，bn+1=8an+7bn 4 )证明 a n（n=0，1，2， ）是完全平方数三 （本题满分 50 分）有 n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 n2个人之间通电话的次数相等，都是 3 k 次，其中 k 是自然数，求 n 的所有可能AB CDE FMN2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 5 -值2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 6 -2000

7、年全国高中数学联合竞赛试题解答第一试一选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1设全集是实数，若 A=x| 0，B=x |10 =10x， 则 A RB 是( )x 2x2 2 (A)2 (B)1 (C)x|x2 (D) 解：A=2，B= 2，1，故选 D2设 sin0 ， cos0 ， 且 sin cos ， 则 的取值范围是( )3 3 3(A)(2k+ ， 2k+ )， kZ (B)( + ， + )， kZ6 3 2k3 6 2k3 3(C)(2k+ ， 2k+)， k Z (D)(2k+ ， 2k+ )56 4 3(2 k+ ， 2k+)， kZ56解：满足 sin0，cos 0

8、 的 的范围是(2k + ，2k +)，于是 的取值范2 3围是( + ， + )，2k3 6 2k3 3满足 sin cos 的 的取值范围为(2k + ， 2k+ )故所求范围是3 3 3 4 54(2k+ ， 2k+ )(2 k+ ， 2k+)， kZ选 D4 3 563已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，ABC 是等边三角形，则 ABC 的面积是 ( )(A) (B) (C)3 33 332 3(D)6 3解：A (1， 0)，AB 方程： y= (x+1)，代入双曲线方程，33解得 B(2， )，3 S=3 选 C34给定正数 p， q

9、， a， b， c，其中 pq，若 p， a， q 是等比数列，ACByxO2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 7 -p， b， c， q 是等差数列，则一元二次方程 bx22ax+c=0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根解：a 2=pq，b+c=p+ qb= ，c= ；2p+q3 p+2q3=a 2bc=pq (2p+q)(p+2q)= (pq) 2|b|，从而 f(a)是最小值f(b)17= b2+ = =2a0与 a0 矛盾故舍12 132 3932 0ab此时，最大值为 f(a)=2b，最小值为 f(b)=2a b2+ =2a

10、a2+ =2b相减得 a+b=4解得 a=1，b=312 132 12 132 a， b=1，3或2 ， 171343已知 C0：x 2+y2=1 和 C1： + =1 (ab0) 试问：当且仅当 a，b 满x2a2y2a2足什么条件时，对 C1 上任意一点 P，均存在以 P 为顶点，与 C0 外切，与 C1 内接的平行四边形？并证明你的结论2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 10 -解：设 PQRS 是与 C0 外切且与 C1 内接的平行四边形易知圆的外切平行四边形是菱形即PQRS 是菱形于是 OPOQ 设 P(r1cos，r 1sin)，Q(r 2cos(+90)，r2sin(+90)

11、，则在直角三角形 POQ 中有r12+r22=r12r22(利用POQ 的面积) 即 + =11r211r22但 + =1，即 = + ，r21cos2a2r22sin2b21r21 cos2a2 sin2b2同理， = + ，相加得 + =11r22 sin2a2 cos2b2 1a2 1b2反之，若 + =1 成立，则对于椭圆上任一点 P(r1cos，r 1sin)，取椭圆上1a2 1b2点 Q(r2cos(+90)，r 2sin(+90)，则 = + ， ， = + ， ，于是1r21 cos2a2 sin2b21r22 sin2a2 cos2b2+ = + =1，此时 PQ 与 C0

12、相切即存在满足条件的平行四边形1r211r22 1a2 1b2故证第二试一 （本题满分 50 分）如图，在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F，满足BAE=CAF，作 FMAB，FNAC （M 、N 是垂足） ，延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于D证明：四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等证明：连 MN，则由 FMAM ，FNAN 知A、 M、 F、 N 四点共圆，且该圆的直径为 AF又AMN=AFN，但FAN=MAD ，故MAD+AMN=FAN+AFN=90MNAD，且由正弦定理知，MN=AF sinAS AMDN= ADMN= ADAFsinA12 12连 BD

13、，由ADB= ACF， DAB=CAF，得ABD AFC AD AB=ACAF ，即 ADAF=ABACRPQSyxOAB CDEMNF2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 11 - S AMDN= ADAFsinA= ABACsinA=SABC12 12二 （本题满分 50 分）设数列a n和b n 满足 a0=1，a 1=4，a 2=49，且n=0，1，2，an+1=7an+6bn 3，bn+1=8an+7bn 4 )证明 a n（n=0，1，2， ）是完全平方数证明 7： 7an+1=49an+42bn21，6：6b n+1=48an+42bn24两式相减得，6b n+17 an+1=

14、a n3，即 6bn=7ana n1 3代入：a n+1=14ana n1 6故 an+1 =14(an )( an1 )12 12 12其特征方程为 x214x+1 =0，特征方程的解为 x=74 3故 an=(7+4 )n+(74 )n+ ,现 a0=1，a 1=4，a 2=49解得 = 3 312 14 a n= (7+4 )n+ (74 )n+ = (2+ )2n+ (2 )2n+14 3 14 3 12 14 3 14 3 12= (2+ )n+ (2 )n212 3 12 3由于 (2+ )n+ (2 )n是整数，故知 an 是整数的平方即为完全平方12 3 12 3数三 （本题满

15、分 50 分）有 n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 n2个人之间通电话的次数相等，都是 3 k 次，其中 k 是自然数，求 n 的所有可能值解：由条件知，统计各 n2 人组的通话次数都是 3k 次，共有 C =Cn 2n个 n2 人组，若某两人通话 1 次，而此二人共参加了 C = C 个 n22n n 4n 2 2n 2人组，即每次通话都被重复计算了 C 次即总通话次数应2n 2为 3k 次n(n 1)(n 2)(n 3)由于(n1，n2) =1，故 n2| n3k若 n2|n，故 n2|2，易得 n=4，(n=3 舍去) 此时 k=0由 n2|3 k， n=3m+2， (m 为自然数，且 mk)，此时2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 12 -3k = 3k=3m+4+ 3km ，即n(n 1)(n 2)(n 3) (3m+2)(3m+1)3m(3m 1) 63m 13m1|6 m=0，1当 m=0 时，n=3(舍去) ，当 m=1 时，n=5又：n=4 时，每两个人通话次数一样，可为 1 次( 任何两人都通话 1 次)；当n=5 时，任何两人都通话 1 次均满足要求 n=0，5