1、数学试题（文科） 第 1 页，共 14 页惠州市 2017 届高三第一次调研考试数 学（文科）第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知 ， ，则 （ ）1,2486A2|log,ByxAB（A） （B） （C） （D）2,48141,248（2）若复数 满足 ，则 （ ）z()(1)izi|z（A） （B） （C） （D）5350510（3）若 ,则 （ ）11tan,t()32tan=（A） （B） （C） （D） 76756（4）函数 （ ）,yxpR（A）是偶函数 （B）是奇函数 （C）不具有奇偶性 （D）奇偶
2、性与 有关p（5）若向量 和向量 平行，则 （ ）(1,2)a(1,)bab（A） （B） （C） （D）0022（6）等比数列 的各项为正数，且 ，na564718a则 （ ）3132310logllog（A） （B） （C） （D）32l5（7）命题“任意 ”为真命题的一个充分不必要条件是21,0xa（ ）（A） （B） （C） （D）4a455a（8） 已知 ，则 的最小值是（ ）0362xy2xyz（A） （B） （C） （D）184开 始1,2kS2016?k=1k结 束 S输 出 否是数学试题（文科） 第 2 页，共 14 页（9）执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ）（
3、A） （B） （C） （D）231213（10）某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）（A） （B） 2(19)cm2(4)cm（C） （D）2064136（11）已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角SACA三角形, 则三棱锥的外接球的,B球心到平面 的距离是（ ）（A） （B）1 （C） （D）332（12）双曲线 ： 的实轴的两个端点为 、 ，点 为双曲线 上除 、M21(0,)xyabABPMA外的一个动点，若动点 满足 ,则动点 的轨迹为（ ）BQ,APBQ（A）圆 （B）椭圆 （C） 双曲线 （D）抛物线第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第
4、13题第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）给出下列不等式：,123，13.72，1.235则按此规律可猜想第 个不等式为 .n（14）设 是定义在 上的周期为 的函数，右图表示该函数在区间 上的图像，则()fxR32,1. 20156)f数学试题（文科） 第 3 页，共 14 页（15）已知 ， ，点 的坐标为 ，当 时，点 满足 的2xyP(,)xy,RP22()()4xy概率为 .（16）设 ，若直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，且 与圆,mnR:10lmxnAyBl相交所得弦的长为 ， 为
5、坐标原点，则 面积的最小值为 .24xy2OO三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）已知函数 的部分图像如图所示.sin0,2fx（）求函数 的解析式，并写出 的单调减区间；fx（）已知 的内角分别是 ， 为锐角，ABC,ABC且 的值. 14,cossin25f， 求（18） （本小题满分 12 分）为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的 1500 名志愿者进行互联网知识测试，从这 1500 名志愿者中采用随机抽样的方法抽取 15 人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，
6、95.（）作出抽取的 15 人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这 1500 志愿者中成绩不低于 90分的人数；（）从抽取的成绩不低于 80 分的志愿者中，随机选 3 名参加某项活动，求选取的 3 人中恰有一人成绩不低于 90 分的概率.x2361Oy数学试题（文科） 第 4 页，共 14 页（19） （本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 中， 平面 ， 为正三1ABC1ABCA角形， ， 为 的中点16D（）求证：平面 平面 ；11（）求三棱锥 的体积（20） （本小题满分 12 分）已知椭圆 上的点到两个焦点的距离之和为 ，)0(1:2bayxC 32短轴长为 ，直线 与椭圆 交于
7、、 两点。21lMN（）求椭圆 的方程； （）若直线 与圆 相切，证明： 为定值l251:2yxOMONDB1C1ABCA1数学试题（文科） 第 5 页，共 14 页（21） （本小题满分 12 分）已知函数 ， 21lnfxaxRa（）讨论函数 的单调性；（）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围fx请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。（22） （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图， 是 的直径，弦 与 垂直，并与 相交于点 ，点 为弦 上异于点 的ABOCDABEFCDE任意一点，连接 、 并延长交 于点 F,MN（）求证：
8、四点共圆；,EN（）求证： 22ACBAABDNEFO数学试题（文科） 第 6 页，共 14 页（23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 经过点 ，其倾斜角为 ，以原点 为极点，以 轴非负半轴xOyl(1,0)POx为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 的极坐标方程为C26cos50（）若直线 与曲线 有公共点，求 的取值范围；lC（）设 为曲线 上任意一点，求 的取值范围(,)Mxyxy（24） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 ()|1|fxa（）若 的解集为 ，求实数 的值；26,2a（）当 时，若存
9、在 ，使得不等式 成立，xR(21)()73fxfm求实数 的取值范围.m数学试题（文科） 第 7 页，共 14 页惠州市 2017 届高三第一次调研考试 数 学（文科）题号 模 块 知识点 分值1 集合 集合，对数的运算 52 复数 复数的概念、运算 53 三角函数 三角函数运算 54 函数 函数的奇偶性 55 平面向量 向量运算 56 数列 等比数列 57 逻辑 充分条件 58 不等式 线性规划 59 程序框图 程序框图 510 立体几何 三视图、表面积 511 立体几何 球 512 圆锥曲线 轨迹方程 513 推理 归纳推理 514 函数 函数周期性 515 几何概型 线性规划，几何概型
10、 516 直线与圆 弦长，面积 517 三角函数 三角函数图像与性质 1218 概率统计 概率统计，古典概型 1219 立体几何 空间中的线面关系、体积 1220 圆锥曲线 求椭圆方程、直线与圆锥曲线相交 1221 函数导数 单调性、极值、函数零点 1222 几何证明选讲 切割线定理、三角形相似23 坐标系与参数方程 坐标互化、直线的参数方程 10数学试题（文科） 第 8 页，共 14 页惠州市 2017 届高三第一次调研考试 数 学（文科）参考答案：一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C A B C B C C
11、 A C A C24 不等式选讲 绝对值不等式数学试题（文科） 第 9 页，共 14 页1.【解析】 .所以 ，故选 C.222log1,l4,og8l160,34B1,24AB2.【解析】 ，故选C.30|55iizz3.【解析】 ，故选 A.1tan()ta23tant()174.【解析】函数的定义域为 关于原点对称， ，故Rxfpxpxf 函数 是奇函数，故选 B.pxf5. 【解析】依题意得， ，得 x3，又 ,所以(1)20x(2,)1,()ab，故选 C.|2ab6.【解析】 ，56475689aa.531323103120363loglloglloglog910a 7.【解析】原
12、命题等价于“ 对于任意 恒成立” ，得 ，2x,4故选 C.8.【解析】如图，作出可行域（阴影部分），画出初始直线 ，02:0yxl平行移动 ，可知经过点 时， 取得最小值 3， ，故选 C. 0l)1,(yx289.【解析】 以 4 为周1,3;,;,kSkSkSk期，所以 ，故选 A.2610. 【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的底面积为： ，侧面积为： ；圆柱的底面半径是 1，高是 3，其底面143262积为： ，侧面积为： ；组合体的表面积是 ,故2624062选 C11. 【解析 】由题意 在平面 内的射影为 的中点 ， 平面 ， ，SABCABHSABC
13、3SH，在面 内作 的垂直平分线 ，则 为 的外接球球心 ，1HMOC2， ， ，即为 到平面 的距离，故选 ASM30O23,H0yx0l(2,0)(3,3)(1,1)数学试题（文科） 第 10 页，共 14 页12 【解析】设 ,实轴的两个顶点 ，2(,), 1xypmnQxyab双 曲 线 M: (,0)(,AaB，QAPA，（-x-a）（-m-a）+ny=0，可得(,)QAxayPAn同理根据 QBPB，可得 ，两式相乘可得 ，点,n nymax22nymaxP（m，n）为双曲线 M 上除 A、B 外的一个动点， 整理得 ， 21b22()b，故选 C241xbya二填空题：本大题共4
14、小题，每小题5分。13. 14. 2. 15. 16.31.2342n1613. 【解析】观察不等式左边最后一项的分母 3,7,15， ，通项为 ，不等式右边为首项为 1，公2n差为 的等差数列，故猜想第 n 个不等式为12 11.234n答案： 11.34n14. 【解析】由于 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，所以 f(2 015) f(2 016) f(6723-1) f(6723+0) f(-1) f(0)，而由图像可知 f(-1)2， f(0)0，所以 f(2 015) f(2 016)202.15. 【解析】如图，点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部(含边界)，
15、满足的点的区域为以(2,2)为圆心，2 为半径的圆面(含边界),所求的概率22()()4xy.1416P16. 【 解析】由直线与圆相交所得弦长为 2，知圆心到直线的距离为 ，即 所以3 213mn，所以 ，又 ，所以 的面积为 ，最小23mn161(,0)(,ABmnAOB值为 3. 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。数学试题（文科） 第 11 页，共 14 页17. 解：（）由周期 得 所以 2 分12,36T2,T.当 时， ，可得 因为 所以 故6x)(xfsin()1.,.6()sin2).6fx4 分由图像可得 的单调递减区间为 6 分)(f 2,.63kkZ（）由
16、（）可知， , 即 ,又 为锐角, .8 分sin(2)1A1sinA6A， 5co1,0BB. 9 分)si(inC)si(10 分Aincoi 1034234. 12 分18.解：（）抽取的 15 人的成绩茎叶图如图所示， 3 分由样本得成绩在 90 以上频率为 ，故志愿者测试成绩在 90 分以上（包含 90 分）的15人数约为 =200 人. 5 分2150（）设抽取的 15 人中，成绩在 80 分以上（包含 80 分）志愿者为 , , , , , ,其中 ，ABCDEF的成绩在 90 分以上（含 90 分） ， 6 分F成绩在 80 分以上（包含 80 分）志愿者中随机选 3 名志愿者
17、的不同选法有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，ABDABEFAC， ， ， ， ， ， ， ， ， , , , , , , , , ， ， ，BDEBCFD， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， , ， ， 共EFCFE20 种，8 分其中选取的 3 人中恰有一人成绩在 90 分以上的不同取法有： ， ， ， ， ， ， ，AA， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， , , , , , ， ， ， ，CAADFAEBCBD ， ， ， ， ， ， ， ， 共 12 种， 10 分BDFEC选取的 3 人中恰有一人成绩在
18、 90 分以上的概率为 = . 12 分1203519解：（）证明：因为 底面 ，所以 2 分1BD因为底面 正三角形， 是 的中点,所以 4 分ACAAC因为 ，所以 平面 5 分1D1因为平面 平面 ,所以平面 平面 6 分B1 1（）由（）知 中， ， sin603所以 9 分9322BCDSOA1A BB1C1CD数学试题（文科） 第 12 页，共 14 页所以 12 分119362CBDCBV20.解：（）由题意得 4 分41,3,1,baba 1692yx（）当直线 轴时，因为直线与圆相切，所以直线 方程为 。 5 分xll5当 时，得 M、N 两点坐标分别为 ，51:xl 5,6
19、 分20OO,当 时，同理 ； 7 分51:xl当 与 轴不垂直时，设 ，由 , , 8 分),(,: 21yxNMmkyl 512kmd221k联立 得 9 分692x 06369xk， ， 10 分 2212 193,0)1)(43 kk 21691kmx= 21 )(xkmxyxONM 05 11 分综上， （定值） 12 分221. 解：（） 1 分01)(2 xaxf ， 当上单调递减； 2 分)0(),)(0，在时 ， fxfa 当 . 3 分axf解 得时 ， 令 ,.4 分0)(0)(0( fxfax 时 ，； 当时 ，当5 分内 单 调 递 增，内 单 调 递 减 ； 在，在
20、函 数 ) af综上：当 上单调递减；)()在在00xfa当 a0 时， 6 分内 单 调 递 增，内 单 调 递 减 ； 在，在函 数 )(aaf数学试题（文科） 第 13 页，共 14 页（）当 由（）得 上单调递减，函数 不可能有两个零点；0时 ，a()在 （ 0， +)fx)(xf7 分当 a0 时，由（）得， 且当 x 趋近于 0()()aaf 函 数 在 ， 内 单 调 递 减 ， 在 ， 内 单 调 递 增 ，和正无穷大时， 都趋近于正无穷大，8 分)(xf故若要使函数 有两个零点，则 的极小值 ，10 分f )(xf()0fa即 ，解得 ,1ln-20a3ea综上所述， 的取值
21、范围是 12 分)(3，22.解：（）证明:连接 ，则 ，2 分BNA又 则 ，4 分,CDA90EF即 ，则 四点共圆5 分18B,（）由直角三角形的射影定理可知 6 分2,ACEB相似可知： ， , FBEAM()AE8 分2B10 分222FCBF,即23.解：（）将 C 的极坐标方程 化为直角坐标为 1 分6cos502650xy直线 的参数方程为 2 分l1(inxtty为 参 数 ）将直线的参数方程代入曲线 C 的方程整理得 3 分28cos120t直线与曲线有公共点， ,得264cos033cos2或的取值范围为 .5 分0,)50,（）曲线 C的方程 ，2 265(3)4xyx
22、y化 为ABCDMNEFO数学试题（文科） 第 14 页，共 14 页其参数方程为 7 分32cos(inxy为 参 数 ）为曲线 C 上任意一点， .9 分(,)Mxy32cosin32sin4xy 的取值范围是 10 分32,24.解：（）显然 ，1 分0a当 时，解集为 ， ，无解；3 分0a1,36,2a当 时，解集为 ，令 ， ，3,a,1综上所述， .5 分12（）当 时，令124,36,224,xx72a()21)()413hxffx分由此可知， 在 单调减，在 和 单调增，()hx,)4(,)42(,)则当 时， 取到最小值 ， 8 分14()7由题意知， ，则实数 的取值范围是 10 分732m7,2
