1、起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 1第1讲 平方根月 日 姓名： 【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。 【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 就叫做 的算xax2xa术平方根，记作“ ” ，读作“根号 ”。a注意：（1）规定 0 的算术平方根为 0，即 ；（2）负数没有算术平方根，也就是 有意义时， 一定表示一个非负数；a（3） （ ） 。a2、平方根：如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的平方根xax
2、2xa（也叫二次方根） 。注意：（1）一个正数 必须有两个平方根，一个是 的算术平方根“ ” ，另外一a个是“- ”,读作“负根号 ” ，它们互为相反数；（2）0 只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。3、开平方：求一个数 的平方根的运算。其中 叫做被开方数。aa)0(2a观察二者的特征，注意他们的区别与联系。【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1） （2）100 （3）125起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 2（4）0 （5） （6）794例2、 计算（1） （2） （3）- 841169例3、计算（1） （2）2642495（3） （4）2.72（5） （6
3、）24369416925例 4、当 有意义时，a 的取值范围是多少？2【经典练习】起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 31、求下列各数的算术平方根和平方根（1）16 （2） （3）1251（4）0.01 （5） 22、计算（1） （2）286 25.0（3） （4）14694125.03、判断（1）5 2的平方根为5 （ ）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ）（3）0 和负数没有平方根 （ ）（4）4 是 2 的算术平方根 （ ）（5） 的平方根是3 （ ）9（6）因为 的平方根是 ,所以 = （ ）1416414、 有意义，则 的范围_2xx5、如果 a(a0)的平方根是
4、m，那么（ ）A.a2=m B.a=m2 C. =m D. =maa【课后作业】起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 41、下列各数中没有平方根的数是（ ）A.(2) 3 B.33 C.a0 D.（ a2+1）2、 等于（ ）aA.a B. a C.a D.以上答案都不对3、若正方形的边长是 a,面积为 S，那么（ ）A.S 的平方根是 a B.a 是 S 的算术平方根C.a= D.S= 4、当 _时， 是二次根式xx315、要使 有意义，则 的范围为_26、计算（1）- （2）94243记一记 1021214216932964556873283692 02 25起飞教育 初二数学（培优）暑
5、假培优教材 5第 6 讲 立方根月 日 姓名： 【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。2. 能够利用立方根运算与立方根之间的关系求一个数的立方根，并理解两者之间的互逆关系，同时掌握立方根与平方根的区别。3. 熟练掌握并熟记一些常见的数的立方数。4. 会用立方根解决简单的实际应用问题，提高学生的应用能力。【知识要点】1、立方根的概念：如果一个数 x 的立方等于 a ，即 =a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方3x根（或叫做三次方根） 。2、立方与立方根的关系：若有 x3=a 成立，则 a 是 x 的立方，x 就是 a 的立方根。注：任何数均有立方根，立方根是唯一的；
6、任何数不一定有平方根，平方根是不唯一的。3、开立方的概念：求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方，a 叫做被开方数。注： ，a33)(4、正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数注：正数的立方根大于负数的立方根，0 是介于两者之间。【典型例题】例 1、 （1）由于 的-27，则 是 的立方根。3)(（2）若 = 成立，则 是 的立方； 是 的立方根。ab例 2、 （1）2 的立方等于多少？是否有其他的数，他的立方等于 8？（2）3 的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是27？例 3、求下列各数的立方根（1）512 （2） （3）0 （4）8216.0起飞教育 初二数学（
7、培优）暑假培优教材 6例 4、比较三个数的大小: ,0,35936例 5、若 =0，则 的立方根是多少？124baab例 6、已知 x= 是 m+n+3 的算术平方根，y= 是 m+2n 的立方根，nm332nm求 y-x 的立方根.【经典练习】姓名： 成绩： 一、填空题：1、若 =0.125，则 是 的立方根3)5.0(2、64 的立方根是_3、 的立方根是_8二、判断并加以说明1、 的立方根是 ； （ ）212、 没有立方根； （ ）53、 的立方根是 ； （ ）664、 是 的立方根； （ ）97285、负数没有平方根和立方根； （ ）起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 76、 a
8、的三次方根是负数， a 必是负数； （ ）7、立方根等于它本身的数只能是 0 或 1； （ ）8、如果 x 的立方根是 ，那么 ； （ ）28x9 的立方根是 ； （ ）53510、 的立方根是没有意义； （ ）21611、 的立方根是 ； （ ）731三、选择题：1、 8 的立方根是（ ）A、2 B、-2 C、4 D、+22、 的立方根是（ ）364A、16 B、 C、4 D、8 33、计算 的结果是（ ）.3825A.3 B.7 C.-3 D.-74下列叙述正确的是（ ）A 是 7 的一个立方根 B 的立方是 11 3 )1(3C如果 x 有算术平方根，则 x0 D如果 x 有平方根，它一
9、定有立方根 四、计算题1、已知 =0，求 的立方根。276433baba)(2、若 3x+1 的平方根是+4，求 9x+19 的立方根.起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 8【课后作业】姓 名 成 绩 家长签名 一、判断题：1、 的立方根是+ （ ）7295952、 负数没有立方根 （ ）3、 - 是-7 的立方根 ( )4、 若 ，则 x=y ( )3yx5、 若 ，则 （ ）3yx二选择题1、若 m0,则 m 的立方根是（ ）A、 B、 - C、+ D、 333m3m2、如果 是 6-x 的立方根，那么（ ）6xA、x6 B、x=6 C、 D、x 是任意实数6x三、填空题1、若 x0,
10、 = , = 2x3x2、比较大小 ： 353、 的算术平方根与 的立方根的乘积是 2)4(3)4(4、若 ，则 = 35x1x四、求下列各数的立方根（1） （2） （3） （4）0851五、能力拓展题。已知 ， ， （ 为整数， 为正的纯小数） ，求ba17dc17a,db,的平方根。db起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 9第 7 讲 平方根和立方根的应用月 日 姓名： 【学习目标】1、进一步了解理解平方根，算术平方根，立方根和开立方的概念； 2、会用根号表示一个数的平方根，算术平方根，立方根，掌握三者的基本运算以及它们与相反数、倒数、绝对值相结合的简单运算；熟练掌握一些基本数的平方和
11、立方，以便解决开平方和开立方的运算。 3、掌握平方根和立方根的一些简单的综合利用，让学生知道数学来源于实际生活，增强学生数学的学习兴趣。 【知识要点】1、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系：（1） 区别：A、根指数不同：平方根的根指数为 2，且可以省略不写；立方根的根指数为3，且不能省略不写。B、被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数；立方根中被开方数可以是任何数。C、 结果不同：平方根的结果除 0 之外，有两个互为相反的结果；算术平方根只有一个，且是正数;立方根的结果只有一。（2） 联系：二者都是与乘方运算互为逆运算。特别注意： a2)(2a3a3)(2、无理数的相反数、倒数
12、、绝对值与有理数的相反数、倒数、绝对值类似。3、比较两个无理数的大小：（1） b0b（2） 或 a33a4、含有二次根号式子取最小值时，当且仅当被开方数为 0，且被开方数为非负数有意义。5、简单方程的解法以及二次根式非负性的性质。起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 10【典型例题】例 1、下列说法，正确的有（ ）（1） 只有非负数才有平方根和立方根；（2）如果 a 有立方根，那么 a 一定是正数 ；（3）如果 a 没有平方根，那么 a 一定是负数 ；（4）立方根等于它本身的数是0；（5）一个正数的平方根一定大于它的立方根。A1 个 B 2 个 C3 个 D4例 2、a.由于 ，则 是 的立
13、方； 是 的立方根。643b.若 0,则 ; a2)(3a例 3、 的相反数是 ； 的绝对值是 ； 的倒数是 。131例 4、A.若 a= ,b=- ，c= ,则 a、b、c 的大小关系是（ ）.2323)2(A. abc B. cab C. bac D. cbaB.比较大小： ； ； 5.14321m3232例 5、多项选择题：下列各数没有算术平方根的是（ ） ，有立方根的是（ ）A2 B C D11.13)(2)(例 6、如果 +1 有意义，则 x 可以取的最小整数为 ，若有意义，最小值是 53x。例 7、 A、解方程 8)12(3B、若 =0，则 的立方根是多少？8baab起飞教育 初二
14、数学（培优）暑假培优教材 11【经典练习】姓名： 成绩： 一、 判断题（1） 只有正数才有平方根、算术平方根和立方根； （ ）（2） 如果 a 没有平方根 ，那么 a 也没有立方根 ； （ ）（3） 如果 a 有立方根 ，那么 a 也有平方根 ； （ ）（4） 算术平方根等于它本身的数为 0； （ ）（5） a 的三次方根是负数，a 必是负数； （ ）（6） =4 （ ） 3364二、填空题1、 的平方根是_， 的算术平方根是_， 的算术平方根是 84210；2、 的最小值是_，此时 a 的取值是_。a3、若一个正数的平方根是 和 ，则 ，这个正数是 ；12_4、 当 时， 有意义；当 时，
15、有意义；_mm33m5、 的相反数是 ； 的倒数是 ；23三、选择题1、 的算术平方根是 2，则 （ ）xxA. B. C. D. 23321212、 若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是( )A. 0 B. 1 C. 0 和 1 D. -1 和 1 3、若-a-b0，则 =（ ）.2)(baA. -a-b B. C. D. baba4、比较大小：A.若 a= ,b=-1，c= ,则 a、b、c 的大小关系是2)5(3)2(（ ）.起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 12A. abc B. cab C. bac D. cba5、若 a0，则下列各数有平方根的是（ ）A. - B
16、. C. D. 232四、计算题1、 解方程： （1） 4(x+1) 2=8 （2） 27)1(83x2、若 0， =0 成立，则 的算术平方根、平方根及立方根分a3422bab2别是多少？【课后作业】姓 名 成 绩 家长签名 一、判断题：1、下列说法中正确的是（ ）A、4 没有立方根 B、1 的立方根是1C、 的立方根是 D、5 的立方根是361 352、在下列各式中： = =0.1, =0.1, =27,其中32704301.3.33)27(正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 43、下列说法中，正确的是（ ）A、一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B、一个有理数的立方
17、根，不是正数就是负数C、负数没有立方根起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 13D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是1，0，14、若 + 有意义，则 =_.8xx3x二、.判断下列各式是否正确成立.(1) 若ab,则 a2b 2 （ ）（2）若 ，则 ，且 （ ）3ab(2) = （ ）3632三、填空题1、 平方根是它本身的数是_； 立方根是其本身的数是_；算术平方根是其本身的数是_。2、 若 a0，则( )3 =_.a3、 若 a2=1，则 =_.34、 的 5 次方根是_.5、若 ，则 a 是 。36、0.008 的立方根的平方等于_.四、解方程 (x1) 3= .64
18、1起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 14第8 讲 实数月 日 姓名： 【学习目标】1、 了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。2、 了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。理解数轴上的点与实数一一对应关系，并能用数轴上的点来表示任何一个无理数。3、 能利用化简对实数进行简单的四则运算。在探索分类、化简、运算的过程中，获得解决问题的方法和经验。【知识要点】1、 实数的概念：有理数和无理数统称为实数，实数有两种分类方法。按定义分：实数可以分为有理数和无理数；整数和分数都是有理数，即有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数按正负分：实数可以
19、分为正实数、0、负实数；正实数分为正有理数和正无理数；正有理数分为正整数和正分数。负实数分为负有理数和负无理数；负有理数分为负整数和负分数。注：（1）对实数进行分类时，可以有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏。（2） 也是无理数2、 实数的性质（重点）：有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。（1） 与 互为相反数 ，且互为相反数的两个数的绝对值相等。ab0ba（2） 与 互为倒数 ，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒1数。（3）绝对值的非负性： 3、比较两个实数的大小：做差法；平方法；取近似值法；倒数法在数轴上，右边的数总比左边的数大；正数大于负数；正数大于 0；负
20、数小于 0；两个负数相比较，绝对值大的反而小。4、实数的四则运算及化简注：（1）有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用（交换律、结合律、分配律）（2）化简遵循无理数的化简原则，一直化为最简的为止。起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 15【典型例题】例 1、把下列各数按要求分别填入相应的集合内： ，9,741,2， 37.0,948,5320,53 733.0有理数集合： 无理数集合： 正数集合： 负数集合： 例 2、 (1) 的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ;(2) 在数轴上离原点距离是 的点表示的数是 .5(3) 的立方根是 ， 的立方根是 ，0 的立方根是 。正数的158立方根是 数
21、；负数的立方根是 数；0 的立方根是 。例 3、比较下列各组数的大小：（1） 与 （2） 与1531（3） 与 （4） 与1310214例 4、计算下列各式（1） （2）683 )23)(起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 16（3） （4）222513683)4( )5例 5、若 y= 则 是多少？,12xy【经典练习】1、填空题（1） 、在数轴上表示与 的点距离最近的整数点表示的数是 。3（2） 、已知数轴上两点 A、B 到原点的距离分别是 和 ，则 。2BA（3） 、若 ，则 。0yx201)(xy（4） 、计算： = 。)12(8（5） 已知 的三边长为 ，且 满足 ，则 的ABC
22、cba,和 042bac取值范围为 .2、比较下列各组数大小 12 140215.014.33、已知 为实数，且 ，求 ,mn3nnm起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 174、已知 ,且 ,求 的值.012yxxyxy【课后作业】一、填空题 1、一个的算术平方根是 8，则这个的立方根的相反数是 . 2、若 ，则 . 64xx33、 - 的相反数是 ；绝对值是 . 4、化简(1) = ； (2) = . 535、若 互为相反数， 互为倒数，则 .ba,dc, 3cdba6、比较大小：(1) ； (2) ； 6775117、已知 有意义，则 x 的平方根为 。 xx18、已知 ，求 的值_。
23、0)8(52zy3zy9、若 与 互为相反数，则 = 。 ab4b206()ab二、解答题1、已知 x、y 为实数，且 求 的值49xxyyx三、计算题（1） （2）2713 )138)(起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 18（3） )83(1)5(2第 9 讲 二次根式的化简月 日 姓名： 【学习目标】1、 本节的重难点是 的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行，而2a的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运2a算性质，还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论。2、 能够利用二次根式的性质化简二次根式，且
24、结果为最简二次根式。3、 通过二次根式的学习，让学生形成分类讨论的数学思想与方法。【知识要点】1、二次根式的重要性质 ：注 1：式子中 中的 可以取任意实数，同时注意与 的区别。a2 a2)(注 2： 中 既可以是单个数字，单个字母，单项式，也可以是可进行因式分解的多项式，等等，总之它是一个整体概念。2、最简二次根式的概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。3、同类二次根式的概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，则这几个二次根式成为同类二次根式【典型例题】例 1、计算下列各题
25、，并回答以下问题：起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 19（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） （7） ； （8） 1、各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？2、各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？3、用字母 表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论。例 2、填空题1、当 _时， ；2、当 时， ，当 时， ；3、若 ，则 _；a1)(24、 当 时， ； 2)(5、当 a+20 时， 的化简结果是 ；4a6、 化为最简二次根式是 ；238nm例 3、选择题（1）如果 成立，那么（ ）x2（A）x=0 （B）x0 （C）x0 （
26、D）x0 （2） 下列各式中正确的是（ ） （A） （B） 12aba起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 20（C） （D） ba2)( 24a（3）下列各组中，是同类二次根式的是（ ）（A） 与 （B 与 （C） 与 （D） 与639836例 4、 （1）化简 （ ）2a（2）若 1a2，化简 212aa（3）化简 （ x1）121682xx4【经典练习】姓名： 成绩： 一、填空题1、 当 _时， 成立。a2)(2、 2)(x3、若 ，则 ac2)(4、若 ，则 43a5、若 0，则 22二、选择题起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 211、若 是整数，则正整数 的最小值为（ ）n2
27、4nA、3 B、4 C、5 D、62、 化简的结果为（ ）31)(2A、4 B、 C、 D、6323、若 是整数，则 的值是（ ）)0(9naaA、0 B、1 C、9 D、0 和 9三、化简题1、若 0, 请化简：ab2)(ba2、实数 a,b 在数轴上所对应的点的位置如图（1）所示，化简 2)(bab图（1）3、已知 、 、 为ABC 的三边长，请化简 。abc 22)()(bacba起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 22【课后作业】姓 名 成 绩 家长签名 一、选择题1、 成立的条件是： （ ）a12A B C Daa1a12、把 化成最简二次根式结果为： （ ）7A B C D32
28、969393、已知 t1，化简 得： （ ）112ttA B C2 D02t4、下列各式中，正确的是： （ ）A B7072C D2二、指出下列各组中，哪些数是最简二次根式，哪几个数又是一组同类二次根式？、 、 、 、 、 、 、 、731586182思考题： 1、若 是整数，则正整数 的最小值为（ ）n24nA、3 B、4 C、5 D、6起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 23第 10 讲 分母有理化月 日 姓名： 【学习目标】1、使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算题；2、让学生能够进一步学习二次根式的化简，对二次根式化简有进一步的认识，使化简进一步
29、完善。3、本节的主要内容是二次根式的乘除法的巩固以及分母有理化。这在二次根式的化简和运算的运用中是关键，从化简与运算又引出初中重要的内容之一：分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的最终的掌握程度。4、通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力【知识要点】1、分母有理化的概念：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2、有理化因式的概念：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。3、熟记一些常见的有理化因式： 的有理化因式是 ； 的有理化因式是aabn； 的有理化因式是 ； 的有
30、理化因式是bnabm； 的有理化因式是 。m3ba3232【典型例题】例 1、 找出下列各式的有理化因式。ba2523)(2axa起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 24例 2、将下列各式分母有理化。（1） （2） （3） （4）例3、化简下列各式（1） （2）（3） （4）ba yx2（5） （6） 例4、已知 ,求 的值。起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 25【经典练习】姓名： 成绩： 1、 找出下列各式的有理化因式。(1) (2) (3) (4)32ab12xyx352、将下列各式分母有理化（1） （2） (3) 33)1(b(4) (5) (6) 328xybaba73、化简
31、下列各式。（1） （2） 。 (3) (4) 245m633216124、已知 ， ，35x35y求下列各式的值。起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 26（1） (2) (3) xyxxy【课后作业】姓 名 成 绩 家长签名 1、找出下列各式的有理化因式。（1） （2） （3）321aab（4） （5）12aa32、将下列各式分母有理化。（1） （2）)()(yxyx31（3） （4）52 36123、解答题。已知 ， ，求下列各式的值。2x2y起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 27（1） （2） y 2yx第 11 讲 二次根式的乘除法月 日 姓名： 【学习目标】2、 理解二次根式
32、乘法、除法运算的一般规律，会应用两个公式进行二次根式的乘除法运算；掌握二次根式的乘除法则并会逆向应用。3、 通过本节课学习的基础上，让学生对二次根式的化简有了进一步的理解和认识，既学习了新的知识，又让学生对二次根式化简得到巩固。4、 经过观察，比较，总结和应用等数学活动，感受和体验发现的快乐,并提高应用意识。【知识要点】1、 二次根式的乘除法法则：乘法法则： 与)0;(baba )0;(baa除法法则： 与;0【典型例题】4、 计算下列各式，观察计算结果：（1） 、 =_ =_ 994（2） = 3838问题：（）你们发现了什么规律？起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 28（）你能用数学表
33、达式表示发现的规律吗？5、 计算：（1） （2） （3） （ 206215）27(4) 24 3 (5) ab )5214()352(16、 填空题（1）若 xy= ,x y=5 1,则( x+1)(y1)=_.2（2） = ,那么 的值是_.a3b4ba（3） ） 2002（ + ） 2003=_.23（4）已知 = ， ，且 是 的十倍，则 是 的 倍。xbyaxy（5）写出一个无理数，使得它与 的乘积是一个有理数，该数为 。 例 4、判断题（1） （ ）aa（2） （ ）5215起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 29（3） ( )362(4) 若两个实数的和为负数，积为正数，则这两
34、数异号且负实数的绝对值较大。（ ）例 5、问答题:a) 若 ，求 的值。 20110 )()5(2)()2( a a42b) 若 ， ，求代数式 的值。23a23b2ab【经典练习】姓名： 成绩： 5. 判断题（1） （ ）94)9(4（2） （ ）1236（3） （ ）2、填空题（1） （2） 284x )23(（3） )75()75(4) = 0,3ba(5) （2 ）ba0起飞教育 初二数学（培优）暑假培优教材 303、计算题（1) (2)3123254(3) 5)315(4、 （1）若 ，求 的值。051yx203)(xy（2）若 ，化简 ，且当 时，求 的值。yx03242xyxz2z【课后作业】姓 名 成 绩 家长签名 1、直接填写计算结果：（1） =_； 805（2） _；359071
