1、第一次上机练习【1】 已知某工厂计划生产 A1、A2、A3 三种产品，各产品需要在甲、乙、丙设备上加工。有关数据如下表：A1 A2 A3 工时限制/月甲/工时 8 16 10 304乙/工时 10 5 8 400丙/工时 2 13 10 420单位产品利润 /千元 3 2 2.9试问:（1）如何制定生产计划，使工厂获利最大？（2）若市场上 A1 产品供不应求，单位产品利润可提高到 5 千元，试问原生产计划是否需要改变？如需改变，请给出新的生产计划。（3）接问题（1） ，如可增加丙设备的生产工时，生产计划是否需要调整？（4）接问题（1） ，若为了增加产量，可租用其它工厂的设备甲工时，每月最多可租
2、用 60 工时，租金比该厂的设备甲工时成本多 0.3 千元/工时，试问是否需要租用其它工厂的设备甲？若需租用，应租用多少工时？【解】 （1）如何充分发挥设备能力，使工厂获利最大？设 xi 为生产 Ai 产品的数量，则目标函数为：123ma z3.9x通过 QSB 软件建模如图 1-1 所示。 求解如图 1-2 所示。即生产 A1 产品 38 单位，可使工厂获利最大为：3 千元*38=114 千元（2）根据图 1-2 可知，价值系数 c1 的 y 影响范围为（2.32，M） ，而当价值系数增加到 5 时，在此范围之内，故原生产计划不发生改变。（3）根据图 1-2 可知，丙设备的生产工时的影子价格
3、为 0，即通过调整丙的总工时，不会带来目标函数值的增加，故原生产计划不需要改变。（4）设租用设备甲的工时数为 x4，则模型修订如图 1-3 所示。求解如图 1-4 所示。根据图 1-4 求解可知：最优值为 115.2，因为 115.2114，即租用设备甲增加了利润，所以需要租用设备甲，租用工作时为 16 工时。【2】 某工厂生产两种绳子：橡筋绳与钢丝绳，利润分别为 1.7 元/米和 2.8 元/米。正常情况下该厂每周生产两种绳子的总生产能力为80 工时，每小时可生产任一一种绳子 1000 米。据市场需求情况预测每周销售量为：橡筋绳 15000 米、钢丝绳 72000 米。请拟定生产计划以满足下
4、列目标：P1：每周利润不低于 220000 元P2：不使产品滞销P3：充分利用生产能力，尽量少加班。【解】设：生产橡筋绳 X1工时，钢丝绳 X2工时。1234min zPddPd12123124.7*0.8*0057s.t0, ,iXdi 基于 Win QSB 建模如图 2-1 所示。求解如图 2-2 所示。即生产橡筋绳 10.82 工时，钢丝绳 72 工时。【3】 某化学工业公司的某项产品售价为每公升 1.2 元，产量随生产过程中温度的升高而增加，其数量关系如图所示，假定产品成本与生产中的温度成正比，每提高一度的费用为 30 元，则应生产多少公升该项产品，才能是利润为最大？【解】设应该生产
5、x 单位该项产品，才能使利润最大，其中单位为100 公升，则每单位产品价格为 1.2*100=120 元。由上图可得温度与产量间的函数关系如下： 当 0=x=4 时，温度 2.5 x；当 4= x =6 时，温度 t= -10+5 x；当 6= x =8 时，温度 -40+10 x；故利润函数为：120 x -30*2.5 x 当 0= x =4z= 120X-30*(-10+5 x) 当 4= x =6120X-30*(-40+10 x) 当 6= x =8它分为 3 段，每一段上都是一个线性函数，但总体非线性。为使总体线性化，用 3 个变量 x1，x 2，x 3 来表示 x 的值，即令12
6、3xx其中 0= x1=4;0= x2=2;0= x3=2利润的目标函数： 123123ma20()0(2.510)zxxxx引入两个 0-1 变量：11,40xy当 （ 上 界 ）， 其 他 22， 当 （ 上 界 ）， 其 他4y1= x1=4 (1)2 y2= x2=2 y1 (2)0= x3=2 y2 (3)yi=0 或 1，（i=1,2） (4)假如 y1=0，那么(2)和 (4)必使 y2=0；且 x2= x3=0得：0=x 1=4，x 2=0，x 3=0假如 y1=1 且 y2=0，那么得：y 1=4，0= x 2=2，x 3=0假如 y1=1，y 2=1，那么得：x 1=4，x
7、 2=2，0= x 3=2具体的，基于 Win QSB 的模型如图 3-1 所示。求解如图 3-2 所示。即生产 400 公升该产品，利润最大为 180 元。【4】 腾飞电子仪器公司在大连和广州有两个分厂，大连分厂每月生产 400 台某种仪器，广州分厂每月生产 600 台某种仪器。该公司在上海与天津有两个销售公司负责对南京、济南、南昌与青岛四个城市的仪器供应。又因为大连与青岛相距较近，公司同意大连分厂也可以向青岛直接供货，这些城市间的每台仪器的运输费用我们标在两个城市间的弧上，单位为百元，问应该如何调运仪器，使得总的运费最低？46544661广州2大连3上海4天津5南京6济南7南昌8青岛600
8、400233 123300350150250供应量 需求量【解】如图所示，我们用 1 代表广州；2 代表大连；3 代表上海；4代表天津；5 代表南京；6 代表济南；7 代表南昌；8 代表青岛。(1)线性规划方法设 xij 表示从 i 到 j 的调运量，如 X36表示从上海运到济南的仪器台数。从网络图上我们可以写出其目标函数： 1342343563784564782min2 5;zxxxxxxx模型如图 4-1 所示。求解如图 4-2 所示，最低费用为 4450 百元。（2）表上作业法建模如图 4-3 所示。最优解如图 4-4 所示，最低费用为 4450 百元。【5】 某造船厂根据某年年初所签订
9、的合同，从当年起连续三年年末各提供四条规格相同的大型客货轮。已知该厂这三年内生产大型客货轮的能力及每艘客货轮的成本如表所示。年度 正常生产时间内可完成的客货轮数/艘加班生产时间内可完成的客货轮数/艘正常生产时每艘成本/万元1 3 3 5002 5 2 6003 2 3 500已知加班生产时，每艘客货轮的成本比较正常时高出 60 万；又知造出来的客货轮若当年不交货，每艘每积压一年造成的损失为 30 万元。在签订合同时，该厂已积压了两艘未交货的客货轮，而该厂希望在第三年年末完成合同还能储藏一艘备用。问该厂如何安排每年客货轮的生产量，能够在满足上述各项要求的情况下总的生产费用最少？试建立模型并求解。
10、【解】设 Xij 为第 i 年生产，第 j 年交货，Y ij 表示第 i 年加班生产，第 j 年交货 11121213132233Min 50650956022*3 560zXXYXYY1223331123345.50,1,23,)ijXYXYYstXYij且 为 整 数 ， 且 为 整 数 （模型如图 5-1 所示。求解如图 5-2 所示。由图 5-2 可得，当第一年加班生产第一年交货 2 艘船，并将已积压的 2 艘船于第一年上交，第一年正常生产第二年交货 3 艘船，第一年加班生产第二年交货 1 艘船，第三年正常生产第三年交货 2 艘船，第三年加班生产第三年交货 3 艘船时，可以使得总成本最
11、低，最优解为 5980+60=6040（万） 。【6】 某校篮球队准备从以下 6 名预备队员中选拔 3 名为正式队员，并使所选拔的 3 名球员的平均身高尽可能高，这 6 名预备队员情况如表所示。预备队员 身高 位置大张 193 中锋大李 191 中锋小王 187 前锋小赵 186 前锋小田 180 后卫小周 185 后卫队员的挑选要满足以下条件：（1） 至少补充一名后卫队员；（2） 大李和小田之间只能入选一名；（3） 最多补充一名中锋；（4） 如果大李或小赵入选，小周就不能入选。【解】设： Xi表示第 i 个队员被选中。则通过 QSB 建模如图 6-1 所示。 求解如图 6-2 所示。通过图 3-2 可知，应选拔大张，小王，小周 3 名正式队员，此时的平均身高最高，为 565/3 =188.3。
