1、对偶单纯形法不是解对偶问题的，而是 在单纯形表上进行对偶运算的方法 。为了了解对偶单纯形法的实质，我们回顾一下单纯形法。 单纯形法开始于初始基可行解。如果不满足最优性条件，则要转到能使目标函数值得到改善的邻近顶点上。在这个转换过程中，存在两个原则，一是保持原问题的解仍是可行的，另一个是要求目标函数值有改善。 当目标函数值无法改善时（因退化出现循环的情况除外），所有的检验数都 0（求极大时 0 ，求极小时，检验数 0）。 “检验数 0 ”意味着在获得原问题最优解的同时，也获得了对偶问题的一个可行解 。因为原问题与对偶问题的解都可行，并且目标函数值相同，根据对偶理论，这个对偶可行解就是对偶问题的最
2、优解。 单纯形法迭代过程的实质是 ： 在保持原问题可行性的前提下，驱使对偶问题从不可行转变为可行的发展历程 。 把上述思想移植到对偶问题上。 对偶单纯形法迭代过程的实质是 ： 保持对偶问题的可行性（只要检验数 0即可），通过改变对偶问题的可行基，使原问题由不可行变为可行。根据对偶理论，这两个可行解就是原始和对偶问题的最优解。 一、对偶单纯形法的思路 使用对偶单纯形法必须满足两个条件 ： （ 1）单纯形表中的所有检验数必须符合最优性要求（即对偶可行）； （ 2）右端常数项列向量必须有负分量（如果原问题可行，则直接用单纯形法）。 对偶单纯形法计算步骤： （ 1）把线性规划问题化为标准形式，找出对偶
3、问题的初始可行基，列出单纯形表。表的格式与第一章的单纯形表完全相同。 （ 2）确定换出基的变量。 这一点与单纯形法正好相反，那里是先确定换入变量 。 因为常数项有负分量，所以令 br = minbi,第 r 行对应的基变量 xr 作为换出变量。 （ 3）确定换入基的变量。 这里要注意 ： 单纯形法 确定换出变量 时用的是 换入变量列向量与常数项列的最小比值； 对偶单纯形法 确定换入变量 时则用 检验数行与换出变量所在行的最小比值 。 1）如果所有的 arj0，则原问题没有可行解。停止计算。 2）如果存在 arj 0，则计算最小比值。 二、对偶单纯形法的计算步骤 rsssrjrjjjj azca
4、azc 0m i n求极大为标准形式时 （ 2-22a） 第 s 列所在的变量 xs作为换入变量。 (4) 选择 ar s 为主元素，把该列向量变为 单位列向量 。 这里的旋转运算和单纯形法一样，主元素处变为 1，其余变为 0即可。 （ 5）重复步骤（ 2） （ 4），直至原问题变为可行解为止。 例 2.4.1 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。 min z = 15x1+24 x2 +5 x3 st. 6 x2 + x3 2 5x1+2 x2 + x3 1 x1 , x2 , x3 0 rsssrjrjjjj aczaacz 0m i n求极小为标准形式时（ 2-22b） 解：把线性规划问
5、题化为标准形式。 max z = 15x1 24 x2 x3 +0 x4 +0 x5 st. 6 x2 + x3 x4 = 2 5x1+ 2 x2 + x3 x5 = 1 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 在标准形式里，目标函数系数满足使用对偶单纯形法的一个条件，但是，约束条件的右端常数项非负，且没有单位矩阵。为此，把约束方程两边都乘以 -1，得 max z = 15x1 24 x2 x3 +0 x4 +0 x5 st. 6 x2 x3 + x4 = 2 5x1 2 x2 x3 + x5 = 1 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 以此表达式列出单纯形表并求解。
6、表 9 cj 15 24 5 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x4 x5 2 1 0 5 6 2 1 1 (cj zj) 或 j根据对偶单纯形法，首先选择换出变量：显然常数项列最负的元素是 -2，所以第一行的基变量 x4 作为换出变量。 换入变量的确定利用公式（ 2-22）。第一行与检验数行对应分量比值的最小值为： 最小比值 = ， -24/-6， -6/-1 = 4 -6是主元素， x2是换入变量。 0 0 0 1 1 0 -15 -24 -6 0 0 表 10 cj 15 24 5 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x2 x5 1/3 -1/3 0
7、 5 1 0 1/6 -2/3 -1/6 -1/3 0 1 (cj zj) 或 j-15 0 -1 - 4 0 选择换出变量。显然负元素是 -1/3，所以第二行的基变量 x5 作为换出变量。 换入变量的确定利用公式（ 2-22）。第二行与检验数行对应分量比值的最小值为： 最小比值 =-15/-5， -1/（ -2/3）， - 4/（ -1/3） = 3/2 -2/3是主元素， x3是换入变量。 -24 0 表 11 cj 15 24 5 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x2 x3 1/4 1/2 -5/4 15/2 1 0 0 1 -1/4 1/2 1/4 -3/2 (cj zj) 或 j-15/2 0 0 -7/2 -3/2 由于原始，对偶都已经可行，所以，表 11对应的解是最优解。 注意： 具有本例题形式的线性规划问题在求最优解时，可以不使用人工变量，对偶单纯形法能使求解过程更简便 。 返回 -24 5
