1、第四章 随机变量的数字特征,4.1 随机变量的期望,一、 离散型随机变量的期望,定义4-1 设离散型随机变量X的分布律为,PX=xk=pk , k=1,2,例4-1 设随机变量X的分布律为,求E(X).,解 E(X)=(-1)0.3+0 0.2+1 0.5=0.2,例4-2 甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为X,Y,它们的分布律分别为,试比较它们成绩的好坏.,解 分别计算X和Y的数学期望:,E(X)=00.3+1 0.2+2 0.8=1.8(分)，,E(Y)=00.1+1 0.8+2 0.1=1 (分).,这就意味着,如果进行多次射击,甲所得分数的平均值接近于1.8分,而乙得分的平均值接近1分
2、.很明显乙的成绩远不如甲.,下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望.,1. 两点分布,随机变量X的分布律为,其中0p1，有,E(X)=0X(1-p)+1Xp=p.,2. 二项分布,设XB(n, p), 即,从而有,3. 泊松分布,设XP()其分布律为,则X的数学期望E(X)=.,下面介绍离散型随机变量函数的数学期望.,定理4-1 设离散型随机变量x的分布率为,二、 连续型随机变量的期望,下面介绍几种重要连续型随机变量的期望.,三、二维随机变量函数的期望,四、期望的性质,练 习,1. 设随机变量X服从正态分布N(2,4),Y服从均匀分布U(3,5),则E(2X-3Y)=_.,2.设随机变量X与
3、Y相互独立,其分布律分别为,则E(XY)=_.,3.设随机变量X的概率密度为,则E(X)=_.,-8,2,2/3,4.设随机变量X的概率密度为,且E(X)=,求:常数a,b.,4.2 方 差,一、方差的概念,数学期望体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的.我们还要研究随机变量偏离期望的程度.这就需要再引入方差的概念.,定义4-3,方差的计算方法：,1. 两点分布(0-分布),随机变量X的分布律为,其中0p1，有,D(X)=p(1-p).,2. 二项分布,设XB(n, p), 即,从而有,二、常见分布的方差.,例4-20 已知随机变量
4、X服从二项分布, 且E(X)=2.4, D(X)=1.44.求二项分布的参数n, p.,3. 泊松分布,设XP()其分布律为,则X的方差D(X)=.,期望也为.,三、方差的性质,1. 设随机变量X与Y相互独立，且XN (0,9)，YN (0,1)，令Z=X-2Y,则D (Z)=（ ）,A 5 B 7 C 11 D 13,2. 已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量X的方差为（ ）,A -2 B 0,C,D 2,4. 设XN(0,1)，Y=2X-3，则D(Y)=_,3. 设随机变量X B,则D(X)=_, E(X2)=_.,练习,D,D,4,40,4,且E(X)=,求：(1) 常数a,
5、b；(2) D(X).,6. 设随机变量X的概率密度为,5. 设离散型随机变量X的分布律为,且已知E(X)=0.3，试求：,(1) p1, p2; (2) D(-3X+2).,4.3 协方差和相关系数,一、 协方差,定义4-4 设有二维随机变量(X,Y),且E(X),E(Y)存在,如果,E(X-E(X)(Y-E(Y)存在,则称此值为X与Y的协方差,记为 Cov(X,Y),Cov(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y).,即,协方差性质：,二、相关系数,结论,练 习,1.设X,Y为随机变量,已知协方差Cov(X,Y)=3,则Cov(2X,3Y)=_.,3.已知E(X)=2,E(Y)=2,E(XY)=4,则X,Y的协方差Cov(X,Y)=_.,18,0,5.设(X,Y)为二维随机变量,且D(X)0,D(Y)0,则下列等式成立的是（ ） （2010年1月）,B,0,4.设随机变量X的期望E (X )=2,方差D (X )=4,随机变量Y的期望E (Y )=4， 方差D (Y)=9,又E (XY )=10,则X,Y的相关系数= _,1/3,
