1、1实验报告实验课名称： 数学模型 指导教师： 朱 学生姓名： 年级专业： 应用统计学 学号： 2 实验名称： 循环比赛的名次 实验日期： 年 10 月 9 日 实验成绩： 实验目的1. 熟悉图论模型的建模方法。2. 熟悉掌握用 matlab 处理图论模型中的相关计算。2实验内容一.问题重述若干支足球队参加单循环比赛，各队两两交锋，假设每场比赛只计胜负，不计比分，且不允许平局。在循环赛结束后怎样根据他们的比赛结果排列名次呢。我们的目标就是针对这种不规则的比赛数据提出一种算法，尽可能合理地反映各队真实水平。二问题分析有六支球队进行比赛，其中 1 队战胜 2，3，4，5，6 队，而输给了 3 队；5
2、 队战胜 3，6 队，而输给 1，2，4 队。现用图的顶点表示球队，而用连接两个顶点的，以箭头标明方向的边表示两支球队的比赛结果。根据比赛结果排名次的一个办法是在图中顺箭头方向寻找一条通过全部 6 个顶点的路径，如 3 1 2 4 5 6这表示 3 队胜 1 队，1 队胜 2 队，于是 3 队为冠军，1 队为亚军等等。但是还可以找出其他路径，如 1 4 6 3 2 5，决定谁是冠军。3排名次的另一个办法是计算得分，即每支球队获胜的场次。上例中 1 队胜 4 场，2，3 队各胜 3 场，4，5 队各胜 2 场，6 队胜 1 场。由此虽可决定 1 队为冠军，但 2，3 队之间与 4，5 队之间无法
3、决出高低。4实验内容 三.模型假设1. 比赛是确定型的，或者每个队方差均为 0，抽样结果就是均值；2. 比赛的结果是可以精确反映相对实力的，没有误差；3. 比赛的场次是完全的，任意两个队之间都有比赛成绩。1 234565四.符号说明Pij 第 i 支球队胜第 j 支球队的概率A 邻接矩阵aij 表示第 i 支球队与第 j 支球队的能力S 顶点的得分n 表示 n 支球队五.模型建立和解决设 n 支球队或队员比赛，第 i 支球队与第 j 支球队由比赛表现的能力为：a ij= pij aji=1-pij (i=1,2,n 6j=1,2,n)其中 pij 表示第 i 支球队胜第 j 支球队的概率。且设
4、 a ij=0，则第 i 支球队胜其余 n-1 支球队的能力表示为：Si= ij (i=1,2,3n)nja1则各球队的排名根据s ij的大小进行。（1） i=1，存在 从 顶点i到j的有向边0，否则 D 对于开始提出的 6 支球队循环比赛的结果，不难看出这个竞赛图是双向连通的。写出其邻接矩阵 0 10 1 0 0 1 1 0 1 1 A（2）若记顶点的得分向量为 s=( ，其中 是顶点 i 的得分，1,2,.,n) 则由（1）不难知道7S=A1，1=(1,1,1 ， （3）)由（2） ， （3）式容易算出 s=（4，3，3，2，2，1 )记 s= ,称为一级得分向量，进一步计算，s(1)=A
5、 (4)(2)s(2)称为 2 级得分向量，每支球队（顶点）的 2 级得分是他战胜的各个球队的（1 级）得分之和，与 1 级得分相比，2 级得分更有理由作为排名次的依据。继续这个程序，得到 k 级得分向量。=A = 1，k=1,2,(5)s(3)s(1)k=（4，3，3，2，2，1 ，s(1) ) (2)=(8，5，9，3，4，3 )=(15,10,16,7,12,9 , =(38, 28,32,21,25,16s(3) )(4) )K 越大，用 作为排名次的依据越合理，如果 k 时， 收s() s()敛于某个极限得分向量，那么就可以用这个向量作为排名次的依据。再利用 Perron-Frobe
6、nius 定理，素阵 A 的最大特征根为正单根 对应正特征向量 s,且有 =s(6)， limk进一步算出 A 的最大特征值根 =2.232 和特征向量s=(0.238,0.164,0.231,0.113,0.150,0.104 ,从而排出名次为).1,3,2,5,4,68六、模型优缺点以及改进优点： 该方案简单易行,原理清晰,依据可靠,论证有力,结论最优。并将现实中的问题用简单的线性规划问题进行分析计算，结构简单，计算方便。缺点： 该模型在处理此问题时有假设与理想化的思想，与实际问题的求解还有一定的距离。91011心得体会通过此次建模，令我们有了一次正式的亲自动手的机会。有利于激发我们学习数学的兴趣，丰富我们数学探索的情感体验；有利于我们自觉检验，巩固所学的数学知识，促进对所学知识的吸收。本次实验让我们收获颇丰。 ，也使我们深刻认识到我们还存在着很多不足之处。比如分工不明确，在细节问题上粗心大意，小组间沟通不及时等等。但是有了这次的教训，在以后的建模活动中，相信我们一定会将现在发现的问题一点点克服。教师评语
