1、26函数模型及其应用,学习导航,学习目标1.能根据实际问题的情境建立函数模型2了解指数函数、对数函数、幂函数、简单分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用重点难点重点：根据实际问题建立函数模型及解模难点：选取恰当的变量建立函数模型,1.常见函数模型,kxb,ax2bxc,2.解决实际问题的程序其中建立数学模型是关键,做一做1.a元人民币存入银行，年利率为x，按复利计算，存满3年后，可取回款为_元解析：第1年后的本息和为：a(1x)；第2年后的本息和为：a(1x)(1x)a(1x)2；第3年后的本息和为：a(1x)2(1x)a(1x)3.答案：a(1x)3,3.据调查，苹果园地铁的自行车存车处
2、，在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次1元，普通车存车费是每辆一次0.5元若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是_解析：存车费总收入y变速车存车总费用普通车存车总费用1(4000x)0.5x0.5x4000，其中0x4000.答案：y0.5x4000(0x4000),解析：令y60，若4x60，则x1510，不合题意；若2x1060，则x25，满足题意若1.5x60，则x40100，不合题意，故拟录用人数为25.答案：25,想一想5.生活实际问题中，自变量的取值范围往往有何要求？提示：生活实际问题中，自变量考虑生活实际意义，不能只注重函数解
3、析式自身的限制要求,某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李如果超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示(1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式；(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少,【名师点评】(1)一次函数模型：ykxb(k0)，在现实生活中较为常见，例如：匀速直线运动中路程和时间的关系，力的大小与弹簧的伸缩之间的关系等，均用到一次函数模型，在这些问题中，k和b都有实际意义(2)若已知函数类型，则一般用待定系数法求出解析式,变式训练1.甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如
4、图所示,甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由,【名师点评】二次函数模型：yax2bxc(a0)，以二次函数为背景的问题较多，主要应用二次函数求最值以及一些二次函数图象型的物理运动或拱桥问题在经济及日常生活中，追求利润最大、用料最少等实际问题都要用到二次函数模型,本题满分14分)设海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是
5、ycekx，其中c，k为常量如果某一游客从大气压为1.01105 Pa的海平面地区，到了海拔1000 m的高原地区，测得大气压为0.90105 Pa，感觉没有很明显的高原反应，于是便准备攀登当地海拔为6000 m的雪山，从身体需氧的角度来讲，当大气压低于0.775105 Pa时，就会比较危险，请你分析这位游客的决定是否太冒险,【思路点拨】先利用题中已知数据求出c，k，即求出函数关系式ycekx，再令x6000 m，求出y值，再与0.775105 Pa比较，即可下结论,名师微博题的关键是求出c，k的值.【名师点评】(1)本例题是利用已知函数模型来解决实际问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解
6、，实质是已知自变量的值，求对应的函数值的问题(2)指数型函数模型：yabxc(a0，b0且b1)指数型函数当底数大于1时，随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常形象地称之为“指数爆炸”常见的指数型函数问题有：计算银行复利、生产翻番、生产增长型、考古“半衰期”问题等,变式训练2.某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10 %，且在一定范围内，礼品价值为n1元时，比礼品价值为n元(nN*)时的销售量增加10 %.(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，
7、以使商店获得最大利润,解：(1)设未赠礼品时的销售量为m，则当礼品价值为n元时，销售量为m(110 %)n.利润yn(10080n)m(110 %)n(20n)m1.1n(0y11y19，所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润,1.如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是O的直径，且底CD的端点在圆周上，写出这梯形周长y和腰长x间的函数关系，并求出它的定义域及y的最大值,2.一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10 %衰减(1)求t年后，这种放射性元素质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(精确到0.1)解
8、：(1)最初的质量为500 g，经过1年，w500(110 %)5000.91，经过2年，w5000.92，由此推知，t年后，w5000.9t.,3.以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表：,(1)根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数yaxb，yalnxb，yabx中找到一种函数，使它比较近似地反应该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系？试写出这个函数的解析式，并求出a，b的值(2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175 cm体重78 kg，他的体重是否正常？,解：(1)以身高为横坐标、体重为纵坐标画出散点图(图)根据图
9、，选择函数yabx进行拟合不妨取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入yabx，如果保留两位小数可得a2，b1.02，所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为y21.02x.将已知数据代入所得函数关系式，或作出所得函数的图象，可以发现，这个模型与已知数据的拟合程度较好，这说明所求函数能较好地反映该地未成年男性体重与身高的关系,1.具体的建模分析方法(1)关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系来建立问题的数学模型的方法(2)列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法(3)图象分析法：即通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法2.求解数学应用题必须突破“三关”(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口,(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化构建了数学模型之后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的数学处理能力,失误防范1.实际问题中自变量x的取值范围及实际意义对函数模型的影响不可忽略2.规范解答中，不可忽略答案及计算结果精确度的要求,
