1、第二章.信号分析与处理4,2.7 数字滤波器,2.7.1 数字滤波器的基本原理数字滤波器是一离散时间系统，它对于输入序列 进行处理后，输出序列 ，并使 的频谱与 的频谱相比较，发生某种变化。例如：输出是输入序列相邻两点的差值，即描写该离散时间系统的差分方程此系统的传递函数为：此系统的频率响应为：,再如：,则系统的频率响应具有低通滤波器的特性，为数字滤波器也可以对连续时间信号进行处理，如下图，其中 环节为数字滤波器。,数字滤波器可以用差分方程，单位样值响应 ，系统函数 ，频率响应函数 来描述。,数字滤波器从结构上分，有递归式与非递归式两种，递归式数字滤波器的差分方程形式：且至少有一个 。递归式滤
2、波器的 不仅与 等激励有关。而且与n以前的输出 有关。,非递归式数字滤波器输出只和激励有关，其差分方程为：,和模拟滤波器一样，数字滤波器可以分为低通，高通，带通，带阻，全通等多种，从相频响应看，可分为线性，非线性。 数字滤波器从单位样值响应来分，有无限冲击响应 IIR ，有限冲击响应 FIR两种， IIR 对应于递归式，FIR 对应于非递归式。数字滤波器的多种情况下，由软件实现，灵活，方便，可靠性高。,（1） 数字滤波器（有限冲击响应）,属于非递归式，其单位样值响应函数，与系统函数分别为特性：若 h(n)是长为N的偶对称序列，其相频特性 是 的线性函数，即当 时,若是奇对称序列，且 时，正是由
3、于上述相位线性特性，在不希望有相位失真时， FIR 数字滤波器有广泛的应用。 FIR 滤波器总是稳定的。,（2）IIR数字滤波器（无限冲击响应）,IIR数字滤波器属于递归类数字滤波器。IIR数字滤波器的特点为：相频特性是非线性的 从通带到阻带可以有锐降的特性，过渡带窄 计算量较小。,2.7.2 数字滤波器的设计,该项设计工作主要有两方面的内容，一是寻找合适的传递函数，二是用软件设计实现符合要求的滤波器。 （1） FIR数字滤波器的设计主要讨论从模拟滤波器的 H(s)转化为数字滤波器的 H(z)。,（a）冲击响应不变法,采用离散化的方法，使数字滤波器的单位样值响应 h(nT)为相应的模拟滤波器冲
4、击响应的h(t) 的抽样， 。 整个设计步骤为（原理上） 确定合理的设计要求 。 确定模拟滤波器的H(s) 通过拉氏反变换求出系统冲击响应函数 h(t) 。 （抽样）得系统离散冲击响应函数h(nT) 通过z变换，求出 H(z)。,实际步骤是从 H(s)直接转换到 H(z) 若H(s)的极点均为一阶极点， 则H(s)可写为： 相应的z变换为： 即 的对应关系为：,在实际应用中，为了防止T很小时 的增益过大，常将 H(z)写成：相应地，将 h(n) 写成：,对于高通滤波器或带阻滤波器，由于其通带为无穷大，因此用冲击相应不变法所得到的数字滤波器 将产生严重混叠，不能使用。 对于低通和带通滤波器，若T
5、足够小，冲击响应不变法可给出较为满意的结果。,对于二阶系统，若： 则相应的 为： 由于H(s)总可以分成一阶和二阶系统的并联或级联，因此通过上二式总可以实现从H(s)到 H(z) 的转换。,例：设计一低通数字滤波器，要求在通带 内衰减不大于3 dB ，在阻带 内，衰减不小于20 dB ，解：将数字滤波器技术要求转化为模拟滤波器技术要求，由 得 ， ，设计模拟低通滤波器采用归一化频率，令,得 解得,将 H(s)转换为数字滤波器H(z),令 ，则：需要指出的是：在该设计中模拟滤波器完全满足技术要求，但数字滤波器则因为混叠的原因在阻带未达到技术要求。,（b）双线性变换法,冲击响应法会造成数字滤波器频
6、响特性的混叠，其原因在于 H(z)是从 H(s) 通过 的映射关系求得的，但从s平面到z平面的映射不是一一对应的。 是周期函数，因此需要将s全平面压缩到s1平面的一条横带中，而后将此域映射到z平面。,从s平面到s1平面的映射：当 时， ，当 时， ，即s1为一条横带，再利用公式 实现从s1平面到z平面的映射，消去s1后得：或,实现了s平面到z平面的映射的一一对应关系，并把此法称为双线性变换，此时有：,如果将模拟滤波器的频率响应中的频率记为 ，则有相应的数字滤波器的频率相应中的频率记为,经过双线性变化后：,即双线性变换后， 之间是非线性的，当 从 变化时 。这种 之间的非线性是双线性变换的缺点，
7、但两者之间又确定性的函数关系，因而可以通过预处理加以解决，将数字滤波器的通带与阻带频率 找出模拟滤波器的通带与阻带频率 ，即：,例：用双线性变换求三阶巴特沃斯数字滤波器的 截至频率 ，采样间隔 设 解：首先将频率作预校正 该模拟滤波器的上限频率 ，,将中的换成则有,（2）数字高通、带通或带阻滤波器的设计,同模拟滤波器的设计思路相似，也是采用频率转换的方式完成的，现以高通数字滤波器为例，说明其设计步骤。 1）将数字高通滤波器 的技术指标 转换为模拟高通滤波器 的技术指标 作归一化处理，得,2) 利用频率变换关系 将模拟高通 的技术指标转换为归一化的低通滤波器 的技术指标，且 3) 设计相应模拟低
8、通滤波器的转移函数 4)将模拟低通滤波器 转换为模拟高通滤波器的转移函数 5)将 转换为数字高通滤波器的转移函数,例：设计一个数字滤波器，要求通带下限 阻带上限 通带衰减不大于3 dB，阻带衰减不小于20 dB。 解：求相应的模拟高通滤波器的频率指标转化为归一化的模拟低通滤波器的频率指标,设计低通模拟滤波器（采用巴特沃斯滤波器）取 有：,（3）FIR数字滤波器（有限冲击响应）设计,若离散系统可以用下式表示：则系统即变成 FIR系统，其中系数 即是该系统的单位样值响应函数且当 时 。,系统只有零点，不能象 系统那样，容易取得比较好的通带和阻带特性，要取得较好的衰减特性，一般 的阶次高，M大。系统
9、的优点： 系统总是稳定的 易于实现线性相位 允许设计多通带（或多阻带）滤波器,多通带（或多阻带）滤波器,设计的窗函数法,设计 滤波器就是要根据要求的 找出一单位样值响应 应为有限长的离散时间系统，其频率响应 尽可能的逼近 ，使下式均方误差在允许的范围内。,设 与 为一对离散傅里叶变换显然，一般情况下， 为无限长离散时间序列，所谓窗函数法就是用时域窗函数 乘以无限长单位样值响应 对其进行截断，构成 数学滤波器的,若为矩形窗，即例：设计长度 的 数字滤波器，要求其频率响应特性,解：滤波器截至频率选择 为偶对称的序列，则所乘的窗函数其频响函数,这样求出的 是非因果性的，将 右移 个采样间隔，得到 将是因果系统，相应的 幅频相同，相频减少6 。由于矩形窗有较大的边瓣，这些边瓣在 与卷积时会产生波纹，随着M增加，这些波纹不会消失，而是越来越接近间断点 使用边瓣较小的汉宁窗或哈明窗，通带振荡基本消失，阻带波纹也大大减小，但过渡带会加宽。,设计的窗函数法不象 设计那样能精确指定通带阻带的边缘频率 和两个带内的衰减 而且仅给出 其他几个参数全是靠 的长度M和所使用的窗函数而定，需试算。,
