1、概率与统计 第十一讲 边缘分布与独立性,开课系：理学院 统计与金融数学系 e-mail: 主页 http:/,FY(y)F (+, y) PYy 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数.,2.5.边缘分布与独立性 一、边缘分布函数,FX(x)F (x, +) PXx,称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；,边缘分布实际上是高维随机变量的某个 (某些)低维分量的分布。,例1.已知(X,Y)的分布函数为,求FX(x)与FY(y)。,二、边缘分布律,若随机变量X与Y的联合分布律为 (p80)(X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 则称PXxipi.
2、，i1, 2, 为(X, Y)关于X的边缘分布律；,PY yjp.j ，j1, 2, 为(X, Y)关于Y的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。,例2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。 xy 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10,解： xy 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p.j,故关于X和Y的分布律分别为：X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5,2/5,3/5,2/5,3/5,三、边缘密度函数,为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。,设(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, 则称,
3、为(X, Y)关于X的边缘密度函数；同理，称,易知N(1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N(1, 12)的密度函数，而fY(y)是N(2, 22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。,例3.设(X,Y)的概率密度为,（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度,解:(1)由归一性,设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，求关于X的和关于Y的边缘概率密度,x=y,x=-y,EX1,设(X,Y)的概率密度为(1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.,EX2,四、随机变量的相互独立性,定义 称随机变量X与Y独立，如果对任意实数ab,cd，有 paXb
4、,cYd=paXbpcYd 即事件aXb与事件cYd独立，则称随机变量X与Y独立。,定理：随机变量X与Y独立的充分必要条件是F(x,y)=FX(x)FY(y),定理:设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理. 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi.Pj 。,由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可,EX：判断例1
5、、例2、例3中的X与Y是否相互独立,例4.已知随机变量(X,Y)的分布律为,且知X与Y独立，求a、b的值。 解:由归一性,由独立性,例5.甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率。 解:,定义. 设n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的分布函数为F(x1,x2,.,xn), (X1,X2,.,Xn)的k（1kn)维边缘 分布函数就随之确定，如关于(X1, X2）的 边缘分布函数是 FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2,.) 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,n,五n维随机变量的边缘分布
6、与独立性,则称X1,X2,.Xn 相互独立，或称(X1,X2,.Xn)是独立的。,对于离散型随机变量的情形，若对任意整数 i1, i2, , in及实数 有,则称离散型随机变量X1, X2, , Xn相互独立。,设X1，X2，Xn为n 个连续型随机变量，若对任意的(x1, x2, , xn)Rn，f (x1, x2, , xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn) 几乎处处成立，则称X1，X2，Xn相互独立。,定义 设n维随机变量(X1,X2,.Xn)的分布函数为FX(x1,x2,.xn)；m维随机变量(Y1,Y2,Ym)的 分布函数为FY(y1,y2,ym), X1,X2,.Xn ,Y
7、1,Y2,Ym 组成的n+m维随机变量（X1,X2,.Xn ,Y1,Y2,Ym) 的分布函数为F（x1,x2,.xn, y1,y2,ym). 如果 F（x1,x2,.xn, y1,y2,ym) = FX(x1,x2,.xn) FY(y1,y2,ym) 则称n维随机变量(X1,X2,.Xn)与m维随机 变量(Y1,Y2,Ym)独立。,定理 设(X1,X2, , Xn )与(Y1, Y2,， Ym )相互独立，则Xi (i=1, 2, , n)与Yi (i=1, 2, , m)相互独立；又若h, g是连续函数，则 h(X1,X2, , Xn) 与g(Y1, Y2,， Ym )相互独立.,2.7(续) 两个随机变量函数的分布 一、二维离散型随机变量函数的分布律,设二维离散型随机变量（X，Y），(X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, ,或,EX 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为X 0 1 P q p (1) 求WXY的分布律; (2) 求Vmax(X, Y)的分布律； (3) 求Umin(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。,0,1,1,2,0,1,1,1,0,0,0,1,V,W,0 1,0 1 2,0,0,0,
