1、第五章 线性系统的频域分析法,自动化学院.陈明杰 Oct. 2008,频域分析法的优点,1.系统的频率特性可运用分析法和实验方法获得。频率特性具有明确的物理意义。 2. 控制系统中的信号可以表示为不同频率的正弦信号的合成。 3.频域分析法是利用频率特性进行控制系统分析的图解方法。 4.可推广应用于某些非线性系统。 5.可兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。,第五章 线性系统的频域分析法,开环频率特性曲线的绘制,5-2 典型环节与,5-3 频率域稳定判据,5-5 闭环系统的频率域性能指标,5-4 稳定裕度,5-1 频率特性,5-1 频率特性,例: 稳定的线性定常系统 ，求其在正弦信号作用下的稳态
2、输出。,结论,相角相差,的同频率的正弦信号。,如果输入是正弦信号,输出量的稳态分量是与输入的正弦信号,幅值相差,频率特性的基本概念,幅频特性：输出量的稳态分量与正弦输入的幅值比 ，记为：,相频特性：输出量的稳态分量与正弦输入的相位差。记为：,频率特性：幅频特性和相频特性的统称。记为：,系统3种描述方法的关系（P190）,微分方程,频率特性,传递函数,系统,最小相位系统,若控制系统开环传递函数的所有零、极点都位于虚轴以及s左半平面的系统（即稳定的系统）。 相频特性中相角滞后最小的叫最小相位系统。,1. （P190）幅相频率特性曲线,又称极坐标图、Nyquist曲线,当频率从 变到 ，G( j)
3、在复平面,上移动时留下频率曲线。,画法：横坐标: 频率特性的实部纵坐标: 频率特性的虚部,例:R-C网络幅相频率特性曲线,1.幅相频率特性曲线结论,画法：横坐标: 频率特性的实部纵坐标: 频率特性的虚部,3) 一般用箭头表示频率增大时幅相频率特性曲线的变化方向。,1) 向量的长度为频率特性的幅值；,2) 向量与实轴正方向的夹角等于频率特性的相角 （逆时针为正）；,1. （P190）幅相频率特性曲线,又称极坐标图、Nyquist曲线,当频率从 变到 ，G( j) 在复平面,上移动时留下频率曲线。,画法：横坐标: 频率特性的实部纵坐标: 频率特性的虚部,二、频率特性的常用表示法,例:R-C网络幅相
4、频率特性曲线,2.（P190）对数频率特性曲线-伯德图,横坐标： ，对数分度,将幅频特性与相频特性分开，分别绘制在上下对应的两幅图中。,对数幅频特性曲线,对数相频特性曲线,横坐标： ，对数分度,对数分度- 以 进行分度,1.非均匀刻度,2.相同倍频程距离相等,3. 没有0点,半对数坐标纸,2. （P190）对数频率特性曲线-伯德图,纵坐标：,单位分贝(dB)，线性分度,纵坐标：,单位度 ，线性分度,横坐标： ，对数分度，不均匀刻度,对数幅频特性曲线,对数相频特性曲线,横坐标： ，对数分度，不均匀刻度,例:R-C网络对数频率特性曲线,对数频率特性曲线的优点,1. 易观察频率与幅值和相角的对应关系
5、。 2. 横坐标是对数分度，使得频带展宽。 3. 幅频特性 的乘除运算可化 为加减运算。,3. （P191）对数幅相曲线(尼科尔斯图),纵轴：,横轴：,dB,-80,-5,-10,0,-15,-20,-60,-40,-20,0,-100,5-2 典型环节与开环频率特性曲线绘制,比例环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯性环节,振荡环节,惯性环节,振荡环节,比例环节,积分环节,微分环节,一阶微分环节,二阶微分环节,5-2 典型环节与开环频率特性曲线绘制,1. 比例(放大)环节,传递函数,频率特性,1）幅相曲线,K,j,0,1. 比例(放大)环节,传递函数,频率特性,2）对数频率特性曲线（
6、Bode图）,2. 积分环节频率特性,传递函数,频率特性,0,j,1）幅相曲线,2. 积分环节频率特性,传递函数,频率特性,2）对数频率特性曲线（Bode图）,传递函数,频率特性,3. 微分环节频率特性,j,=0,0,1）幅相曲线,传递函数,频率特性,3. 微分环节频率特性,2）对数频率特性曲线（Bode图）,积分环节和微分环节 对数频率特性曲线比较,积分环节和微分环节的传递函数互为倒数，频率特性曲线斜率和相位移也相差一个负号。 对数幅频曲线关于0 dB线对称，对数相频曲线0度线对称。即对称于横轴。,4. 惯性环节频率特性,传递函数,频率特性,幅相曲线,j,1）幅相曲线,4.惯性环节频率特性,
7、2）对数频率特性曲线（Bode图）,传递函数,频率特性,传递函数,频率特性,5. 一阶微分环节频率特性,1) 幅相曲线,2）对数频率特性曲线（Bode图）,传递函数,频率特性,5. 一阶微分环节频率特性,传递函数,式中, T时间常数；z阻尼比wn 自然振荡频率 ， 1/T。,6. 振荡环节频率特性,频率特性,1）幅相曲线,6. 振荡环节频率特性,0,j,1,自然频率,0,j,1,振荡环节G(j) 的谐振频率与谐振峰值 （P195）,自然频率,谐振频率,谐振峰值,一阶微分环节,惯性环节,惯性环节和一阶微分环节 对数频率特性曲线比较,惯性环节和一阶微分环节的传递函数互为倒数，其对数幅频特性和相频特
8、性则对称于横轴。,传递函数,式中, T时间常数；z阻尼比wn 自然振荡频率 ， 1/T。,6. 振荡环节频率特性,频率特性,0,j,1,振荡环节G(j) 的谐振频率与谐振峰值 （P195）,自然频率,谐振频率,谐振峰值,2）对数频率渐近特性曲线（Bode图）P195,传递函数,频率特性,7. 二阶微分环节频率特性,1) 幅相曲线,2）对数频率渐近特性曲线（Bode图）,7. 二阶微分环节频率特性,振荡环节与二阶微分环节 对数频率渐近特性曲线比较,传递函数,频率特性,8.时滞环节频率特性,j,1) 幅相曲线,j,-非最小相位系统,传递函数,频率特性,8. 时滞环节频率特性,2）对数频率特性曲线,
9、典型环节与开环频率特性曲线的绘制,开环幅相频率特性曲线,开环对数频率特性曲线,三、开环幅相曲线的绘制,起点=0+、终点=；,实轴的交点位置；,变化范围（所在象限和单调性）。,标准形式,例 0型单位反馈系统的开环传递函数为,试概略绘制系统的开环幅相曲线。,例5-2 （P198）I型单位反馈系统的开环传递函数为,试概略绘制系统的开环幅相曲线。,例 II型单位反馈系统的开环传递函数为,试概略绘制系统的开环幅相曲线。,开环幅相曲线绘制结论,2.终止点,1.起始点,3.与实轴的交点,4. K 值变化仅改变幅相曲线的幅值以及与负实轴交点的位置，不改变幅相曲线的形状,例：开环系统传递函数为： 试画出该系统的
10、Bode图。,开环对数幅频特性曲线绘制步骤,1.分解成典型环节乘积的形式(尾“1”型)； 2.将各典型环节的转折频率由低到高从左向右依次标注在横轴上，并设最小转折频率以左为低频段； 3.根据 绘制低频段直线（P202 ） ； 4.从低频以后，沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变直线斜率，变化规律取决于该转折频率对应的典型环节种类。 5.修正。对于一阶项，在转折频率处的修正值为3dB； 对于二阶项，在 处的修正值可由 公式求出。,例: 已知开环传递函数为,试绘制系统的伯德图。,开环对数幅频特性曲线绘制步骤,1.分解成典型环节乘积的形式(尾“1”型)； 2.将各典型环节的转折频率由低到高从左
11、向右依次标注在横轴上，并设最小转折频率以左为低频段； 3.根据 绘制低频段直线（P202 ） ； 4.从低频以后，沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变直线斜率，变化规律取决于该转折频率对应的典型环节种类。 5.修正。对于一阶项，在转折频率处的修正值为3dB； 对于二阶项，在 处的修正值可由 公式求出。,五、利用开环对数渐近幅频特性确定 最小相位系统的传递函数,1. 确定系统积分或微分环节的个数（根据低频段渐近线斜率 ）。,2 . 确定系统其他环节(根据转折频率前后斜率变化判断对应类型，利用转折频率的倒数确定时间常数）,降20dB/dec:惯性环节; 升20dB/dec:一阶微分环节 降4
12、0 dB/dec:振荡环节;升40 dB/dec:二阶微分环节,3. 参数K确定（根据低频段已知点的坐标判断）,上节重点内容回顾： 五、 利用开环对数渐近幅频特性确定 最小相位系统的传递函数,1. 确定系统积分或微分环节的个数（根据低频段渐近线斜率 ）。,2 . 确定系统其他环节(根据转折频率前后斜率变化判断对应类型，利用转折频率的倒数确定时间常数）,降20dB/dec:惯性环节; 升20dB/dec:一阶微分环节 降40 dB/dec:振荡环节;升40 dB/dec:二阶微分环节,3. 参数K确定（根据低频段已知点的坐标判断）,-20 dB/dec,0.002,60,dB,例已知最小相位系统
13、的对数幅频渐近特性曲线，求开环传递函数。,1,0.1,0.01,0.001,0.02,-20dB/dec,0.2,-40dB/dec,-60dB/dec,52,40,20,-40dB/dec,2005例：已知最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线，求系统的开环传递函数(要说明理由) 。,dB/dec,dB/dec,例：已知最小相位系统的Bode图如下图所示，求该系统的传递函数（5分） 。,5-3 频率域稳定判据,频域稳定判据是根据开环系统频率特性曲线判断闭环系统的稳定性。,奈奎斯特稳定判据 对数频率稳定判据,引入辅助函数F(s),F(s)的零点为闭环传递函数的极点； F(s)的极点为开环传递函数的
14、极点； F(s)零极点个数相同(均为n)； F(s)与G(s)H(s)只差常数1。,结论,设F(s)是复变量s的单值有理函数，在s平面任一封闭曲线包围F(s) Z个零点和P个极点, 且不经过F(s)的任一零点和极点。则 s 沿闭合路径顺时针方向转过一周时，F(s)平面内F(s)的曲线F逆时针包围原点的圈数：,Nyquist 稳定判据的数学基础幅角原理（P207）,幅角映射的几何解释,说明：幅角原理中R 的规定,闭合曲线 和 的关系,Nyquist稳定判据分析,Z: 内的闭环极点数,位于右半s平面上的开环传递函数的极点个数,位于右半s平面上的闭环 传递函数的极点个数,设闭合曲线包围整个右半s平面
15、,闭合曲线 包围(-1, j0)点的圈数, Nyquist稳定判据(P210),闭环系统稳定的充要条件是闭合曲线 不穿越 点，且逆时针包围 的圈数R 等于开环传递函数的正实部极点数P 。,简记：,1. 当G(s)H(s)无虚轴上的极点 时,I:II:III:,j,闭合曲线 ：只需要绘制 的完整的开环幅相特性曲线即可。,2.当G(s)H(s)在虚轴上有极点 时,j,0,IV:,I:II:III:,I,III,IV,闭合曲线 ： 开环幅相曲线( )，和从 开始，顺时针转过 后到达 的半径无穷大虚线圆弧。,上节重点回顾: 一、Nyquist稳定判据分析,Z: 内的闭环极点数,位于右半s平面上的开环传
16、递函数的极点个数,位于右半s平面上的闭环 传递函数的极点个数,设闭合曲线包围整个右半s平面,闭合曲线 包围(-1, j0)点的圈数,二、 Nyquist稳定判据(P210),闭环系统稳定的充要条件是闭合曲线 不穿越 点，且逆时针包围 的圈数R 等于开环传递函数的正实部极点数P 。,简记：,1. 当G(s)H(s)无虚轴上的极点 时,I:II:III:,j,闭合曲线 ：只需要绘制 的完整开环幅相特性曲线即可。,2.当G(s)H(s)在虚轴上有极点 时,j,0,IV:,I:II:III:,I,III,IV,闭合曲线 ： 开环幅相曲线( )，和从 开始，顺时针转过 后到达 的半径无穷大虚线圆弧。,例
17、5-2：设系统开环传递函数为,应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。,2. 当 G(s)H(s)有虚轴上的极点 时，在 开环幅相特性曲线基础上 ，还要从 出发，以无穷大为半径，逆时针转过 后的虚线圆弧； 箭头指向=0+ 。,三、半闭合曲线 (P208)的绘制,1. 当G(s)H(s)无虚轴上的极点 时，只需要绘制 的 开环幅相特性曲线即可；,四、由半闭合曲线 求R,设 为半闭合曲线 穿越 点左侧负实轴的次数和，则,负穿越,正穿越,其中：N+：正穿越次数,N-： 负穿越次数,，相角增大,，相角减小,例：根据半闭合曲线 求R=2N,2002年考题：已知开环传递函数( 、 、 ) ，及其幅相曲
18、线，判断各闭环系统的稳定性。,奈氏判据的应用,1. 判断系统稳定性； 2.求使系统稳定的参数K值的范围 。,例1：设系统的开环传递函数为,应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。,例5-2：设系统的开环传递函数为,试求使系统稳定的K值范围。,1. 幅相曲线与Bode图之间的对应关系,Nyquist曲线自上而下（自下而上）穿越（-1，j0）点左侧负实轴相当于 Bode图中当L()0dB时相频特性曲线自下而上（自上而下）穿越-180线。,五、Bode图在Nyquist稳定判据中的应用对数频率稳定判据,2. 对数频率稳定判据中半闭合曲线 绘制,: 基础上, ()还要在=0+处，由下而上补画相角为
19、/2的虚线。,:,的Bode图,的Bode图,3.对数频率稳定判据中穿越次数N 的计算,N+ :正穿越（自下而上）次数，相角增大 。 N- :负穿越（自上而下）次数，相角减小 。,设L()0dB时相频特性曲线穿越-180线的次数为N，,其中：,闭环系统稳定充要条件：当 时，在开环对数幅频特性在 L()0的频段内，相频特性曲线()穿越 -1800线的次数N=P/2。其中，P为s平面右半部开环极点的数目。,4.对数频率稳定判据,N=-1闭环不稳定,例:对数频率稳定判据,1.开环特征方程有两个右根，P=2,N=1 闭环稳定,2. 开环特征方程有两个右根，P=2,正负穿越数之差N=0 闭环稳定,例3:
20、 开环特征方程无右根， P=0,对数频率稳定判据,例：一反馈控制系统，其开环传递函数为 试用对数频率稳定判据判断系统的稳定性。,解:,Nyquist曲线自上而下（自下而上）穿越（-1，j0）点左侧负实轴相当于 Bode图中当L()0dB时相频特性曲线自下而上（自上而下）穿越-180线。,第五章 线性系统的频域分析法重点 Nyquist稳定判据 与 对数频率稳定判据,半闭合曲线 绘制,: 基础上, ()还要在=0+处，由下而上补画相角为/2的虚线。,:,的Bode图,的Bode图,=0+,例：一反馈控制系统，其开环传递函数为 试用对数频率稳定判据判断系统的稳定性。,解:,临界稳定点,|G( j)
21、 H( j)|=1, G( j) H( j) = -180o,G( j) H( j),5-4 稳定裕度(相对稳定性),1. 相角裕度与截止频率,0,j,j(wc),截止频率 ：开环频率特性幅值为1对应的频率。 相角裕度 ：当 时对应的相角与临界稳定相角-1800之间的差角。,1,-1,截止频率,相角裕度,例：负相角裕度,穿越频率 ：当系统开环幅相曲线与负实轴相交时对应的频率。 幅值裕度 ：穿越频率时的幅值需要放大多少倍才能到达到临界稳定幅值1。,2. 幅值裕度与穿越频率,0,j,j(wc),1,-1,例：负幅值裕度,5-5 闭环频率特性与时域性能指标的关系,单位反馈系统,1. 闭环幅频特性的零
22、频(幅)值: 2. 带宽频率 ：闭环幅值减小到零频值以下3dB，即到 = 0.707 dB 时的频率。0b，称为频带宽度。 3.谐振频率 4.谐振峰值,一、闭环频率特性指标(P217),1. 与系统的型别 之间的关系,对于单位负反馈系统，,因为型与稳态误差有联系。根据 是否为1可以判断系统是无差稳态误差。,二、闭环幅频特性与时域性能指标的关系,2.闭环二阶系统性能指标与时域性能指标的关系,一定时， 与 成反比，则 高的系统，其响应速度快。,2.闭环二阶系统性能指标与时域性能指标的关系,一定时， 与 成反比，即 高的系统，其响应速度快。,3. 高阶系统的性能指标经验公式 (P228有用但不需背）
23、,第五章 线性系统的频域分析法 重点回顾,开环频率特性曲线的绘制 频率域稳定判据应用 3. 稳定裕度的计算,-20 dB/dec,-40dB/dec,dB,补充题：例已知最小相位系统对数幅频渐近特性曲线，求开环传递函数。,-40dB/dec,补充:5-6开环频率特性与时域性能指标的关系,三频段理论 1.低频段与稳态性能 2. 中频段与动态性能 3. 高频段与抑制噪声,通常是指 的渐近曲线在第一个转折频率以前的区段，这一段的特性完全由积分环节和开环增益决定。,1. 开环频率特性的低频段,例,结论:低频段与系统型有关， 因此低频段决定了系统稳态性能。,2. 开环频率特性的中频段,指 穿过0dB线(即 附近)的频段，其斜率及宽度(中频段长度)集中反映了动态性能。 例:,中频段与动态性能的关系（P228）,高频段指L()曲线在中频段以后的区段，反映出系统的低通滤波特性，形成了系统对高频干扰信号的抑制能力。,3.开环频率特性的高频段,例：,补充例：如图分析典型开环对数幅频渐近特性与动态 性能指标的关系。设计中频段的 。,-20 dB/dec,-40dB/dec,dB,-40dB/dec,h,
