1、第九章 压杆稳定,于亚婷 电子科技大学.机械电子工程学院,材料力学,塑性材料屈服破坏,脆性材料的脆性断裂,短柱,长柱,强度不足引起失效 失稳造成失效,第九章 压杆稳定,第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为,例 一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。 钢的许用应力为=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能 承受的轴向压力为,F = A = 3.92 kN,91 压杆稳定的概念,实际上,其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而 是与受压时变弯有关。当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就 突然发生明显的弯曲变形,丧失了承载能力.,一、引言,工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不
2、一定能安全可靠地工作。,二、工程实例（Example problem）,内燃机、空气压缩机的连杆,案例1、上世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏(Theodore Cooper)在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge) 1907年8月29日，发生稳定性破坏, 85位工人死亡, 成为上世纪十大工程惨剧之一.,三、失稳破坏案例,1925年，前苏联的莫兹尔桥在试车时，也是受压杆件失稳而破坏,案例2 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼,由于盲目扩建, 加层, 致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏, 大楼倒塌, 死502人，伤930人，失踪113人.,案例3 2000年1
3、0月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳，造成屋顶模板倒塌, 死6人, 伤34人.,研究压杆稳定性问题尤为重要,1、平衡的稳定性,四、压杆稳定的基本概念-试验现象,随遇平衡,Fcr：使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力,2、弹性压杆的稳定性,特征：压杆由直线平衡形态转变为曲线平衡形态,稳定平衡状态,临界平衡状态,不稳定平衡状态,确定压杆的临界力 Fcr,五、稳定问题与强度问题的区别,平衡状态,应力,平衡方程,极限承载能力,直线平衡状态不变,平衡形式发生变化,达到限值,小于限值 sss,变形前的形状、尺寸,变形后的形状、尺寸,实验确定,理论分析计算,9-2 两端绞支细长压杆的临界压力,对
4、于细长压杆来说，当轴向压力F 等于临界载荷Fcr时，压杆在直线平衡形态附近无穷小的邻域内存在微弯的平衡形态。因此，压杆的临界载荷是使压杆在微弯状态下保持平衡的最小轴向压力。,一、临界载荷的欧拉公式,力学模型：在临界载荷作用下，细长压杆处于微弯的平衡状态。,理想压杆：压杆轴线是理想直线，压力F 的作用线与轴线完全重合，而且材料是均匀连续的。,临界载荷求解的模型,m,x,m,w,B,x,y,l,Fcr,该截面的弯矩,杆的挠曲线近似微分方程,压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移,（a),(b)式的通解为,（A、B为积分常数）,m,x,m,w,B,x,y,l,Fcr,边界条件,由公式(c),讨论,若
5、则必须,n = 1时, Fcr最小，此时,这就是两端铰支等截面细长受压 直杆临界力的计算公式（欧拉公式）,m,x,m,B,x,y,F,w,挠曲线为半波正弦曲线。,绕曲线,m,x,m,B,x,y,F,w,为细长杆中点的挠度。,9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力,1、压杆的其它支承形式,一端自由，一端固定,一端铰支，一端固定,螺旋千斤顶的螺杆,一端自由，一端固定；,发动机连杆,xy平面内，轴销对杆的约束接近于固定约束； xz平面内，轴销对杆的约束接近于铰支。,连杆的摆动平面,垂直于连杆的摆动平面,两端铰支,两端固定,1、一端固定 一端自由,2、两端固定,C，D 为拐点,凸曲线与凹曲线的连接点
6、，此点处函数的二阶导数为零,3、一端固定,另一端铰支,C 为拐点,两端铰支,一端固定,另一端铰支,两端固定,一端固定,另一端自由,表91 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式, = 1, = 0.7, = 0.5, = 2,欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Formula), 为压杆的长度系数,5、讨论, 为长度系数, l 为相当长度,（1）相当长度 l 的物理意义,压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当 长度 l 。, l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度。,（2）横截面对某一形心主惯性轴的
7、惯性矩 I,若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。,z,y,x,取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力。,若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力。I 为其相应中性轴的惯性矩。,即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力。 然后取小的一个作为压杆的临界压力。,x,z,F,l1,F,例题1 由Q235钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。 在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，z = 1， 长度为 l1 。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固 定 y = 0.5 ，长度为 l2 。求 Fcr。,l
8、2,l2,z,y,22,12,6,6,24,解：,在 xy平面内失稳时，z 为中性轴,在 xz平面内失稳时，y 为中性轴,y,x,22,12,6,6,24,压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定 平衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算。,9-4 欧拉公式的应用范围经验公式,一、临界应力,欧拉公式临界应力,按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面 上的应力为,为压杆横截面对中性轴的惯性半径, 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度、 杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响。, 越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。,若压杆在不同平面内失稳
9、时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力 cr 。,二、 欧拉公式的应用范围,只有在 cr P(比例极限) 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力 Fcr（临界应力 cr ）。,或,服从胡克定律,即 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围。,当 1 但大于某一数值 2的压杆不能应用欧拉公式。此时需用经验公式,1 的大小取决于压杆材料的力学性能。例如，对于Q235钢，可取 E=206GPa，P=200MPa，得,三. 常用的经验公式,式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表9.2得出。,2 是对应 直线公式 的最小柔度。,1.直线公式
10、,或,令,塑性材料,因强度不足发生破坏，所以临界应力不大于破坏应力,表9-2 几种常用材料的相关数据,式中：a1 和 b1是与材料有关的常数。,2.抛物线公式,1）大柔度杆（Long columns） 2）中柔度杆（Intermediate columns ）3）小柔度杆（Short columns）( 2),四. 压杆的分类及临界应力总图,1、压杆的分类,结构钢与低合金钢等材料制成的非细长压杆。,适用范围,2、临界应力总图-1（直线公式）,临界应力总图-2（抛物线公式）,临界载荷的计算,例题2 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材 料及直径相等。问哪个杆先失稳。,B,C,解：,杆A,杆
11、B,杆C,B,C,例题3 压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支。已知，杆长l=1m ,材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa。求压杆的临界应力。,解：,(1)哪个面先失稳；（2）确定用哪个公式,因为 z y , 所以压杆绕 z 轴先失稳,因为 z =115 1，用欧拉公式计算临界力。,例题4 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰 支，材料为 Q235钢，承受轴向压力 F。试求,（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；,（2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界应力。,已知： E =
12、 200 GPa， P = 200 MPa ， S = 240 MPa ，用直线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa。,解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度,压杆 = 1,（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?,用直线公式计算,s,1. 稳定性条件,2.计算步骤,计算最大的柔度系数max (2)根据max 选择公式计算临界应力,根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷,9-5 压杆的稳定校核,稳定安全因数,例题5 活塞杆由45号钢制成，S = 350MPa ， P = 280MPaE=210GPa 。长度 l = 703mm ，直径 d=45mm 。最大
13、压力Fmax = 41.6kN 。规定稳定安全系数为 nSt = 810 。试校核其稳定性。,活塞杆两端简化成一端自由，一端固定的压杆,解：, = 2,截面为圆形,活塞杆属于大柔度杆可以用欧拉公式计算临界压力。,临界压力是,活塞的工作安全系数,所以活塞杆不满足稳定性要求。,因此,66KN,1.6nst,例题6 油缸活塞直经 D = 65mm，油压 p =1.2MPa。 活塞杆长度 L =1250mm，材料为35钢，S =220MPa， E = 210GPa，nst = 6。试确定活塞杆的直经。,解：活塞杆承受的轴向压力应为,活塞杆承受的临界压力应为,把活塞的两端简化为一端固定一端自由的压杆。,
14、用试算法求直径,（1）先由 欧拉公式 求直径,求得 d = 34.8mm。,取 d = 35mm,（2）用求得直径计算活塞杆柔度,由于 1，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的。,286,例题7 AB的直径 d=40mm，长 l=800mm，两端可视为铰支。材料为Q235钢，弹性模量 E=200GPa。比例极限P =200MPa，屈服极限 S =240MPa，由AB杆的稳定条件求F。(若用直线公式 a = 304 MPa， b =1.12 MPa )。,解：取 BC 研究,FN,用直线公式,F =118kN,不能用欧拉公式,思考题1：图示梁杆结构，已知压杆AB为矩形截面，梁BC的抗弯截面模量为W
15、=6104mm3，梁和杆的材料相同，E=200GPa，许用应力s =160MPa，稳定安全系数nst =3，lp=100 ，试求C端作用的许用力偶矩 M0=？,Fcr？,思考题2：已知托架D处承受载荷F10KN。AB杆的外径D50mm，内径d=40mm，材料为Q235钢，E=200GPa。p100， 060，稳定安全系数nst=3。试校核AB杆的稳定性。,例题7,9-6 提高压杆稳定性的措施,一、合理选择材料,各种钢材的弹性模量相差不大，针对大柔度压杆，选用材料高强度的材料，对提高临界应力作用不明显。,大柔度压杆,小柔度杆 属于强度问题，采用不同材料有影响。,二、 合理选择截面,对于一定支撑方
16、式和长度的压杆，,应尽可能小。,压杆的承载能力取决于最小的惯性矩Imin，当压杆各个方向的约束条件相同时，应使截面对两个形心主轴的惯性矩尽可能大，而且相等。,圆筒和正方形箱形截面最为理想。,三、合理安排压杆约束与选择杆长,减小压杆的长度，可降低柔度。,工程中，为了减小柱子的长度，通常在柱子的中间设置一定形式的撑杆，它们与其他构件连接在一起后，对柱子形成支点，限制了柱子的弯曲变形，起到减小柱长的作用。对于细长杆，若在柱子中设置一个支点，则长度减小一半，而承载能力可增加到原来的4倍。,改变压杆的约束形式：,约束越牢固,为防止压杆失稳，用于支撑水箱的管状杆沿长度在三个位置上被加固。,第九章结束,作业： 9.4 9.7 9.8 9.10 9.11 9.14 9.15 9.16 9.19,
