1、电磁场理论 第1章：矢量分析,耿军平电子信息与电气工程学院，电子工程系 电院楼群1522 Email: Tel:34204663 2007.0307,第1章：矢量分析,矢量表示及其代数运算 矢量场和标量场 标量场的梯度 矢量场的通量、散度与散度定理 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 标量场、矢量场的重要性质和定理 正交曲线坐标系,矢量表示及其代数运算,矢量的表示及距离矢量 矢量的代数运算,标量和矢量,标量：仅具有大小特征的量 矢量：具有大小和方向特征的量 例如：力、位移、速度、加速度、电场强度及磁场强度等物理量都是矢量 标量的空间分布构成标量场 矢量的空间分布构成矢量场,几何表示:一条有向线段
2、，长度表示大小，指向表示方向 直角坐标中，不同的矢量即使起点移到原点，其终端坐标不同 矢量A的终端坐标为（Ax,Ay,Az） ；Ax,Ay,Az称为矢量A的三个相应的坐标分量。,矢量的表示,在三维空间中，一个矢量可用其三个坐标分量来表示。反之，三个标量可用一个矢量来代替。矢量运算比标量运算简洁 在二维空间中，一个矢量仅需要两个坐标分量来表示，而在一维空间中，一个矢量仅需要一个坐标分量。 通常，矢量大小及方向均随空间坐标而变化. 常矢量：大小和方向均与空间坐标无关。,矢量的表示（续）,单位矢量a：矢量模为1的矢量称为单位矢量 ax，ay，az 矢量A： A=axAx+ayAy+azAz矢量A的模
3、：,矢量的表示（续）,矢量A的单位矢量：,a的模为1，方向与A相同,归一化,矢量A的单位矢量：式中角度，分别为矢量A与坐标轴的夹角，cos ，cos ，cos称为矢量的方向余弦,矢量的代数运算,矢量相等： A=B 大小及方向均相同 或在同一坐标系中，各个坐标分量均相同 结合律:（A+B)+C=A+(B+C) 交换律: A+B=B+A 矢量相减： AB=A+(-B) 注：同一坐标系中，两个矢量的加减运算就是对应坐标分量的相加和相减。,矢量的代数运算（续）,图1-1 矢量加减 图1-2 矢量与标量相乘,矢量的代数运算（续） 矢量的标积,两个矢量的标积又称为点积或内积，以点号“”表示。两个矢量的标积
4、是一个标量，服从交换律。,矢量的代数运算（续） 矢量的标积,矢量与其本身的标积：矢量A的大小为：矢量的大小称为矢量的模，以绝对值符号|A|或A表示,矢量的标积（续）,矢量标积的几何意义如图所示,矢量的标积（续）,两矢量垂直的充要条件：它们的点积为零,标积等于矢量A的模与矢量B在矢量A的方向上的投影大小的乘积，或者说等于矢量B的模和矢量A在矢量B方向上的投影大小的乘积。,矢量的代数运算（续） 矢量的矢积,矢量的矢积又称为叉积或外积，以“”表示,两个矢量的矢积仍然是一个矢量,矢量的矢积（续）,矢量矢积的几何意义如图所示,矢量的矢积（续）,两矢量平行的充要条件：它们的叉积为零,矢量矢积的方向与矢量A
5、及矢量B垂直，且由矢量A旋转到矢量B，并与矢量(AB)构成右旋关系，矢量的大小为,矢量的混合积（三重积）,标量三重积(混合积）：A(BC)= B(CA) = C(AB)A(BC)= CABBAC(AB)C= (BC)A = (CA)B,矢量三重积：三矢量所围平行六面体体积。A(BC)= B(AC)C(AB) 矢量运算规则：先矢积，后标积 A(BC)= ABC,例1-0,用矢量的方法求证平面几何中的余弦定理,自然局部基矢量,自然基矢量：全局参考自然局部基矢量目标点的微小领域内如：矩量法,并矢,任意两个矢量a、b并写在一起，ab称为并矢，张量积 并矢格林函数散射场是各媒质、各面、各方向电流元的叠加
6、 张量：满足某种坐标转换关系的有序数组成的集合,第1章：矢量分析,矢量表示及其代数运算 矢量场和标量场 标量场的梯度 矢量场的通量、散度与散度定理 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 标量场、矢量场的重要性质和定理 正交曲线坐标系,矢量场和标量场,第1章：矢量分析,矢量表示及其代数运算 矢量场和标量场 标量场的梯度 矢量场的通量、散度与散度定理 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 标量场、矢量场的重要性质和定理 正交曲线坐标系,标量场的方向导数与梯度,标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率,标量场 在点P沿l方向上的方向导数定义为,标量场的方向导数与梯度（续）,在直角坐标系中，
7、方向导数可写为,标量场的方向导数与梯度（续）,令 为矢量G的三个坐标分量,标量场沿矢量l方向上的方向导数,标量场的方向导数与梯度（续）,矢量G称为标量场 的梯度，以 表示,标量场的方向导数与梯度（续）,注* 标量场的梯度是一个矢量场； * 当al的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。 * 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数， 梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。,标量场的方向导数与梯度（续）,哈密顿引入劈形算子（读作Delta）,标量场的梯度可以表示为:,标量场的方向导数与梯度（续）,标量场梯度说明,标量场的等值面：标量等于常数的空间曲面 某点梯度的三个坐标分量是标量场等值
8、面通过该点法线的三个方向导数，这就意味着梯度的方向为等值面的法线方向。 或者说，梯度的方向与等值面垂直，且指向标量场数值增大的方向。,比如等势面与电场场强,标量场的方向导数与梯度（续）,梯度的运算符合下列规则：,线性系统的特征,误解：,一般不等于0,可以当作矢量符号，但又必须注意其实际的数学意义,例1-1,例1-2,求R和R,P点和P点是矢量R的终点和起点。以矢量的终点和起点为参考，分别来求同一标量场的梯度，必然模相等，方向相反。 以电势和场强为例。,第1章：矢量分析,矢量表示及其代数运算 矢量场和标量场 标量场的梯度 矢量场的通量、散度与散度定理 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 标量场、矢
9、量场的重要性质和定理 正交曲线坐标系,矢量场的通量、散度与高斯定理,矢量A沿某一有向曲面S的面积分成为矢量A通过该有向曲面S的通量，以表示,标量,矢量场的通量、散度与高斯定理,说明：若在有向曲面S上，有向面元dS(法线)处处与矢量A的方向保持垂直，则矢量通过该有向曲面的通量为零。若有向面元dS处处与矢量A的方向保持相同或相反，则通量0或0 。这说明，矢量通过某一有向曲面的通量既与矢量的大小有关，又与矢量的方向有关,标量,矢量场的通量、散度与高斯定理(续),若有向曲面是闭合的，根据矢量通过该闭合有向曲面的通量可以判断该矢量是进入还是穿出这个闭合面： 当矢量穿出这个闭合面时，认为闭合面中存在产生该
10、矢量场的源； 当矢量进入这个闭合面时，认为闭合面中存在汇聚该矢量的洞（或汇）。,矢量场的通量、散度与高斯定理(续),闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正，成为正源；当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负，成为负源。,矢量场的通量、散度与高斯定理(续),在既无源又无洞的无源区，穿过任一闭合面的通量为零，因为穿出闭合面的通量等于穿入闭合面的通量。 穿过闭合面的通量越大意味着闭合面中的源越强。,矢量场的通量、散度与高斯定理(续),由物理学得知，真空中的电场强度通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量与真空介电常数
11、之比。可见，当闭合面中总电荷量为正时，通量为正；当闭合面中总电荷为负时，通量为负。电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。,矢量场的通量、散度与高斯定理(续),通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。,如：质量与密度,矢量场的通量、散度与高斯定理(续),散度：当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，以divA表示，即,标量,矢量场的通量、散度与高斯定理(续),说明：散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。散度代表源的强度，因此在源不存在的无源区中，各点的散度应等于零。,矢量场的通量、散度
12、与高斯定理(续),高斯定理 ：,如图，由于闭合面S1及S2的相邻部分表面的外法线方向恰好相反， 因此通过S的通量等于通过S1及S2的通量之和。 由此可以推知，由于S包围的体积V可以认为是由很多体积元dV组成的,矢量场的通量、散度与高斯定理(续),通过S的通量等于包围各个dV的闭合面通 量之和。 已知散度代表通过包围单位体积的闭合面的通量，,矢量场的通量、散度与高斯定理(续),从数学上来看，利用高斯定理可以将矢量函数的面积分转化成标量函数的体积分，或反之。 从场的观点来看，高斯定理建立了某一区域中的场与包围该场域边界上的场之间的关系。因此高斯定理是矢量分析中的重要定理之一。,矢量场的通量、散度与
13、高斯定理(续),矢量场的散度在直角坐标系中的表达式,若六面体很小，S1上各点的Ax可以认为是相等的，,矢量场的通量、散度与高斯定理(续),在M点泰 勒级数展开,矢量场的通量、散度与高斯定理(续),同理：矢量场A通过上下端面及前后端面的通量和分别为：,矢量场通过包围点的六面体表面的总通量为：,得矢量场在M点的散度为(直角坐标系中散度的表示式 ),矢量场的通量、散度与高斯定理(续),用算子表示散度：高斯定律：散度运算符合下列规则：,矢量场的通量、散度与高斯定理(续),拉普拉斯算子,对于标量场，拉普拉斯算子可以理解为：对标量场所求梯度的散度运算。,矢量场的通量、散度与高斯定理(续),拉普拉斯算子算子
14、也可对矢量进行运算，但是对于矢量进行运算时已失去原有的梯度的散度的概念，而仅是一种符号运算。,1. 直角坐标系中对各坐标分量（标量）分别进行拉普拉斯运算； 2. 运算结果为矢量。,误解：,矢量的方向是固定的， 矢量场的方向处处不同,直角坐标,圆柱（球）坐标,例14,第1章：矢量分析,矢量表示及其代数运算 矢量场和标量场 标量场的梯度 矢量场的通量、散度与散度定理 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 标量场、矢量场的重要性质和定理 正交曲线坐标系,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理,矢量场A沿一条有向曲线l的线积分称为矢量场沿该曲线的环量，以表示,标量,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理,说明：1)
15、若在闭合有向曲线上，矢量场A的方向处处与线元dl的方向保 持一致，则环量 0；2) 若处处相反，则 0 。3) 可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理,说明：由物理学可知，真空中磁感应强度B沿任一闭合有向曲线的环量 等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空磁导率0的乘积。其中电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系。因此，环量可以表示产生具有旋涡特性的源强度，但是它代表的是闭合曲线包围的总的源强度，不能显示源的分布特性。,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),矢量A对于方向an 的环度强度为：,说明： an 为S的法向单位矢量，与曲线l构成右旋关系同一点上，
16、矢量A对于不同方向的环量强度可能不等,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),旋度矢量，rotA 该旋度矢量的方向是使矢量A具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环度强度，即,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),说明：矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线的最大环量，因此，旋度代表了源的强度。在旋涡场源不存在的无源区，旋度必然为零。,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),斯托克斯定理 任一条闭合有向曲线l包围的区域总可分为两个部分，其周界分别为l1和l2，如图0-7-2所示。 由于闭合曲线l1和l2的相邻部分方向相反， 因此，矢量A沿着l的环量等于沿着l1和l2的
17、环量之和。,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),斯托克斯定理 由于包围l的面积S可以认为是由很多面元dS组成的，那么沿着l的环量等于沿着包围各个dS的闭合曲线的环量总和。,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),注： 利用此定理可将面积分化为线积分，或反之。 从场的观点来看，它建立了区域中的场与区域边缘上的场之间的关系。 因此，斯托克斯定理也是矢量分析中重要定理之一,矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理(续),旋度在直角坐标系中的表达式,可以把看成矢量，并与矢量A叉乘,算子表达旋度斯托克斯定理旋度运算符合下列规则,例15,例16,又称旋度定理,第1章：矢量分析,矢量表示及其代数运算 矢量场和标
18、量场 标量场的梯度 矢量场的通量、散度与散度定理 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 标量场、矢量场的重要性质和定理 正交曲线坐标系,标量场、矢量场的重要性质和定理,无散场与无旋场格林定理 矢量场的惟一性定理 亥姆霍兹定理,无散场与无旋场,矢量场的散度及旋度反映了产生矢量场的源 在有源区中，散度或旋度一定不等于零，或者两者均不为零。 在无源区中，散度及旋度一定为零。 一切矢量场的源只有两种类型，即产生发散场的散度源和产生旋涡场的旋度源。 在全空间中，散度及旋度均处处为零的场是不存在的。 散度或旋度处处为零的场是存在的,无散场与无旋场（续）,无散场：散度处处为零的矢量场 无旋场：旋度处处为零的矢量
19、场任一矢量场的旋度的散度一定等于零,无散场与无旋场（续）,证明：可在矢量场中任取一 个体积V，对体积V进行积分，由高斯定理得,无散场与无旋场（续）,此闭合面S可用其表面上的一条闭合有向曲线l分为两个有向曲面S1和S2， 由斯托克斯定理，得,无散场与无旋场（续）,说明： 任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度 或者说，任何旋度场一定是无散场。,理解： ，所以B垂直与A构成德平面，所以,无散场与无旋场（续）,任一标量场的梯度的旋度一定等于零， 或任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度 或者说，任何梯度场一定是无旋场。,理解：梯度是标量场在l方向的最大变化量，所以梯度沿闭合曲线一周的积分为零，所以梯
20、度的旋度为零。 换句话说，我们只向上攀梯子，攀了一圈之后，回到起点。,证明：,也可这样理解：,标量场、矢量场的重要性质和定理,无散场与无旋场格林定理 矢量场的惟一性定理 亥姆霍兹定理,格林定理,设任意两个标量场和，若在区域中具有连续的二阶偏导数,式（091）或者（093）称为标量第一格林定理,格林定理（续）,证明：对 应用高斯定理,代入，（093）即得,格林定理（续）,标量第二格林定理 若将式（091）中 和 对调，显然，等式仍然成立，即,将式（091）与上式相减，得,格林定理（续）,矢量第一格林定理设任意两个矢量场P和Q，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，则该矢量场P和Q满足下列等式,式中S
21、为包围V的闭合曲面，面元dS的方向为S的外法线方向,证明：可对矢量 应用高斯定理，再利用矢量恒等式，即可证明。,矢量三重积A(BC) = B(AC)C(AB),格林定理（续）,矢量第二格林定理与前类似，若将式（第一格林定理）中P与Q对调，所得的等式再与式（第一格林定理）相减，即得,格林定理（续）,上述各种格林定理，都是说明区域中的场与边界上的场之间的关系。 因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。 此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。,标量场、矢量场的重要性质和定理,无
22、散场与无旋场格林定理 矢量场的惟一性定理 亥姆霍兹定理,矢量场的惟一性定理,位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。,采用反证法进行证明： 令,惟一性定理表明，区域中的矢量场被其中的源及边界值（或称边界条件）惟一地确定 对于无限大自由空间，只要标量场满足1/(R1+)，(0)(式中R表示场点到原点的距离），则当边界面S趋向无穷远处时，式（0104）的右端面积分仍然为零。 所以无限大自由空间中的矢量场仅被其散度及旋度惟一地确定。,标量场、矢量场的重要性质和定理,无散场与无旋场格林定理 矢量场的惟一性定理 亥姆霍兹定理,亥姆霍
23、兹定理,若矢量场F(r)在无限区域中处处是单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域V中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场F(r)可以表示为,该关系称为亥姆霍兹定理。,亥姆霍兹定理(续）,该定理再次表明，无限空间中矢量场被其散度及旋度惟一地确定； 而且它给出了场与其散度及旋度之间的定量关系， 或者说，给出了场与源之间的定量关系。,亥姆霍兹定理(续）,证明,矢量场唯一性定理,亥姆霍兹定理(续）,式（0109）及式（01012）中的面积分分别代表了边界上场量的法向分量与切向分量。 表明，有限空间中的矢量场被其散度、旋度及其边界条件惟一地确定。 若该有限区域是无源的，则场仅决定于边界条件。,亥姆
24、霍兹定理(续）,已知梯度场是无旋场，旋度场是无散场，因此，式（0101）又表明，任一矢量场均可表示为一个无旋场和一个无散场之和。 亥姆霍兹定理表明：如果已知矢量场的散度及旋度以后，即可求出该矢量场，因此，矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。,亥姆霍兹定理(续）,今后，我们在讨论各种电磁场时，首先必须讨论的就是其散度及旋度特性。 由式（0101）及式（0102）亦可见，对于无限空间，当矢量场的散度及旋度均为零时，(r)=A(r)=0，则矢量场F(r)也随之消失，因此无旋且无散的矢量场在无限空间是不存在的，它只能存在于局部无源区域之中。,亥姆霍兹定理(续）,依据散度及旋度特性可把场分为四
25、类： 第一类：无散，无旋： 第二类：有散，无旋 第三类：无散，有旋 第四类：有散，有旋,第1章：矢量分析,矢量表示及其代数运算 矢量场和标量场 标量场的梯度 矢量场的通量、散度与散度定理 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 标量场、矢量场的重要性质和定理 正交曲线坐标系,正交曲面坐标系,已知在三维直角坐标系中，使用三个坐标变量（x0,y0,z0）可确定空间点P0的位置，这就意味着使用三个平面可以确定三维空间中任一点的位置。 一般来说，任一三个相交的曲面均可确定三维空间中任一点的位置。如果三个曲面在空间是处处正交的，则由此建立的坐标系称为正交曲面坐标系。 由三个相互正交的平面构成的直角坐标系是一种
26、特殊的正交曲面坐标系,正交曲面坐标系(续）,正交曲面坐标系是由三个正交坐标曲面u1=const, u2=const, u3=const构成, u1, u2, u3称为坐标变量 三个相应坐标变量的梯度方向上的单位矢量 为au1，au2，au3，三者满足：,正交曲面坐标系(续）,变量u1的坐标轴：沿着au1方向仅变量u1发生改变，因此，若一条曲线上各点的切线方向与au1方向一致，则该曲线称为变量u1的坐标轴 u1坐标轴描述了变量u1的变化方向及尺度 在三维空间中，每两个坐标曲面的交线形成第三个变量的坐标轴。 在三维正交坐标系中，矢量A可表示为,正交曲面坐标系(续）,除了直角坐标系中，常用的两种正交
27、曲面坐标系是圆柱坐标系和球坐标系,注意，在圆柱坐标系中只有az是常矢量。由于空间各点的 及方向不同，因此 及 都是变矢量。,图0121 圆柱坐标系,正交曲面坐标系(续）,球坐标系是由一个圆球面(r)，一个锥面()与一个半无限大的平面()构成,正交曲面坐标系(续）,在矢量分析中，经常对矢量函数进行微分与积分运算，这种运算需要把坐标变量的微分变化对应于微分长度的变化， 正交曲面坐标系中，其坐标变量不一定代表长度。如圆柱坐标系中的坐标变量及球面坐标系中的和均代表角度。,正交曲面坐标系(续）,为了能对各种坐标变量进行微分运算，必须把非长度的坐标变量的微分增量转化为微分长度。 为此，可令微分长度为,式中
28、hi称为相应的坐标变量ui的度量系数。,正交曲面坐标系(续）,对于任一有向长度的微分增量dl可表示为或对于任一有向曲面的微分增量dS可表示为,他们分别表示有向面元在相应的坐标平面上的投影面积,对于任一体积的微分增量可以表示为,正交曲面坐标系(续）,正交曲面坐标系中梯度、散度及旋度的表示式 标量场在aui方向上的方向导数 标量场的梯度六面体元,正交曲面坐标系(续）,说明：,球坐标变量与直角坐标变量的关系,直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系中各个坐标轴上单位矢量之间的关系，可以导出矢量A在三种坐标系中各个坐标分量之间的关系式如下：,斜角直线坐标系,给定参考矢量gi 平面：i1，2 三维空间：i1，2
29、，3 矢量表示（分解、投影）各单位矢量,小结,运算关系,梯度通量 散度高斯定理,环量旋度斯托克斯定理,拉普拉斯算子,标量三重积： A(BC)= B(CA) = C(AB)A(BC)= CABBAC (AB)C= (BC)A = (CA)B,矢量三重积：三矢量所围平行六面体体积。A(BC)= B(AC)C(AB) 矢量运算规则：先矢积，后标积 A(BC)= ABC,格林定理,矢量场的唯一性定理：位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以 及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被 惟一地确定,亥姆霍兹定理,矢量场F(r)在无限区域中处处是单值,导数连续有界，源分布在有限区域V中.当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场F(r)可以表示为,思考题1,如何理解哈密尔顿算子在各种情况下的的数学意义？从定义出发。,思考题2,单位矢量是否为常矢量？注意直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系的差异，尤其是度量因子,思考题3,散度和旋度都存在的场的描述？注意直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系的差异，尤其是度量因子,谢谢！,
