1、2012 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）第卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件 A,B 胡斥，那么 P(AUB)=P(A)+P(B).棱柱的体积公式 V=Sh.其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。圆锥的体积公式 V= Sh13其中 S 表示圆锥的底面面积，H 表示圆锥的高。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） i 是虚数单位，复数 =54i（A） （B）1i1i（C）
2、 （D）【解析】复数 ，选 C.iii 7)4(354【答案】C（2） 设变量 x,y 满足约束条件 ,则目标函数0142xyz=3x-2y 的最小值为（A）-5 （B）-4 （C ）-2 （D）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由 得yxz2，由图象可知当直线 经过点 时，直线23zxy23y),0(的截距最大，而此时 最小为xz，选 B.43yxz【答案】B（3） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（A）8 （B）18 （C）26 （D）80【解析】第一次循环 ，第二次循环 ，第三次2,30nS 3,832n循环 ，第四次循环满足条件输出 ，选 C.4,263S 6
3、S【答案】C（4） 已知 ，则 a，b，c 的大小关系为120.25,(),logabc（A）c ”是“2x 2+x-10”的12（A） 充分而不必要条件（B） 必要而不充分条件（C） 充分必要条件（D） 既不充分也不必要条件【解析】不等式 的解集为 或 ，所以“ ”是“012x21x21x”成立的充分不必要条件，选 A.012x【答案】A（6） 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A） ，x Rcos2y（B） ，x R 且 x0lg（C） ，x R2ey（D） ，x R31【解析】函数 为偶函数，且当 时，函数 为增函数，所以在y2log0xy22logl上也为增函数
4、，选 B.)2,1(【答案】B（7） 将函数 （其中 0）的图像向右平移 个单位长度，所得图像经过()sinfx4点 ，则 的最小值是)0,43(（A） （B）1 C） （D）213 53【解析】函数向右平移 得到函数 ，因为此)4sin()4(sin)4() xxxfg时函数过点 ，所以 ，即 所以 ,)0,4(04(sin,2kZk,2所以 的最小值为 2，选 D.【答案】D（8） 在ABC 中， A=90，AB=1，设点 P，Q 满足 = ， =(1- ) ， APBAQACR。若 =-2，则 =BQCP（A） （B） C） （D）2132343【解析】如图，设 ，cCbB,则 ，021
5、又 ， ，cAQ)1(bcAPC由 得2CPB，2)1(4)()()1(2bcbcb即 ，选 B.3,2【答案】B第卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共 12 小题，共 110 分。二.填空题：本答题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9 ）集合 中最小整数位 .|2AxR【解析】 不等式 ，即 ， ，所以集合35x73x，所以最小的整数为 。7x【答案】 3（10 ）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积 .3m【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为 ，五棱柱的体积是 ，所以
6、几何体的总体积为 。2436412)(30【答案】 0（11 ）已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，)0,(1:21bayxC 164:22yxC且 的右焦点为 ,则 1(50)F【解析】双曲线的 渐近线为 ，而 的渐近线为 ，所1642yxxy212byaxaby以有 ， ，又双曲线 的右焦点为 ，所以 ，又2aba12bx)0,5(5c，即 ，所以 。c2545a2,ba【答案】1，2（12 ）设 ,若直线 与 轴相交于点 A,与 y 轴相交于 B，且 l 与圆,mnR:10lxnyx相交所得弦的长为 2，O 为坐标原点，则 面积的最小值为 。24xyAOB【解析】直线与两坐标轴的交点坐
7、标为 ，直线与圆相交所得的弦长为 2，圆心),(,mn到直线的距离 满足 ，所以 ，即圆心到直线的距离d31422r3d，所以 。三角形的面积为 ，又312nmmmnS21，当且仅当 时取等号，所以最小值为 。3122nmS 61nm3【答案】3（13 ）如图，已知 和 是圆的两条弦，过点 作圆的切线与 的延长线相交于 .过点ABCBACD作 的平行线与圆交于点 ,与 相交于点 , , , ,则线段 的长CDEF3132EF为 .【解析】如图连结 BC，BE ，则 1= 2 ，2= A，又1AB=B ， ，CFB,代入数值得,BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得,解得 CD= .FBD
8、34【答案】 34（14 ）已知函数 的图像与函数 的图像恰有两个交点，则实数 的取值范围是 .21xyykxk【解析】函数 ，当 时， ，当1)(2xx1112xxy时， ，综上函数1x,12 xy，做出函数的图象，要使函数 与 有两个不同的交点，,2xx， ykx则直线 必须在蓝色或黄色区域内，如图，则此时当直线经过黄色区域时 ， 满足ky )2,1(Bk，当经过蓝色区域时， 满足 ，综上实数的取值范围是 或 。21k100【答案】 或 。10k2三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15 题） （本小题满分 13 分）某地区有小学 21
9、所，中学 14 所，大学 7 所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查。（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。（II）若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，（1）列出所有可能的抽取结果；（2 ）求抽取的 2 所学校均为小学的概率。、（16 ） （本小题满分 13 分）在 中，内角 A，B，C 所对的分别是 a,b，c。已知 a=2.c= ,cosA= . 2-4（I）求 sinC 和 b 的值；（II）求 cos（2A+ ）的值。317.（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，ADPD，
10、BC=1，PC=2 ，PD=CD=2.3（I）求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值；（II）证明平面 PDC平面 ABCD；（III）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。（18 ） （本题满分 13 分）已知 是等差数列，其前 项和为 ， 是等比数列，且 = =2, , -1 nnS 11 274ba=10（I）求数列 与 的通项公式； （II）记 = + ， （n ,n2） 。112+1+.+,证 明 8=11 （19 ） （本小题满分 14 分）已知椭圆 （ab0 ）,点 P（ , ）在椭圆上。22+22 5 22（I）求椭圆的离心率。（II）设 A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 的斜率OQ的值。（20 ） （本小题满分 14 分）已知函数 ，x 其中 a0.axf 231)( （I）求函数 的单调区间；（II）若函数 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求 a 的取值范围；)(xf（III）当 a=1 时，设函数 在区间 上的最大值为 M（t） ，最小值为 m（t）,记 g(t)(f3,t=M(t)-m(t),求函数 g(t)在区间 上的最小值。1,
