1、2011 年天津高考文科数学试题及答案详细解析（天津卷）参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 VSh其中 S 表示棱柱的底面面积。()()PP一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1 是虚数单位，复数 =i13iA B C D2i212i12i2设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数,40,3xy的最大值为3zA-4 B0 C D443阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为-4，则输x出 的值为yA,05 B1 C2 D44设集合 ，|20,|0xRxR，|()则“ ”是“ ”的ABCA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D
2、即不充分也不必要条件5已知 则244log3.6,l.2,log3.6abcA B C Dcabbaccab6已知双曲线 的左顶点与抛物线 的焦点的距21(0,)xyab2(0)ypx离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1 ），则双曲线的焦距为（ ）A B C D232543457已知函数 ，其中 的最小正周期()sin(),fxxR0,()fx若为 ，且当 时， 取得最大值，则 （ ）62fA 在区间 上是增函数 B 在区间 上是增函数()fx,0()fx3,C 在区间 上是减函数 D 在区间 上是减函数35468对实数 ，定义运算“ ”： 设函数ab和
3、,1,.ab。若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，2()(1),fxxR()yfxcx则实数 的取值范围是 （ ）cA B C D-2，-1(1,)(2,(,(,2)(1,二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知集合 为整数集，则集合|1,xRZ中所有元素的和等于_Z10一个几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几m何体的体积为_ 311已知 为等差数列， 为其前 项和， ，nanS*nN若 则 的值为_32016,1012已知 ，则 的最小值为loglb39ab_13如图已知圆中两条弦 与 相交于点 ， 是 延长ABCDFEAB线上一点，且 2,:4:21.F若
4、与圆相切，则 的长为_CEE14已知直角梯形 中， / , , ,09,1DC是腰 上的动点，则 的最小值为_PD3PAB三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15编号为 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：1216,A运动员编号 2A345A678A得 分 15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号 910121341516得分 17 26 25 33 22 12 31 38（）将得分在对应区间内的人数 填入相应的空格；区间 ,20,30,人数（）从得分在区间 内的运动员中随 机抽取 2 人，0,3（i）用运动员的
5、编号列出所有可能的抽取结果；（ ii）求这 2 人得分之和大于 50 的概率16在 中，内角 的对边分别为 ，已知ABC, ,abc,3.BCba（）求 的值；cos（） 的值(2)417（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 中，底面 为PADA平行四边形， ， ， 为 中点，05ADC1CO平面 ， ，POB2O为 中点M（）证明： /平面 ；M（）证明： 平面 ；P（）求直线 与平面 所成角的正切值AC18（本小题满分 13 分）设椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2。点 满足21(0)xyab(,)Pab212|.PF（）求椭圆的离心率 ；e（）设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B
6、两点，若直线 PF2 与圆相交于 M，N 两点，且 ，求椭圆的方2()(3)16xy5|8AB程。19（本小题满分 14 分）已知函数 ，其中 32()461,fxtxtxRt（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1ty0,()f（）当 时，求 的单调区间；0()fxD CA BPMO（）证明：对任意的 在区间 内均存在零点(0,)(tfx(0,1)20（本小题满分 14 分）已知数列 满足nab与 1*11 13()(2),2.2nnnnb Na且（）求 的值；23,a（）设 ，证明 是等比数列；*12,nncNnc（）设 为 的前 项和，证明nSa *2112 1().3nSSnNaa参
7、考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 40 分。1. 【答案】A【解析】 .13()142iii2. 【答案】D【解析】可行域如图：xyo 1 2 3 4-1-2-3-41234x=1x-3y+4=0x+y-4=0联立 解得 当目标直线 移至（ 2.2）时， 有最大403xy2yxzxy3zxy值 4.3. 【答案】C【解析】当 时， ；4x37x当 时，74当 时， ，4x31|x .2y4. 【答案】C【解析】 ， ，20Axk0Bxk ，或 ，又 或 ，B (2)0Cxk2x ，即 “ ”是“ ”的充分必要条件.Cxx5. 【答案】B【解析】 ，又 为单调递
8、增函数，3.622logl1a4logxy ，3.2.444l .bc6. 【答案】B【解析】双曲线 的渐近线为 ，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准215xyabyxa线的交点坐标为（2，1）得 ，即 ，2p4又 ， ，将（2，1）代入 得 ，4p byxa1 ，即 .25cab25c7. 【答案】A【解析】 ， .又 且 ，631,2kz4当 时， ，要使 递增，须有0k,()2sin()fx()fx，解之得 ，当12,3kz566,2kkz时， ， 在 上递增.k52x()fx,28. 【答案】B【解析】 1,)(2xxf2,1或则 的图象如图，()fxxyo 1 2 3 4-1-2-3-
9、41234-1-2-3函数 的图象与 轴恰有两个公共点，cxfy)(x函数 与 的图象有两个交点，由图象可得 .21,2,c或二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 30 分。 9.【答案】3【解析】 . ，即123Axkx2,10ZA.3210.【答案】4【解析】 .4v11.【答案】110【解析】设等差数列的首项为 ，公差为 ，由题意得，1ad，解之得 ，20290162013aSd120,a.10()1s12.【答案】18【解析】 ，loglog22abba ，b .18323392 abbababaa13. 【答案】 7【解析】设 ， ， ，由 得 ，即kAF4B
10、2kEBFACDF28k.21k ，27,1,2AEBFA由切割定理得 ，42C .7E14.【答案】5【解析】建立如图所示的坐标系，设 ，则 ，设PCh(2,0)1,ABh(0,)Pyh则 ， .(2,)(1,)PAyBhy 23534)5ABCDo xy三、解答题（15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分 13 分。（）解：4，6，6（）（i）解：得分在区间 内的运动员编号为 从中随20,3)3451013,.AA机抽取 2 人，所有可能的抽取结果有：，34353103131
11、45,AAA410,，145553313,共 15 种。（ii）解：“从得分在区间 内的运动员中随机抽取 2 人，这 2 人得分之和大于20,3)50”（记为事件 B）的所有可能结果有：，共 5 种。45410415101,AAA所以 ().3P（16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分 13 分。（）解：由 3,23,2BCbacba可 得所以22 14cos .33cAba（）解：因为 ，所以1cos,(0,)3A2sin1cos3A274cos.si2i.99A故所以 coin44A72872.91（
12、17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分 13 分。（）证明：连接 BD，MO，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O为 BD 的中点，又 M 为 PD 的中点，所以 PB/MO。因为 平面 ACM， 平PBM面 ACM，所以 PB/平面 ACM。（）证明：因为 ，且 AD=AC=1，45ADC所以 ，即 ，又 PO 平面 ABCD， 平面 ABCD，90AD所以 ，所以 平面 PAC。,POPO而 A（）解：取 DO 中点 N，连接 MN，AN，因为 M 为 PD 的中点，所以
13、MN/PO，且 平面 ABCD，得 平面 ABCD，1,2M由 N所以 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角，在 RtDAO中， 1,2A，A所以 52DO，从而 ，1524NDO在 ，,tanMRtAA中即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 45.（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分 13 分。（）解：设 ，因为 ，12(,0)(,0)Fcc212|PF所以 ，整理得 （舍）2ab20,ccaa得或
14、1,.ce所 以（）解：由（）知 ，可得椭圆方程为 ，直线2,3acb22341xycFF2 的方程为 3().yxA，B 两点的坐标满足方程组2241,3().ycx消去 并整理，得 。y2580xc解得 ，得方程组的解1280,5xc218,0,3.5xcyy不妨设 ， ，所以3,Ac(0,3)Bc22816| .55B于是 |.MNAc圆心 到直线 PF2 的距离1,3|3|3|2|.2ccd因为 ，所以22|4d()16.c整理得 ，得 （舍），或 所以椭圆方程为27150c72.c.6xy（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不
15、等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分 14 分。（）解：当 时，1t32 2()46,(0),()16fxxffxx所以曲线 在点 处的切线方程为(0)6.fy(, .y（）解： ，令 ，解得22()6fxtx )fx 2txt或因为 ，以下分两种情况讨论：t（1）若 变化时， 的变化情况如下表：0,2ttx则 当 (),fxx,t,2t,t()f+ - +x所以， 的单调递增区间是 的单调递减区间是 。()f ,;()2tfx ,2t（2）若 ，当 变化时， 的变化情况如下表：0,2tt则 x(),fx,t,2t,2t()f+ - +x所以， 的单调递增区间是 的单调递减区
16、间是()f,;()2tfx,.2t（）证明：由（）可知，当 时， 在 内的单调递减，在0t()f0,t内单调递增，以下分两种情况讨论：,2t（1）当 时， 在（0，1）内单调递减，,2tt即 ()fx2(0)64364230.ftft所以对任意 在区间（0，1）内均存在零点。,(x（2）当 时， 在 内单调递减，在 内单调递增，01,2tt即 ()f0,2t,12t若 3377(,1.44tftt21)6620.fttt所以 内存在零点。(,fx在若 3377(1,2)10.44ttftt0ft所以 内存在零点。(),2tfx在所以，对任意 在区间（0，1）内均存在零点。(,)tfx综上，对任
17、意 在区间（0，1）内均存在零点。(（20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。（）解：由 ，可得1*3(),2nnbN2,1nb为 奇 数为 偶 数又 ，11nnna当 2123,;a时 由 可 得当 3358.时 可 得（）证明：对任意 *nN2121nna-，得 21211213,3,4nnnn cac即 于 是所以 是等比数列。nc（）证明： ，由（）知，当 时，12a*2kN且2135375123()()()()k kkaa 24k故对任意 *21,.kkNa由得 21 21*2, ,k kkaN 所 以因此， 2123412()()().k kS于是， 21221.kkkSa故 21 221 21 1.4()k kkk kkka
